Cette durée est d'autant moindre que le corps choqué
^*//;/tt5mïWe. — Nous venons de trouver que, dans l'hypothèse
d'une résistance constante, le temps nécessaire pour produire
renfoncement des 2 centimètres est de 8 millièmes de seconde
environ. Si la substance qui reçoit le choc était assez résistante,
assez dure pour que l'enfoncement fût seulement de i milli-
1^4 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.
mètre, dans les mêmes circonstances, on trouverait, en recom mençant les calculs qui précèdent, que le poids R du prism
qui produirait cet enfoncement serait de = 3qo 3oo^', <
que la force motrice F, qui agit pendant le choc, aurait poi valeur moyenne ces mêmes SgoSoo kilogrammes diminui de 3oo kilogrammes ou 890000 kilogrammes, qu'enfin la duré de l'enfoncement serait seulement de o",ooo39, ou enviroi 10 fois moindre que dans le premier cas; ce qui démontn combien doit être excessivement courte la durée du choc des corps raides, tels que le marbre, Tacier, Tivoire, dont les dépressions sont quelquefois si faibles, qu'il est impossible de les apprécier par des moyens directs.
A la vérité, nous avons supposé, pour parvenir à ces résultats, que la résistance des corps à l'enfoncement était conslanie; mais la même conséquence peut se déduire de nos principes, quelle que soit la loi de la résistance ; car la force vive détruiie, par exemple, pendant la première période (156 et 161) du choc de deux corps quelconques, ou pendant leur compression, étant généralement très-comparable à celle qu'ils possédaient avant le choc, il en sera de même (136) du travail développé par leur force de réaction réciproque F. L'enfoncement élanl donc extrêmement petit, il faut nécessairement (95) que la courbe du travail Oa! b'd ,, . . [PL lyfig» 26), s'éloigne consi* dérablement de l'axe OB des abscisses, du moins à compter d'une petite distance de l'origine; de sorte que les ordonnées, qui mesurent les valeurs de la force de réaction F, devront aussi être extrêmement grandes. Or de là on conclut, sans difficulté, soit par la formule / = déjà citée, soit par la construction de la courbe des vitesses ( 134., PL hfig^ 32), queU temps nécessaire pour produire l'enfoncement ou la com pression doit être, de son côté, d'autant plus petit que les va leurs de F sont elles-mêmes plus considérables et Tenfon cément total moindre. Mais, attendu que l'aire comprise enti cette dernière courbe et Taxe des abscisses mesure effective ment les espaces décrits ou les enfoncements, il n'est pas mên nécessaire de recourir à la courbe des pressions {PL I^Jig* al pour voir que, si l'enfoncement total est extrêmement pet
tandis que la vitesse conserve une grandeur donnée, la durée du mouvement doit elle-même être extrêmement courte.
169. Observations générales sur la communication du mouvement par le choc. — Cest à cause de Texcessive petitesse de la durée du choc des corps très-résistants, que les mécaniciens se sont crus autorisés à regarder généralement comme entièrement nulle cette durée, et que, par suite, ils ont été conduits à supposer infinies les forces de réaction qui se développent pendant la compression réciproque des corps. Mais nousvoyons bien clairement maintenant que, puisqu'il n'existe pas de corps inOniment durs, on ne peut pas dire, non plus, en termes absolus, qu'il y ait changement brusque ou instantané de leur vitesse; la communication du mouvement par le choc ne diffère, en effet, de celle qui a eu lieu par les forces
motrices ordinaires, telles que la pesanteur, etc., que parce que généralement celte communication s'opère dans un temps réellement très-court, et que la force de réaction acquiert «insi une très-grande valeur. Encore devons-nous remarquer qu'il arrive souvent que des corps réagissent Tun sur l'autre, par leurs vitesses acquises, sans que la pression soit excessive, sans que la durée de la réaction soit très-courte; et que réciproquement des forces motrices, qu'on ne peut se refuser de regarder comme des pressions ordinaires, telles que celles qui résultent, par exemple, du ressort des gaz de la poudre, etc., communiquent cependant aux corps une vitesse très-grande dans un très-petit temps, attendu la grande intensité de leur action. La distinction qu'on voudrait établir entre des phénomènes qui ont autant de connexion entre eux, ne pourrait donc servir qu'à compliquer l'étude de la Mécanique, en y introduisant, sans utilité immédiate, un ordre de considérations qui n'y est point indispensable.
, 170. Utilité du choc dans les arts; battage des pilots de fondation. — Maintenant on doit bien concevoir comment il est possible de comparer les effets des chocs, sur les corps, à celui des pressions ordinaires qui produisent des mouvements plus ou moins lents; on conçoit très-bien aussi que, le choc produisant, dans un temps extrêmement court, un travail ou
un effet comparable à celui que produisent, dans un tenn généralement beaucoup plus long, les pressions ordinaires, y ait souvent avantage, nécessité même d'employer ce mo d'action dans les arts, malgré les inconvénients quFy sont a tachés (162). Car, toutes les fois que la pression ou Teffo direct dont on pourra disposer pour produire un travail m^ canique sera au-dessous de la résistance à vaincre, il faudr recourir aii choc qui développe des pressions considérable et toujours en rapport avec la force de réaction.
On s'expliquera encore aisément le but qu'on se propos en plaçant, sous les fondations des édiflces très-lourds, lel que les piles de ponts, les palais, les remparts, etc., de fort pieux ou pilots affûtés vers le bas et enfoncés, sous le sol, coups de mouton. Le poids dont est chargé verticalemer chaque tête de pilot par les constructions établies directemer au-dessus représente celui R du prisme dont il a été questio au n" 166, et le mouton remplace également le cube; seule ment ici ce n'est pas l'enfoncement même de la tête du pil( qu'il s'agit de produire, mais bien celui de sa pointe inférieur! dans le sol; c'est pourquoi l'on cherche à éviter le preini( enfoncenient, qui consommerait, en pure perte, une pan notable de la force vive du mouton; à cet effet, on consolic la tête du pilot par une forte frette, quand la violence du ch( pourrait la déformer rapidement; et, comme il ne s'agit p davantage d'en briser la pointe, on a l'attention de la durcir î feu ou de la coiffer d'un sabot enfer. Enfin on dresse, on a rondit, le mieux possible, les côtés du pilot pour diminu les résistances qui s'opposent à son enfoncement; de cet façon, la plus grande portion de la force vive du mouton e transmise à Textrémité inférieure du pilot, et sert immédiat ment à l'enfoncer dans le sol jusqu'à ce que, arrivée sur roc, le tuf ou quelque autre terrain solide, les coups redoi blés du mouton ne puissent plus la faire descendre, d'ui manière sensible, auquel cas on dit que le pilot est parvei au refus,
171. Conditions du battage des pilots et conséquences q en résultent. — On exige ordinairement, pour un pilot ( 25 centimètres de diamètre et de 3 à 4 mètres de longùeu
que renfoncement produit par chacune des dernières volées de trente coups, d'un mouton de 3oo à 4oo kilogrammes, tombant d*une hauteur de i"»,3o, soit, au plus, de 4 à 5 millimèlres; moyennant quoi il devient permis, d'après les observations du célèbre Perronet, de charger chaque tête de pilot jusqu'à 25ooo kilogrammes, sans qu'on ait à craindre aucun accident fâcheux pour la solidité d^ constructions.
Pour comparer cette donnée de l'expérience avec les résultats du calcul, nous observerons qu'ici Jes trente coups de mouton équivalent (166) à une quantité de travail de
3o X Boo"^* X i"*, 3 = 1 1 700^*"* au moins.
Ce travail produisant un enfoncement de 5 millimètres au plus, le poids qui, placé sur la tête des pilots, produirait le même enfoncement, dans l'hypothèse d'une résistance constante du sol,
serait d'au moins — 2__ — 2 34oooo*'S* ce poids est environ
o,oo5
94 fois celui que Perronet assigne comme limite de la charge <ies pilots; mais il faut observer : 1" que les bois sont susceptibles de s'altérer plus ou moins à la longue, et que le même PHot qui supporterait momentanément, sous le choc d'un 'bouton, des efforts de 2340000 kilogrammes, pourrait s'affaisser ou s'écraser sous des charges permanentes beaucoup Moindres; 2" que l'élasticité naturelle du bois et du sol tend ^ diminuer la profondeur de l'enfoncement, en relevant, à chaque coup, le pilot d'une certaine quantité; ce qui n'au- ^it pas lieu sous une compression permanente égale; 3" enfin, qu'il ne conviendrait pas non plus de statuer sur un abaisse- ^neni de 5 millimètres pour les fondations d'un édifice qui doit présenter les caractères de la plus grande solidité, tel qu'un pont, etc., quand bien même cet abaissement devrait s'opérer tos un temps extrêmement long. C'est pourquoi l'on peut admettre, d'après la règle posée par Perronet, qu'en général, quand il s'agit de constructions monumentales, on ne doit prendre, pour charge des pilots, que la centième partie envil'on du poids qu'assigne la théorie ci-dessus, et calculer en conséquence l'équarrissage de ces pilots. Les calculs qui précèdent supposent d'ailleurs que la force
178 MÉCANIQUE INDUSTBIELLE.
vive du mouton soit tout entière consommée contre les réSis tances du sol, qui s'opposent à renfoncement, tandis quedans la réalité (170), une portion plus ou moins grande d cette force vive est consommée pour écraser la tête du pila On peut admettre que le ressort du bois est tout à fait négl%^ geable dans les circonstances actuelles où le choc s'opère av^^ violence : Texpérience démontre, en effet, que le mouton r\e quitte pas sensiblement le pilol pendant le choc, et qu'l/5 cheminent d'un mouvement commun toutes les fois que la réaction du sol lui-même n'est pas fort grande, ou que le piloi n'est pas arrivé au refus; il en résulte par conséquent qu'avant cet instant, le pilot et le mouton se comportent, au commencement de chaque choc, comme le supposent les raisonnements des n*" 155 et 156; d'où il est aisé de jug^r que les observations du n° 162 sont applicables au cas actuel, c'iestà-dire que, pour diminuer le plus possible la perte inutile de force vive résultante de la compressibilité du pilot, il convient de donner au mouton un poids qui excède de beaucoup celai de ce pilot; on doit «par conséquent employer des moutons Sautant plus lourds^ que les pilots à chasser le sont eux-mêmes davantage. Dans la pratique, le poids du mouton est assez on dinairement compris entre deux fois et trois fois celui du pieu, de sorte que (162) la perte de force vive est aussi comprise çntre le j et le \ de celle qui opère le choc : en se servant de moutons encore plus pesants, la perte diminuerait, mais la manœuvre deviendrait embarrassante dans bien des cas» 6t occasionnerait d'autres consommations inutiles du travailmoteur.
La perte de force vive, provenant du défaut d'élasticité des pilots, étant donc généralement une fraction assez faible, et d'ailleurs à peu près constante, de la force vive totale imprimée au mouton, il résulte (166), de ce qui précède, que les enfoncements y ou effets du choc de divers moutons, doivent être sensiblement proportionnels aux produits de leurs poids par leurs hauteurs de chute, ou aux forces vives qu'ils acquit' rent au bas de ces chutes; ce que confirme parfaitement l'expérience, non-seulement dans l'opération du battage des pieux de fondation, mais encore dans une infinité d'autres circonstances où les effets sont directement comparables.
DE LA COMMUNICATION DU MOUVEMENT PAR LES GAZ ET SPÉCIALEMENT DU TIR DES PROJECTILES.
172. Observations préliminaires, — Nous avons déjà donné un aperçu (138) de Ja manière dont rélasticité de Taîr comprimé foriemenl dans le réservoir d*un fusil à vent peut servir à lancer des balles ou à convertir une certaine quantité de travail, accumulé dans cet air, en force vive. Or, en admettant, comme on le fait ordinairement, que la tension des fluides élastiques suive exactement la loi de Mariotte (16), quelle que soit la manière dont s'opère leur compression ou leur débandement, c'est-à-dire leur détente, non-seulement on pourra calculer la vitesse totale imprimée à la balle, à l'instant où elle sort du canon, au moyen de la quantité de travail développée sur elle, par les pressions successivement décroissantes du volume d'air qu'on laisse échapper, à chaque coup, deTiniérieur du réservoir, mais encore on sera en état (129 et suivants) de calculer toutes les autres circonstances de son OQouvement pendant le temps où elle chemine dans l'âme du canon, et de résoudre plusieurs questions intéressantes, telles que de trouver la vitesse de recul du fusil, le temps que la Italie met à parcourir Tâme, la longueur de celte âme qui donne le \i\us grand effet ou la plus grande Vitesse de sortie, vitesse qu'on nomme aussi la vitesse initiale des projectiles dans l'art de la Balistique.
Nous n'entreprendrons pas de résoudre ici toutes ces questions, parce que le fusil à vent est d'un usage très-borné de ï^os jours, et que nous avons à traiter divers sujets, plus ou niioins analogues, qui sont d'un intérêt plus immédiat et également très-propres à servir d'exemples de l'application des principes. Nous ferons seulement remarquer, relativement à la recherche du maximum d'effet, que la limite, passé laquelle le ressort du gaz intérieur ne peut plus contribuer à accroître 'a vitesse de la balle, répond à l'instant même où la pression de ce gaz est, par suite de sa détente, réduite à la pression de i'air atmosphérique extérieur (37), augmentée du frottement qu'éprouve la balle de la part des parois du canon : pression et frottement qu'il n'est permis de négliger qu'autant que
l8o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
l'àme aurait peu de longueur, ou que ces résistances denfiei: reraient constamment, et de beaucoup, inférieures à la fore motrice qui pousse la balle en avant; or c'est ce qui a liç précisément dans le tir ordinaire des projectiles, par le moyc de la poudre, dont nous allons maintenant nous occuper ave quelques détails. Nous reviendrons plus tard sur ce qui con cerne Tair en particulier, en cherchant à apprécier le rôlequt joue rinerlie propre de ses molécules, dont nous ferons, quam à présent, entièrement abstraction; ce qui revient à admettre, sans restrictions, les principes de Mariotte et de Pascal (14 et 16), qui se rapportent essentiellement à Tétat de repos des fluides.
Des effets et du travail des gaz de la poudre dans le tir
des balles et boulets.
173. Principes sur la communication du mouvement par les gaz, — Le tir des balles et des boulets, par rinflammation d'une certaine quantité de poudre enfermée dans le fond de rame d'un canon, et à laquelle on a mis le feu, présente des circonstances tout à fait analogues à celles qui sont relatives au fusil à vent; car ce tir consiste encore (99) à employer le ressort des gaz de la poudre, qui sont le résultat de sa combustion, pour imprimer progressivement la vitesse au projectile : ces gaz, en se dilatant par l'action de la chaleur (26), remplissent ici, en effet, la fonction d'un ressort véritable : ils pressent le boulet avec des forces qui, partant de zéro, croissent d'une manière extrêmement rapide, jusqu'à un certain terme qui s'approche plus ou moins de Tinstant où la poudre est entièrement enflammée, puis décroissent ensuite à mesure que les gaz se refroidissent ou que leur température baisse (21 et suivants), à mesure que les pertes ou fuites àc ces gaz augmentent, de plus en plus, par l'efl'et du vent onjet^ du boulet dans la pièce et de l'ouverture assez forte de la lumière, à mesure enfin que le boulçt, cheminant en avanti agrandit, de plus en plus, l'espace occupé par les différents gaz (16).
Quoiqu'on ne connaisse ni la loi de ces pressions ni celle d(
APPLICATIONS, ETC. l8l
Tin flamma lion nécessairement progressive de la poudre (*), on peut cependant déduire, de nos principes, plusieurs conséquences conformes, dans leur généralité, aux résultats bien connus de l'expérience; car le cas est ici semblable à celui de la communication du mouvement par le choc des corps (154 et suivants), où, sans connaître absolument la loi que suit la force de réaction, on parvient néanmoins à divers principes utiles et qui ne s'écartent pas trop* des effets naturels. Aussi doil-on s'attendre à voir reparaître un ordre de considérations analogues, et qui se présente généralement toutes les fois qu'il s'agît de la communication du mouvement par la réaction mutuelle des corps.
Comme on ne saurait trop insister sur le principe de pareilles applications, je pense quil ne sera nullement superflu de revenir sur les démonstrations très-simples qui en ont déjà été données précédemment (131 ei 153).
Soit F, à un instant donné, la force motrice qui pousse en avant le boulet et qui est censée presser, en sens contraire et avec une intensité égale (14), le fond de Tâme de la pièce; soient P et P' les poids du boulet et de la pièce y compris son affût, etc.; soient v et v' respectivement les petits degrés de vitesse qui leur sont imprimés à un instant quelconque et dans la durée de l'élément de temps /; on aura (130) la proportion
¥:?:\v:gty ou Pi^^Fxg^/.
On aura, de même, pour la pièce et son affût,
F:P'::f':g-/, ou V'v' = Y'xgi;
ainsi
}?v=V'v', ou i^:/::P':P,
comme on le conclurait immédiatement des résultats du
(*) Depuis que ce Chapitre a été écrit (1829), Poncelet, dans un Rapport lu à r Académie des Sciences, le 22 août i83ô, a fait l'exposé historique et critique des nombreuses recherches tentées sur ce sujet par les géomètres et par les physiciens. M. Piobert a étudié en détail les lois de l'inflammation progressive de la poudre, et a fait faire de grands progrès à la théorie de ses effets dynamiques; M. Resal a repris la question à un point de vue entièrement nouveau en y appliquant le principe de l'équixalence de la chaleur et du travail ; il est arrivé à des résultats présentant une concordance remarquable avec l'expérience. (K.)
l82 • MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
n° 131. Par conséquent les degrés de vitesse imprimés boulet et à la pièce, dans un temps infiniment petit, Si réciproquement proportionnels aux poids de ce boulet et cette pièce.
Puisque le produit Vyc^v répond au petit temps /, la som des produits partiels, relatifs aux divers instants écoulés puis le point de départ du boulet jusqu'au moment où, qt tant la pièce, il a acquis t,oute sa vitesse V, aura pour val le produit du poids P par la somme des degrés de vitesse successivement imprimés, ou par la vitesse totale V, c'est direPxV. La somme des produits P' X ^', pour le mê intervalle de temps, sera pareillement P' x V', V étant la tesse finie communiquée à la pièce et à Taffût quand celle boulet est V. Mais les petits produits P x i' et P' X ^'^ relai aux divers instants écoulés, sont continuellement égaux eni eux d'après ce qui précède; donc aussi P X ¥= P' x V, c'e à-dire que :
Les vitesses finies, imprimées à la pièce et au boulet à ri stant où celui-ci a acquis tout son mouvement, sont récipr quement entre elles comme les poids de cette pièce et de boulet.
174. Observations sur la vitesse de recul des pièces. — L gaz de la poudre continuant à agir sur le fond de l'âme apr l'instant où le boulet a quitté la pièce, on voit que ta vitei totale de cette pièce supposée libre, ou du recul, serait, po cette cause seule, un peu plus forte que ne le suppose la pi portion ci-dessus. On voit aussi pourquoi le recul est beaucoi moindre quand on tire à poudre seulement, que quand onli à boulet. On se rappellera d'ailleurs (172) qu'il faudrait, po rendre plus exacts les raisonnements ci-dessus, diminuer F toute la pression exercée, dans le sens opposé au mouvemeJ par l'air atmosphérique, sur la surface extérieure du boul< ainsi que du frottement qu'il éprouve de la part de l'âme de pièce, pression et frottement qui sont toujours, comme on verra ci-dessous, très-faibles par rapporta la pression totale la poudre. Enfin on remarquera que, le poids P du boulet eu généralement très-petit par Rapport au poids P' de la pièce de l'affût, la vitesse V est aussi très-petile par rapport à '
APPLICATIONS, ETC. l83
dans la plupart des cas, P' est au moins 3oo fois P; ainsi, dans nos hypothèses (172), la vitesse du recul surpasserait rai'ement le —jdela vitesse communiquée au boulet, à sa sortie de la pièce.
175. Mesure du travail total développé par la poudre contre la pièce et le boulet. — Pour calculer directement ce travail, Il faudrait (72) connaître, d'après Texpérience, la loi ou la courbe qui lie les pressions F aux chemins correspondants décrits par le boulet dans Tâme de la pièce, ce qui n'est pas jusqu'à présent. Mais, comme nous savons (136) que celte quantité de travail est la moitié de la force vive imprimée, nous pourrons l'obtenir au moyen des vitesses V et V acquises effectivement par la pièce et le boulet; ce qui suppose toujours qu'on néglige les résistances étrangères à leur propre inertie. En effet, la force vive du boulet étant (126) égale à M VS et celle delà pièce à M'V'S la quantité de travail totale, transmise parla poudre, a pour mesure (136)
Considérons, par exemple, une pièce de 24, dont le boulet pèse environ 1 2 kilogrammes ( * ), et dont la charge ordinaire est approchante de 4 kilogrammes; on sait, par expérience, que la
vitesse totale V de ce boulet s'éloigne peu de 5oo mètres par
seconde; g étant environ 9™,8i, x V^ sera donc égal à
'526o5 kilogrammètres. Pour trouver X V', nous admet-
Jrons que le poids P' soit seulement 3oc fois le poids P ou égal a36oo kilogrammes; et, puisqu'on a P XV=P' xV',on en tire
y = -^\ z=z -^ 5oo'»==i'",67, pour la vitesse du recul. Ainsi on aura, pour la valeur de la
(*) Les applications numériques faites dans le texte se rapportent aux an- (iiennes armes ; nous avons pensé qu'il serait peu utile, pour le but que se proposait l'Auteur en donnant ces exemples, de citer ici les chiffres relatifs à ^'"lUlerie actuelle. (K.)
l84 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
quanlité de travail développée par la poudre contre rafTùl, o v:
pour X V'% 5io kilogrammètres environ; c'est-à-dire — î
seulement de celle qui a été dépensée sur le boulet, comme on pouvait Tapercevoir sans calcul.
176. Conséquences relatives aux vitesses initiales des projectiles, leur accord avec l'expérience entre certaines limites, — Le travail consommé par la pièce et son affût, étant trèspetit, par rapport à celui qu'exige le boulet, on peut le négliger, et se contenter, dans la pratique,- de mesurer simplement les effets de la poudre d'après la quantité de travail nécessaire pour imprimer la vitesse au boulet, d'autant plus que la force vive du recul y est, dans la réalité, bien moindre que ne le supposent les calculs, puisque les pièces ne sont jamais entièrement libres, et qu'elles éprouvent, de la part du terrain, des essieux, etc., des résistances absolument comparables aux pressions exercées par la poudre. Or, les effets de celte poudre devant, dans des circonstances semblables d'ailleurs, être proportionnels à sa quantité, c'est-à-dire à son poids, on voit que les charges seront sensiblement proportionnelles aux forces vives imprimées aux boulets, ou aux produits du poids de ces derniers, par le carré de leurs vitesses initiales; de sorte que les vitesses initiales seront aussi entre elles comme les racines carrées des charges et inverses des racines carrées des poids du boulet (*),
Ces conséquences, de la théorie, sont parfaitement d'accord
( * ) De nouvelles recherches paraissent démontrer que cette loi théorique d » pas l'exactitude qui lui est attribuée ici. Consulter à ce sujet le Rapport sur les expériences faites à Metz de ib36 à i8/|2 {Mémorial de l'Artillerie, n® Vn)f les expériences exécutées à Liège en 1802 par M. Navez, le Mémoire du Colonel Duchcmin sur la vitesse initiale des projectiles {Mémorial de l'Ârtilleriey n** \^\ Jes expériences d'artillerie entreprises à Lorienl de iS^î à i843 (Impriiiicrifl royale, 18/17). ^' Sarrau, à la suite d'expériences faites, en 18G8, au Dép<^* central des Poudres, a été conduit aux formules suivantes, dans lesquelles V représente la vitesse initiale, p le poids de la charge, m celui du projectile, <»> b, c, d des constantes :
\ = a>Jp—b et y z=^ — d,
Jm
APPLICATIONS, ETC. l85
llesqu'Hutton a conclues des expériences qu'il a faites, lelerre, sur le lir des projectiles, non-seulement pour ices d'un même calibre, mais encore pour des pièces }res différents, considérées dans les circonstances ordide la pratique. Ces expériences toutefois ont prouvé lelà d'une certaine limite, l'augmentation de la vitesse let n'était plus en rapport avec celle des charges de , et que môme, pour une longueur d'âme donnée, il m instant où les vitesses imprimées décroissent au lieu enter; ce qui s'explique très-bien en observant que la de la poudre n'a point alors le temps de s'enflammer, la portion demeurée inactive, loin de contribuer à l'efd, au contraire, par son inertie, à absorber une partie moins grande du travail développé par l'autre. L'expé- 1 aussi fait voir qu'à charge égale de poudre, la vitesse , pour un même calibre, augmente avec l'allongement e de la pièce; ce qui tient évidemment à ce que les gaz )pent alors, par leur détente prolongée, une quantité I et par conséquent une force vive plus grandes (138); îr suite des causes déjà énoncées au n° 173, il ne parait ! cette compression soit, en général, aussi forte que le 3 la loi de Mariotte (16). Nous reviendrons bientôt, au , sur les effets de cette délente des gaz pour augmenter 5e des projectiles.
lêmes considérations prouvent encore que \di force vive )\x la vitesse finale, imprimées au boulet par une même de poudre, restent à très-peu près les mêmes, soit qu'on le tout à fait le recul par un obstacle solide, soit qu'on ie librement la pièce; car nous venons de voir que, dernier cas, la force vive communiquée à cette pièce iffût est réellement une très-petite fraction de celle liert le boulet; de sorte que l'action de la poudre est 3 tout entière consommée contre ce dernier, comme ive quand le recul est empêché. Cette nouvelle conséde la théorie est exactement conforme encore aux rédes expériences de Hutton, qui, de plus, ont appris que ère de bourrer n'avait aucune influence sensible sur la initiale : c'est qu'en effet le bourrage ne fait qu'aug- ' un peu les frottements, au premier instant, sans dimi-
l86 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
nuer le vent du boulet, et que la résistance occasionnée pai ce frottement est excessivement faible comparativement à Is pression totale des gaz. On remarquera que le bourrage se fai ordinairement avec des substances très-légères, et que, s'iler était autrement, l'inertie de ces substances consommerait uni portion notable de la quantité de travail développée pari; poudre, au détriment de celle qui est transmise au boulet connaissant le poids de la bourre, on pourrait même détermi ner exactement la diminution de force vive éprouvée par c dernier, etc.
177. Du travail utile de la poudre^ dans le tir des boideti comparé à celui des machines à vapeur; son effort moyen e absolu, etc. — D'après les calculs ci-dessus, la quantité d travail totale, développée par la poudre sur le boulet et sur 1 pièce, est d'environ
1 02 goS"^»" 4- 5 1 o*^»" = 1 53 4 1 S"^"^ ;
le travail du. cheval des machines à vapeur étant (82), poi chaque seconde, de 75*^»"™, on voit qu'une telle force moiric
emploierait ^ — 1= 2 ©45'', 5 = 34' environ, pour lancer
boulet avec la vitesse de 5oo mètres; ou, si l'on veut, il fai
drait une machine de 2 ©45, 5 chevaux de force pour lancer u
pareil boulet à chaque seconde. Attendu qu'il faut un certai
temps pour charger la pièce et pour la pointer, etc., on comp
seulement i coup par 5 minutes, ou par 3oo secondes dans
service ordinaire des pièces avec la poudre; ainsi la machir
à vapeur, pour fournir à ce service, devrait être d'envirc
2o45 5 ^ * =6,82 chevaux, en supposant d'ailleurs qu'il n'y e 3oo * ^
pas de perte de force motrice et que tout fût transmis au boi
let; ce qui ne peut avoir lieu, quelle que soit la machine c
les dispositifs qu'on adopte pour communiquer le mpuveme
à ce boulet (103).
Comme la longueur de l'âme des pièces de 24 est d'envirc
3", 10 et son diamètre i5 centimètres, il sera facile de ca
culer (73) V effort moyen et constant que les gaz de la poud
devraient exercer, contre le boulet' et le fond- de la pièc
pour développer la quantité d'action ci-dessus i534i5 kilogrammètreSy pendant que le boulet chemine, dans Tintérieur de l'âme, en décrivant un espace que^ous réduirons à 2^,75 à cause de la place occupée par la poudre, etc. En divisant i534i5 kilogrammètres par 2", 75, on trouvera, en effet, 55787 kilogrammes, à une petite fraction près, pour cette pression moyenne; comme elle est répartie, avec la même intensité, sur la surface du cercle de section derâme,quia i5 centimètres
(i5)' de diamètre, ou sur la surface 3,i4i6x —^ = 176*^ environ, on voit que chacun de ces centimètres carrés sera pressé
55 n8n avec un effort de — ^-— = 317*"». La pression, exercée par l'air
atmosphérique sur chaque centimètre carré de la surface d'un corps, étant de i^»,o33 environ dans les circonstances menlionnées au n'* 37, Teffort moyen ci-dessus équivaut donc, à irès-peu près, à 307 atmosphères; l'effort réel et moyen des gaz de la poudre est au moins de 3o8 atmosphères, attendu qu'indépendamment de l'inertie du boulet, cet effort doit vaincre aussi la pression de l'air extérieur (174).
£n calculant, comme on l'a fait dans le n** 167, à l'occasion <lu choc des corps, le temps que mettrait cet effort moyen, censé constant, à imprimer la vitesse de 5oo mètres au boulet,
on le trouvera égal a —-—: ^^ ^ . r= o",oi i, ou ^ de se-
^ 9'",8iX55787>^« ' ' "'
conde environ. Mais, d'après la rapidité avec laquelle croît la
pression dans les premiers instants de l'inflammation de la
poudre, il y a lieu de supposer que la durée du temps que le
boulet met à parcourir l'âme de la pièce doit être moindre
encore.
Il faut distinguer \ effort moyen de \ effort réel exercé, par
I3 poudre, dans chaque position du boulet; ce dernier effort
est nécessairement variable, suivant cette position. D'après ce
?uia été dit au n" 172, on peut juger que, dans les cas ordi-
'ïaires, il est au-dessous de l'effort moyen, à l'instant où l'in-
n^nfimation commence et à celui où le boulet sort de la pièce;
flu'il le surpasse de beaucoup vers le moment de l'inflamma-
lion complète de la poudre; qu'enfin cet effort moyen diffère
considérablement de \ effort absolu et total que peuvent exer •
l88 MÊGAmQUE INDUSTRIELLE.
cer les gaz de la poudre, lorsqu'ils sont contenus dans Tespace très-étroit occupé par le volume même de cette poudre, el qu'ils ne peuvent s'éiefidre en aucune manière. D'après Rumford, cette pression absolue surpasserait 5oooo atmosphères; d'après d*autres, elle serait beaucoup plus faible. M. Brianchon, savant Professeur à l'École d'artillerie de Vincennes, a trouvé, par des calculs basés sur des considérations de physique et de chimie très-ingénieuses et très-plausibles, que la pression absolue de la poudre ne s'élève pas au delà de 4ooo atmosphères; mais on conçoit que la manière dont on essaye la poudre et dont on mesure sa pression, doit exercer une très-grande influence sur les résultats. Suivant les calculs hypothétiques de Hutton, par exemple, qui a fait ses expériences avec des canons ordinaires, la plus forte pression exercée sur le boulet serait environ 2000 fois celle de l'atmosphère; mais, comme, suivant d'autres expériences directes ( 13), une pièce de bronze de 3 pouces d'^épaisseur éclate avant que la pression soit de 1 000 atmosphères, tandis que des pièces de moindre épaisseur* ne sont pas même endommagées après un grand nombre do coups tirés à poudre, il y aurait lieu de penser que ce résulta "• de Hutton surpasse encore de beaucoup le véritable, si l'onn ^ savait que, dans certaines circonstances, les corps solides^'* ductiles sont susceptibles de résister momentanément à der^ efforts qu'ils ne pourraient supporter pendant un temps mêm ^ assez peu prolongé.
178. Examen et prix comparés du travail de la poudrée'^ de la vapeur d'eau. — Si Ton voulait remplacer l'action de 1 poudre par celle de la vapeur d'eau introduite directemen ^ dans l'âme de la pièce, ainsi qu'on l'a proposé dans ces der — niers temps, il faudrait, selon ce qui précède, employer, dan^ le cas d'une pièce de 24, cette vapeur sous une pression con-stante d'au moins 3o8 atmosphères, pour lancer le boulet avec la vitesse de 5oo mètres, la longueur d'âme parcourue par ce boulet étant de 2'", 75. En donnant à l'âme environ 8,8 fois cette longueur ou 24*", 2, il suffirait d'employer la vapeur à une tension de 35 atmosphères, comme le propose l'ingénieur anglais Perkins; mais il faudrait qu'elle affluât constamment, avec cette force, derrière le boulet, et que, par conséquent.
elle ne ^ubîl aucun refroldissemenl (173) pendant quMl parcourt la longueur de la pièce. Si le boulet devait être lancé seulement avec une vitesse moitié moindre ou de aSo mètres, il suffirait évidemment d*une pression moyenne égale au quart de 3o8 ou de 77 atmosphères, en conservant la longueur d'âme ordinaire, et d'une longueur d*âme de 6 mètres, si la pression constante de la vapeur n'était que de 35 atmosphères; car les effets étant mesurés par la force vive imprimée dans chaque cas, sont entre eux comme les carrés des vitesses initiales du boulet.
En refaisant tous les calculs qui précèdent pour les balles
è' de fusils de munition ordinaires, dont le diamètre est de o»,oi64, Ï6 poids de o*'«,o258, à raison de igà la livre, et qui,
; avecune charge de poudre de o^<,oi29, égale à la moitié de ce poids, reçoivent une vitesse initiale de 5oo mètres moyennement, en refaisant, dis-je, ces calculs, on trouve : i'*657 pour b force vive imprimée au projectile, ce qui représente une
quantité d'action de 328^«'",5 (*); 2» *— = 299^» pour la pres-
sion moyenne sur la surface (2%ii2) de la section de Tâme, l^longueur parcourue par la balle étant d'environ i"*,! ; 3** enfin
(*) cet effet utile répondant à une charge de poudre de o'^s, 0129, on voit ^^e, toutes choses égales d'ailleurs , i kilogramme de poudre donnerait
■~r ^ = 25/|65 kiiogrammètres, et 4 kilogrammes, charge des pièces de 2L
*oi 860 kiiogrammètres, résultat Ijeaucoup au-dessous des ij-iqoS kilogram- "ïètres trouvés ci- dessus (177) pour l'effet utile des mêmes /J kilogrammes de poudre dans ces dernières pièces, et qui parait d'autant plus étonnant au premier aspect, qu'ici la longueur de l'àme étant très-grande par rapport au ca- ^iW de la balle, la détente doit y être plus forte, et la combustion de la poudre plus complète; mais on s'explique très-bien ce résultat (1)9 et 173) en considérant que les grandes masses de poudre dé\eloppent, par rapport aux petites, une chaleur beaucoup plus forte et qui éprouve, de la part des enveloppes, une perte proportionnellement moindre, puisqu'elle est évidemment •Jans le rapport des surfaces de ces enveloppes aux volumes des gaz qu'elles renferment à circonstances égales d'ailleurs quant à la nature et à l'épaisseur de ces mêmes enveloppes. On sait, en effet, que la vitesse avec laquelle. la chaleur les traverse dépend de l'espèce de leur substance et augmente d'autant plus que leur épaisseur est moindre. Ces réflexions pourront servir à faire voir comment, dans des circonstances distinctes, un même poids de poudre peut produire des effets utiles essentiellement différents, quoiqu'à la rigueur sa quantité é/'aclion absolue ou théorique soit réellement la même.
igO MÉGANIQUE INDUSTRIELLE,
— 2SL~ 141*"*, 57 pour la pressioif moyenne, par cenlimèlr
carré, répondant à environ 187 atmosphères, et qui doit étri supposée réellement de i38 atmosphères, à cause de la près sion de Tair extérieur. Telle est aussi la tension constante i laquelle il faudrait faire travailler la vapeur, pour imprimer Is vitesse de 5oo mètres aux balles de fusils ordinaires, vitess< qu'elles reçoivent effectivement de la poudre, et qu'il faudra! se résoudre à voir réduire de moitié, si Ton tenait à n'employé la vapeur qu'à 35 atmosphères, et à laisser au canon du fusi sa longueur d'âme actuelle.
On voit donc que l'emploi direct de la vapeur ne serait pai sans difficultés dans les circonstances dont il s'agit, mêmeei mettant de côté les dangers de toute espèce qu'il présente parmi lesquels il faut surtout citer celui qui provient de l facilité qu'a la vapeur de passer, d'une tension déjà considé rable, à une tension double ou triple, par suite d'une légèn élévation de la température.
Du reste, on peut démontrer que la force motrice de la va peur serait d'un usage beaucoup plus économique que cell de la poudre. Car, en admettant que le kilogramme de poudr de guerre coûte seulement 2 francs au Gouvernement, chaqu coup d'une pièce de 24 revient à 4 X 2 = 8^^ Or les machine à vapeur les plus désavantageuses n'exigent guère que 5 6 kilogrammes de houille par heure et par chaque cheval d force; et nous avons vu ci-dessus (177) qu'il faudrait trente quatre minutes, environ une demi-heure, de travail d'une tell force, pour lancer le boulet avec la vitesse de 5oo mètres donc il en coûterait moins de 3 kilogrammes de houille pa coup, c'est-à-dire moins de 9 centimes, en comptant la houill à 3o francs les 1 000 kilogrammes, tandis qu'on dépense ac tuellement, en employant la poudre, une somme enviroi 90 fois aussi forte.
179. aperçus sur les moyens d'utiliser r action de la vapeu pour lancer les projectiles — Il ne sera peut-être pas impos sible de mettre à profit, un jour, celte grande économie de 1 force motrice de la vapeur d'eau, pour la défense des place de guerre ou des côtes; mais il faudra probablement renonce
APPLICATIONS, ETC. igi
à l'emploi direct de cette vapeur à de hautes tensions ou pressions, et l'on devra se borner à rechercher les moyens d'utiliser directement le travail des machines à vapeur actuelles pour imprimer la vitesse aux projectiles. Le ressort de Tair atmosphérique paraît, sous ce rapport, offrir des avantages tout particuliers; on conçoit, en effet, très-bien comment, dans rétat de perfection actuel des arts industriels (*), il serait possible, en se servant du travail des machines à vapeur ordinaires, de comprimer fortement (15) un certain volume d'air atmosphérique, de manière à lui faire occuper un espace beaucoup moindre; et comment cet air, ainsi comprimé,
^ pourrait être employé à lancer les boulets avec des canons ordinaires, un peu modifiés, de la même manière qu'on lance les balles avec le fusil à vent. Il suffirait de comprimer cet air
f dans un grand cylindre de fer d'une capacité de i à 2 mètres cubes, par exemple, et absolument semblable à celui des
chaudières de machines à vapeur, puis de mettre momentanément l'intérieur de ce cylindre en communication avec l'espace compris entre le boulet et le fond de l'âme de la pièce, ^t de fermer cette communication à un instant convenable.
Supposons, pour offrir une nouvelle* application de nos principes, que la capacité du cylindre servant dé réservoir d'air comprimé soit* de i"%6 ou de 1600 litres; ce volume sera environ 29 fois celui de l'âme du canon de 24; car, d'après les données ci -dessus (177), ce dernier volume estS™, IX o""*!, 0176 = 0™% 0546 ou 55 litres, à très-peu près. Si donc on laisse échapper, de l'intérieur du réservoir, contre le boulet, une portion du volume total égal à 55 litres, ou plutôt, si on laisse ouverte la communication entre le réservoir et l'âme, jusqu'à l'instant où le boulet quitte la pièce, l'air occupant, à ce même instant, un volume égal à i-4-^z=fJ
(*) Depuis que ceci a été écrit (février 1829), l'Académie royale des Sciences 3 décerné, à M. Thilorier, le prix de Mécanique fondé par M. de Montyon, pour ' invention d'une pompe à plusieurs pistons et à compensation^ au moyen de laquelle on peut comprimer, d'un seul coup, les gaz à 100 et même looo atmosphères, sous des efforts modérés et sensiblement constants, {rojez le Mémoire inséré, par l'Auteur, à la page 3/|5 du tome XXIX, année i83o, du Bulletin de la Société d* Encouragement pour l* industrie nationale.)
de son volume primitif, la tension de cet air sera, d'après 1 principe de Mariolte (16), aussi réduite aux ff de sa valeu primitive, et par conséquent, si cette tension était d*abordd 3i5 atmosphères, par exemple, elle se trouverait réduite 3i5 y| = 3o4*'"', 5 au moment où le boulet quitterait la pièce (*] Or on peut admettre que, puisque les valeurs extrêmes de 1 tension diffèrent peu entre elles dans la supposition actuelle l'effort moyen (73) de Tair, contre le boulet, différera auss très-peu de celui qui répond à la moyenne arithmétique 0^ la demi-somme j(3i5 -h 3o4,5) = 3o9'""',75 de ces valeui extrêmes : ce résultat surpassant l'effort moyen qui a et trouvé plus haut (177) pour le boulet de 24» chassé pari poudre, il est clair aussi que, abstraction faite des pertes, 1 pression qui lui correspond suffirait pour imprimer, à c boulet, la vitesse de 5oo mètres; et que, s'il s'agissait seule ment de lui communiquer une vitesse de 25o mètres, 0 pourrait se borner à comprimer l'air à 78 atmosphères seuU ment, ou au quart environ.
Néanmoins, attendu le frottement du boulet contre l'âflc de la pièce, mais surtout à cause du jeu ou du vent qui lai: serait échapper, en pure perte, une portion notable du fluid il conviendrait d'augmenter de quelque chose la tension i
(* ) Les pressions d'un gaz qui se détend sans addition ni soustraction chaleur ne suivent pas la loi de Mariotte, laquelle n'est sensiblement rn que lorsque la température des gaz reste constante. Or, dans le cas traité, ne peut en être ainsi, attendu qu'une portion de la chaleur du gaz est traf formée en travail contre le boulet {-vojez la Note du n® 105) j les pressioi diminuent donc plus rapidement que ne l'indique la loi de Mariotte. ^ démontre que, lorsqu'un gaz change de volume, sans recevoir ni perd (le chaleur, sous l'action d'une pression extérieure toujours égale à sa for
élastique, cotte dernière varie en raison inverse de la puissance y ^ — du ^
lume, •/ désignant lo rapport des deux chaleurs spécifiques, à pression ce stante et à volume constant. Ce résultat, auquel conduit facilement la théo mécanique de la chaleur, avait déjà été trouvé par Poisson, à l'aide des donn de l'ancienne théorie.
Le rapport •/ est égal à i,/|i pour l'air atmosphérique; il est scnsiblem le même pour les gaz non liquéfiables.
Dans l'exemple traité par l'Auteur, la pression, au moment où le boi
quitte la pièce, serait ^«^ ( ô^ ) = 300^»*"', 2. (K.)
fair dans le réservoir, si mieux encore on ne préférait y faire arriver conlinuellemenl, par la machine à vapeur, de nouvel air pour remplacer celui qui se perd à chaque instant, de manière à rendre la tension à très-peu près constante; car on voit bien, par les rçiisonnements qui précèdent, que, dans le cas contraire, la pression diminuerait, à chaque coup, de 3^ environ de la valeur qu'elle avait à la fin du coup précédent; de sorte qu'après un certain nombre de coups, il s'en faudrait considérablement que la vitesse de 5oo mètres fût iransmise au boulet. C'est précisément là l'inconvénient attaché au fusil à vent ordinaire, etqui,'jointà d'autres, a fait renoncer ison emploi malgré les avantages qu'il possède sous beaucoup de rapports.
Enfin, au lieu de procéder de l'une ou de l'autre de ces manières, on pourrait aussi, mais non sans augmenter beaucoup les difficultés et les dangers d'explosion, se contenter de mettre en usage de très-petits réservoirs en bronze, d'une capacité à peu près égale, par exemple, à celle des gargousses employées dans le tir ordinaire à poudre, lesquelles occupent, dans les pièces de 24» un espace cylindrique d'environ 6 litres, loui compris, ou du neuvième de celui de l'âme entière. En se
[ servant'd'un aussi petit réservoir, il faudrait comprimer l'air a une tension de beaucoup supérieure à 3oo atmosphères, et lelleque, dans sa détente graduelle, il développât, contre le boulet et pendant que ce boulet parcourt la longueur de l'âme, la quantité de travail nécessaire pour lui imprimer la vitesse de 5oo mètres. Nous n'avons pas d'ailleurs à examiner comment ces petits réservoirs, indépendants de la pièce comme les gargousses elles-mêmes, pourraient s'adapter solidement ^u fond de l'âme, ou dans le renflement de la culasse, et jouer absolument le rôle de la poudre lorsqu'on viendrait' à lâcher la délente qui retient l'air; il nous suffit ici que Thypothèse soit assez plausible, en elle-même, pour exciter quelque intérêt, et appeler l'attention du lecteur sur les applications des
f théories de la Mécanique.
' C'est, au surplus, l'occasion de faire connaître la méthode
de calcul que nous avons promise au n**72, méthode due au
géomètre anglais Thomas Simpson, et par laquelle on peut
évaluer, d'une manière très-approchée, le travail mécanique
variable, ou, plus généralemenl, Vaire superficielle des figur. planes limitées par des contours quelconques (*).
Méthodes générales des quadratures pour calculer Vaire superficielle des courbes planes.
Méthode de Th. Simpson.
180. Démonstration géométrique de la méthode. — Soi\ a'd'g'ga (PL 11 y fig. Sg) une aire plane limitée par' une portion de courbe a'd'g*', par la droite OB, servant d'axe des abscisses (15), et par les deux ordonnées extrêmes aa'y gff' perpendiculaires à cet axe. Supposons qu'on ait divisé la distance «g", de ces ordonnées, en un nombre pair de parties égales, par exemple en six parties, aux points b, c, rf, e,f, o^ qu'on ait élevé, en ces points, les nouvelles ordonnées ftfr'j ce',. . -9 ff', terminées à la courbe; on aura une première v3.leur approchée de Taire mixtiligne aa'rf'g-'g-a, en calculait 1^surfaces de chacun des trapèzes rectilignes aa'b'b, bb^c'c,.. ffg'gi dont elle se compose, puis ajoutant entre eux tousl^' résultats; ce qui revient à remplacer la courbe par le polygoi»^ recliligne fl'ft'c'rf'.. . g"' qui lui est inscrit. Mais on obtieaC> sans être obligé démultiplier davantage les points de division une valeur beaucoup plus approchée de Taire cherchée e* procédant comme il suit.
Ayant numéroté le rang des diverses ordonnées, comme on 1 ^ voit sur la^g*. Sg, on considérera, à part [PI. II y fig. 4o), Taii*^ mixtiligne cc'd'e'ecy limitée aux deux ordonnées impair^^ quelconques ce', ee\ qui se suivent et qui comprennent enti*< elles Tordonnée rfrf' de rang pair; la surface totale des trapèze rectilignes correspondants cdd'c\ dee'd\ aura pour mesura puisque de = cd,
{cd(cc'-^dd')-h^de{dd'-{-ee') = {cd{cc'-h2dd'-{-^ee'}'
{*) ?)ous ferons suivre la méthode de Th. Simpson» que TAuteur avait doun^ seule dans les éditions précédentes, d'une autre méthode qui a été expofté^ plus tard par Poncelet dans ses Leçons à la Faculté des Sciences de Paris. Pour respecter le texte de l'Auteur, nous n'apporterons aucune modification aux calculs de quadrature qui se présenteront dans la suite du Cours, calculs qui ont été faits d'après la méthode de Simpson. (K.)
APPLICATIONS, ETC. ig5
Maison obtiendrait évidemment une valeur plus approchée de Taire cc'd'e'e, si, partageant cette aire en trois autres aires trapézoïdes cnim!c\ mnn'm\ nee'n'y par des nouvelles ordonnées équidistanles mm! y nn! y c'est -à-dire telles que cni=2mn=:ne=:j cd, on prenait, pour celle valeur, la somme de trois trapèzes reciilignes inscrits correspondants, c'està-dire
-îC/n(c<?'-h mm') -H Jm/i(mm'-4- n/i') -h ^ne{nn'-\-ee')y
ou, attendu que \cm z=\mn =^ \ne = {ce =: \cdy
\cd[cc'-\-^mm' -{-iinn'-\-ee').
Or, pour s'éviter la peine de tracer les nouvelles ordonnées mm' , nn!y ei pour obtenir néanmoins une approximation égale ou même supérieure, on remarquera que Is^ corde m'/i' vient couper l'ordonnée intermédiaire dd' y qui est à égale dislance de mm' et de nn'y en un point o tel que od = j(mm'-h/i/i'), et que par conséquent 4<>rf=2mm'-h a/i/i'; la valeur de Taire
TeciiHgne cd m'n'e'e devient donc simplement
\cd{c& -{- ^od -{- ee').
Nous n'avons pas, il est vrai, Tordonnée od immédiatement, raaiselle diffère extrêmement peu de Tordonnée véritable dd' de la courbe, que nous connaissons; en remplaçant donc od par rfrf' dans les calculs, nous obtiendrons une mesure trèsapprochée, quoiqu*un peu trop forte, de Taire polygonale ^on{ il s'agit. Mais, puisque celle aire est elle-même un peu plus faible que la véritable aire terminée à la courbe, il se fera 'Wïe sorte de compensation (*) si nous prenons, pour mesure
\ ) n est évident qu'en prenant dd' pour oe/, on augmente Taire polygo- Dtlede \cd.^od' \ mais, en traçant les nouvelles cordes m'd'^ n'd'^ il sera aisé «6 voir que la surface du triangle rectiligne m'n'd' a pour mesure J mnx,od\ ^ï" il se compose des triangles m'od'f on'd'f dont la somme des surfaces est «gale à
l od',md -\-\ od'.dn ^ \ od'(tnd-+- nd)= \ od'.mn;
et» comme mn = | cd, la surface du triangle m'd'n' sera
]i\.cd.od'=\cd.od'.
On a donc augmenté Taire du polygone rectiligne c'c'm'n'e'ec de 4 foi» le tri-
de celle dernière, la quaniiié
On aura de même [PL II , fg. 39)
acc'a'=\cd{aa'-^ ^bb' -{-ce'), egg'e^e = \cd[ee' ^ ^ff -^gg');
donc la surface lolale el mixliligne agg'd'a\ qu'il Vagil calculer, a pour mesure approchée
\cd(aa' -^ ^bb'-^cc'-^cc'-^^dd'-\-ee' -['ee''^-^ff' -^ gg ou
c'esl-à-dire le tiers du produit qu'on obtient en multipliai par r intervalle constant compris entre les ordonnées de courbe, la somme des ordonnées extrêmes, augmentée de de fois celle des autres ordonnées de rang impair, et de qua fois celle des ordonnées de rang pair, •
angle m'd'n , tandis qu'il faudrait l'augmenter* de la somme des aires des s raents compris entre la courbe et les cordes c'm\ m'n' et wV. Par conséqu^ si cette somme équivaut à [\ m'd'n\ la compensation sera exacte et la méth rigoureuse; dans tous les cas, on ne risquera de se tromper que de la diffère de cette somme et de l\m'd'n'y différence qui i\e sera généralement qu'une titc fraction de chacune d'elles, excepté pour quelques points singuliers ai courbe.
On voit, d'après cela, que, quand il s'agit de calculer, avec une grande eJ titude, l'aire d'une figure plane limitée par des contours quelconques, il c vient, non-seulement de multiplier beaucoup les ordonnées et de bien cho l'axe des abscfsses pour éviter la trop grande obliquité de ces ordonnées rapport aux courbes, mais encore de partager l'opération en plusieurs op< tions distinctes, soit qu'on multiplie davantage les ordonnées dans certai parties, soit qu'on rapporte les courbes à plusieurs axes différents; en un fi il faudra éviter que les trapèzes rectil ignés ne diffèrent nulle part, d'une ^ grande quantité, des trapèzes curvilignes correspondants. Il parait bien c d'aflleurs que, par la formule de Simpson, on approche, dans les circonstai ordinaires, non-seulement plus de la vérité qu'en calculant la valeur des pèzes rectilignes inscrits et limités aux ordonnées simples, mais même da.^ tage encore que si l'on calculait celle des trapèzes relatifs à des ordoi»plus rapprochées d'un tiers.
lL.es mêmes raisonnements demeurant applicables, quel que soit le nombre des ordonnées équidistantes, pourvu qu'il soit impair, on voit. que la règle est générale; mais il est clair qu'elle ne donnera des résultats très-approchés, pour les parlies de la courbe qui s'écarteraient considérablement de la forme d'une ligne droite, qu'autant qu'on divisera les intervalles, compris entre les ordonnées extrêmes, en un nombre pair de parties égales, assez grand pour que les trapèzes rectilignes inscrits ne diffèrent nulle part beaucoup des trapèzes véritables, ou qu'autant qu'on resserrera convenablement les ordonnées vers les parties dont la courbare est très-prononcée. 11 est également essentiel de remarquer que le calcul donnera des résultais un peu trop petits pour les parties de la courbe qui présentent leur concavité à l'axe des abscisses (voir PL 11^ fig» 39), et un peu trop grands pour celles où celle courbe tourne sa concavité vers cet axe, comme cela a lieu pour la courbe de \^ fig» 4»> P^- ^^» P^r exemple.
Méthode de Poncelet.
180 bis. L'aire a AGB6 limitée à la courbe ACD.,.LB, à l'axe ^^s abscisses ab et aux ordonnées extrêmes kày B6, étant censée décomposée en segments trapézoïdaux par des ordonnées équidistantes, nous considérerons d'abord le cas où les ^l'cs de courbe correspondants ont tous leur concavité dirigée vers l'axe ab.
Je divise la base ah de l'aire en un nombre pair de parties
égales, dont je désigne la commune longueur par A. Soit, par ^'femple, 6 ce nombre; je mène les ordonnées aux points de
198 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.
division I, 2, 3, 4> 5, 6 de la base, el j'appelle ji,j^a,j3, ^4, js, j^fi, y-i les valeurs numériques de ces ordonnées limitées à la courbe. Je joins, par des droites ou cordes, AC, BL, les extrémités des deux premières ordonnées et les extrémités des deux dernières; puis, de deux en deux, à partir de j^2= Ce, les extrémités des ordonnées intermédiaires qui occupent des » numéros de rang pair.
J'obtiens ainsi un polygone inscrit, dont Taire, moindre que celle de la courbe, est exprimée par
en appelant S la somme des ordonnées de rang pair.
Je mène, à Textrémilé de chaque ordonnée de rang pair, une tangenle terminée à l'ordonnée qui la précède et à celle qui la suit immédiatement, et j'obtiens ainsi une aire polygonale à angles saillants et rentrants, plus grande que l'aire de la courbe, et qui a pour expression
1 hy\ -h 2 hy\ -4- 2 hy^ = 2 AS.
En prenant donc pour valeur approchée de l'aire mixtiligne la demi-somme des aires polygonales, il vient
A(',S+>l±Z'2i+ii)
l'erreur commise étant moindre que la demi-différence entre ces mêmes aires, ou que
j^ [Ti-^n
__ r.-rA 4 )
En général, si Ton divise l'intervalle ah des ordonnées extrêmes en 2/1 parties égales, on aura, pour valeur approchée de l'aire correspondante.
APPLICATIONS, ETC. igg
el, pour la limite supérieure de Terreur qui a pu être commise.
Je joins par des droites AB, CL, les extrémités des ordonnées extrêmes el celles de la seconde el de ravani-dcrnière; ces droites viendront couper l'ordonnée du milieu Gg-, aux points respectifs M et N, tels que Ton aura évidemment
(3) E = iA.MN.
L'une ou l'autre de ces expressions de la limite de l'erreur commise pourront servir à régler la marche des opérations arithmétiques dans chaque cas, et détermineront, à l'avance ^* en quelque sorte à vue, le plus petit intervalle ac ou bl des ^i^onnées extrêmes qu'il convient d'adopter, et qui sont des Parties aliquotes, en nombre pair, de l'intervalle entier ab.
Lorsque la portion de courbe considérée est entièrement convexe vers l'axe ab des abscisses, l'aire relative au polygone circonscrit devenant moindre que celle qui se rapporte au Polygone inscrit, il est évident qu'il suffira de changer l'ordre ^^ soustraction ou le signe des résultats, pour obtenir une ^îniite correspondante de l'erreur; l'expression de la moyenne l^i donne approximativement l'aire cherchée restant la même. 11 est évident encore que la méthode restera applicable au cas ou la courbe offrirait des points d'inflexion, des changements de sens de la courbure ou toute autre particularité essentielle, pourvu qu'on la suppose partagée en parties concaves Ou convexes, limitées à ces poinis, et pour Taire desquelles ^^ appliquera les formules précédentes. Les chances d'erreurs seront même généralement moindres, puisqu'elles pourront avoir lieu en sens inverse pour les différentes parties concaves ei convexes de la courbe.
Quant à la détermination d'une limite approximative et supérieure de l'erreur commise dans les mêmes circonstances,
^* sera nécessaire de rechercher cette limite pour chaque partie
séparément, afin d'additionner leur somme, ^'^fin, il est presque inutile de faire remarquer que c'est
200 HËCAKIQUE INDUSTRIELLE.
surioul dans les parties oii la courbure est très -prononcée et s'écarte le plus de la ligne droite, qu'il conviendra de resserrer les ordonnées ou les opérations arithmétiques.
Applications numériques. — Soit d'abord à évaluer l'aire d'un quart de cercle, de rayon égal à i. Je divise le rayon qui sert de base à l'aire en lo parties égales; alors on a A = e,i, et l'on calcule facilement les longueurs suivantes :
r. r» y\ r* y\ jio ju
i,oooo, 0,9949, 0,9539, 0,8660, 0,7139, 0,4358, 0,0000.
Substituant ces valeurs dans la formule générale ci-dessus, on trouve, pour la valeur approximative de l'aire du quart du cercle, 0,78413, et, pour la limite supérieure de l'erreur, 0,01077,
La valeur exacte de cette aire étant 0,78539, l'erreur coiftmise est 0,00126, quantité beaucoup plus faible que la limita précédente.
Ainsi la formule d'approximation nous donne l'aire à moirB * de ~ près de la valeur exacte; approximation très-granA pour le petit nombre de calculs que l'on a eu à effectuer.
Soit ensuite à évaluer Y aire de V hyperbole équilatère aywf^ pour équation xy=i i, et dont les limites correspondent ^ x = 1 et X =:^ 1,
Je divise toujours en 10 parties égales la base de l'aire, c^ qui donne encore A = 0,1, et j'obtiens
J, = 1 ,000, y-:, z= 0,9090, J4 = O, 7692, Je = 0,6666,
La valeur approchée de l'aire est A = 0,69348; la limite d-l'erreur £ = 0,0062; la valeur exacte de l'aire étant le loga^ riihme népérien de 2 ou 0,69314, l'erreur commise est moin^ dre que o,ooo4 ou titi*
£n général, l'approximation est beaucoup plus grande qu celle qui est indiquée par la limite calculée de l'erreur, ce qi^ n'a rien de surprenant; et, selon la nature particulière de I courbe ou de la loi des ordonnées, il arrivera même quelque fois que la somme relative au seul polygone inscrit ou au sei^
ation. — Celle mélhodo do quadrature, que nous extrayons texil des Éléments ele Mécnniqae de H. Resal, OÙ elle a ét^ pu- >rcmier.1ieu, a reçu de M. Parmenlier [Note sur la comparaison entes méthodes d'approximation pour la quadrature des courbes, ( de l'Officier du Génie, a° XVI) un perfectionnement approuvé riclioii par Poncelet. Ce perreclionnement consiste à prendre wr approchée de l'aire de la courbe, au lieu de la somme de a &gufe inscrite et de la doini-diiTérence entre celle-ci et l'aire re circonscrile, la somme de la figure inscrite et des deux tiers IreDce ci-dessus. Celle modification, obtenue par M. Parmenlier B considérations tirées de la formule de Taylor, se justifie trèsnt, comme l'a indiqué Poncelet lui-même, par celle remarque, d'un segment de parabole est les deux tiers de l'aire du paralne dont les deux côtés sont la corde du segment et la flèche parallèlement à la direction des ordonnées; ou encore, ce qui se >eul être plus exaclement à la figure nécessitée pour l'exjwsition .bode de Poncelet, que l'aire du segment de parabole est les I de l'ciire du triangle formé par la corde et les tangentes me- Bxtrémilésdecelle-ci.En reprenant la formule, nous trouvons
i-.ri.-n
Du travail produit par la détente des ^az.
Exemple de la manière de calculer ce travail. — Re^maintenant la dernière des questions du n" 179, et
appliquons-y la méthode qui précède, en négligeant d'ailleun comme nous l'avons fait alors, le recul dé la pièce qui est(t7!! presque toujours insensible. Cherchons, à cet effet, la loi qu suivent les pressions de Tair à mesure qu'il se développe o se détend en poussant le boulet en avant, c'est-à-dire (Si formons la Table qui donne, pour chaque chemin parcoui par ce boulet dans l'intérieur de la pièce, la pression corre pondante. Soit 0 / {PL II, fig. ^i)\à longueur totale de l'âme, C la portion de cette longueur occupée primitivement par l'ai supposé comprimé à 1200 atmosphères; d'après ce quiaé admis à la fin du^n" 179, Oa sera le \ de Oi, et le \ de l'e pace ai parcouru par le boulet; divisant donc ai en 8 parti égales aux points 6, c, d,,... A, elles seront aussi toutes égal à Oa, et représenteront chacune des volumes cylindriques' l'âme, égaux à celui qu'occupe l'air comprimé. Ainsi, quai le boulet sera successivement arrivé en 6, en c, en rf, ene,en /, le volume primitif Oa, de cet air, sera double, tripi quadruple,..., njonuple. Et, si nous admettons (172) la loi < Mari£)tte ( 16) (*), la pression exercée par cet air, sur le boule qui d'abord était de 1 200 atmosphères, n'en sera plus que la; le j, le 7,..., le j; c'est-à-dire qu'elle sera respectivement
De 1200, 600, 400, 3oo, 240, 200, 171, i5o, i33atfD.
Aux points .... rtf, ^, c, r/, e^ /, ^, /*, /,
Ayant pour n*". i, 2, 3, 4> 5, 6, 7, 8, 9.
Élevant les perpendiculaires aa\ bb\ cc\..., ii\ sur 0/, ^ portant, sur ces perpendiculaires, des longueurs proportion nelles aux pressions correspondantes, on formera la courb a*b' c' . , .V y nommée hyperbole équilatère, et dont la pro priété essentielle consiste en ce que les produits de chaque 01 donnée par son abscisse sont constants, ou, ce qui estlamêtt chose, en ce que les ordonnées suivent le rapport réciproqï ou inverse des abscisses correspondantes. La surface de cet courbe, limitée aux ordonnées aa% ii', et à l'axe ai, repr sente, d'après le n° 72, la valeur du travail variable dévelop
(*) Les valeurs de ces pressions devraient être déterminées conforméin aux indications de la IVote du n^ 179; ces corrections ne modifieraient en i les conclusions formulées dans le n^ 182. (K.)
APPLICATIONS, ETC. t203
ressort de Tair contre le boulet; mais il n'est pas né- B de tracer la courbe elle-même pour obtenir la mesure ravail ; le tableau ci-dessus suffit, en y appliquant la le du n® 180, car l'intervalle total ai se trouve justement en un nombre pair de parties égales par les diverses ées. ^
ici, en effet, pour
e des ordonnées extrêmes 1 200 -H 1 33 =1 333*'"*
le des autres ordonnées impaires. 3(4oo+2/|0+ 171)^ 1633
Ile des ordonnées paires 4 (600 -+- 3oo -+- 200 -h 1 5o ) = 5ooo
Total 7955«'«»
idrait multiplier ce résultat (177) par i''«,o33, puis par ice de 176 centimètres carrés du cercle de section de c'est-à-dire par i8i^«,8i, pour avoir la somme despres- ^éritables. Pour obtenir le travail total résultaat de issions, il faudra, de plus, multiplier cette somme 6 = yOa; le résultat sera donc jOax 7955''"*, ou ,7 XOa multipliés encore par i8i''«,8i, ce qui donne ent(177)
tio5^S6 xOa = 482 io5*^«,6 X { 3™, i = 166059^8"'.
)urbe des pressions tournant sa convexité vers l'axe OB cisses, il est clair (180) que le résultat obtenu doit surun peu le véritable; on voit aussi que la courbe diffère up d'une ligne droite dans la partie qui répond aux 6', c'y d'y e'; il y a donc lieu de craindre que l'excès, s'agit, soit assez considérable pour qu'on ne puisse le r; en conséquence, il conviendra de multiplier davan- ; opérations vers les points 6, c, rf, e. Pour ne pas être de recommencer tous les calculs, nous considérerons a portion de l'aire totale, comprise depuis aa' jusqu'à nous subdiviserons les intervalles primitifs des ordon- 1 deux parties égales aux nouveaux points m, n, p, q; 5 d'elles sera donc égale à |0«, et les espaces occupés ivement par le volume primitif Oa de l'air seront res-
2o4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
pecUvement
Oa H- jOa = fOaenm, (2 -i-|)Oa= \-Oaen /i,
(3 + j)Ort = jOa en/?, enfin
|0a en g.
Par conséquent, d'après la loi de Mariolte, les pressions correspondantes seront les |, les |, les 7 et les | de la pression de 1 2o<^ atmosphères, relative au pointa; en joignant à*ees pressions celles déjà calculées plus haut relativement aux points 6, c, d, e, on formera, pour la portion ae, la nouvelle Table qui suit :
Pressions.. 1200, 8oq, 600, 4^0, 4^0, 343, 3oo, 267, 24oata).
Points a, w, ^, /?, c, p, d, q^ e^
Numéros.. i, 2, 3, 4> 5, 6/ 7, 8, 9.
Par conséquent.
Somme des pressions extrêmes 1200 + 34^ = ^W^
7. fois celle des pressions impaires. ... 2 (600 H- 4^0 + 3oo) = 3600
4 fois celle des pressions paires 4 (^oo •+• 4^0 H- 343 ■+- 267) = 7660
Total 11600»*
qu'il faut d'abord multiplier par yam = yOa, ce qui donne pour résultat.^ II 600 xOa = 1933***", 3 X 0«, et ensuite pff i8i''«,8i. Mais, comme cette dernière multiplication se reproduirait à la fin de chaque résultat, et que nous ne voulons ici que comparer entre eux les chiffres de ces résultats, nous ne gligerons de l'effectuer, dans ce qui va suivre, aGn d'abrégé les calculs; seulement on devra se souvenir, dans les applid tions particulières, que, pour obtenir le travail véritable, restera encore à multiplier chaque nombre trouvé, parla pre sion totale qui répond à la surface de section de l'âme ei à pression atmosphérique moyenne.
En recherchant, comme on vient de le faire pour la part aa'ee'^ le surplus ee' i' i de la surface de la courbé, et borna simplement les opérations aux points de divisions y", g-, /i, q
IPPLICITIOKS, BTC. 3o5
it alors une approximation. sufflsanle, on la trouvera
■10a[24o + 135 + 2.19 1 + 4(200 4- 'So)] = |2 iiS.Oa = 7o5"» X On.
^néral est donc i933"%3.0a + 7o5'"".Ofl = 2638'"",3.0a,
très-peu moindre que celle 265i"'",7.0(ï trouvée imenl; ce qui prouve l'excellence de la méthode.
retiion moyenne de l'air, vitesse imprimée, etc. — ji =!jOg, représente la longueur d'âme a^j'jS décrite ulét, il est clair que 2638"", 3. 0«, divisé par 80a, ,8, indique précisément (177) la vateuc moyenne de >n que. en vertu de sa détente, l'air exerce contre ce
10 voit donc, sans aller plus loin, que la vitesse imce dernier surpasserait 5oo mètres dans les suppo-
Huelles, puisque l'effort moyen de la poudre, pour cette vitesse, s'élève au plus à 3o8 atmosphères (177). rès-facile, au surplus, de calculer quelle est la tendevrait recevoir le volume ou la charge d'air, repréirO«, pour imprimer au boulet la vitesse juste des 3s, tout restant le même d'ailleurs et la pression des Bsphères étant seule changée; il est évident, en effet, •ésultats partiels et totaux des opérations ci-dessus
11 proportionnels à la pression primitive. On posera roportion
d'où
tension demandée.
t>lenir un tel degré de tension à l'aide d'une machine tssion ou d'une pompe foulante (179), il faudrait,
loi de Mariotie, coercer, dans le petit espace repré- Oa, un volume d'air, pris à la tension atmosphérique , qui serait égal à 1 121 fois On; et, comme les den- . proportionnelles aux pressions (36), on voit que le ibe de l'air ainsi condensé pèserait aussi ii2[ fois
206 MÉGAI^IQUE INDtJSTRIELLB.
celui de Tair ordinaire, dont le poids est, à peu près (M), de i''«,3, c'esl-à-dire 1457 kilogrammes; la densité de Tairduréservoir devrait donc égaler presque i 7 fois celle de Teau^e son poids, qui serait (179) de 0% 006 X i457^' = 8^«, 742, surpasserait même le double du poids de la charge dansletii avec la poudre (177). Or il pourrait bien se faire que, parsuiU d'un tel rapprochement des parties, Tair $e convertît en ui liquide véritable, ainsi qu'il arrive pour plusieurs autres corpi gazeux, et notamment pour les vapeurs (3 et 5), lorsqu'on Icj comprime seulement de quelques atmosphères.
Quoi qu'il en soit, il paraît difficile d'admettre qu'on puisse, de longtemps encore, obtenir l'air à un pareil état de condensation, et il y a lieu de croire par conséquent que la poudre, qui nous représente également un grand volume de gaz coerGés dans un petit .espace et dont la tension est neutralisée 1^1 \k force d'affinité ou d'agrégation des parties, que la poudre qui est si facilement transportable, continuera,. à moins de décottvertes chimiques majeures, à remplir dans les combats le rite qu'elle y joue depuis tant de siècles, malgré l'élévation de son prix comparé à celui des autres moteurs, et malgré l'inconvénient, quelquefois très-grave, qu'elle présente de rendre inhabitables les lieux clos où l'on en fait usage.
183. Des avantages de la détente prolongée et de sa limite utile. — Nous avons supposé la pièce de la longueur ordinaire, mais on gagnerait nécessairement quelque chose, sur la tension primitive de l'air, en augmentant cette longueur; car ici les effets du refroidissement (173) ne paraissent pas, à beaucoup près, avoir autant d'influence que lorsqu'il s'agit desgw de la poudre. Il n'en serait pas de même évidemment des pertes croissantes dues au jeu du boulet dans la pièce, au frottement, à la résistance de l'air atmosphérique extérieur et il est probable que, passé un certain terme, on relireraH en raison de ces pertes, fort peu d'avantages en augmentais les dimensions de l'âme : calculons néanmoins le surcro d'effet produit par la détente prolongée de l'air, en négligea^ tout à fait les pertes dont il s'agit.
Supposons d'abord que Oi (PL Ihjig. 40 soit augment de deux parties ij,jky égales chacune à Oa ou à | de la \(J
totale Oi de Tâme, considérée dans le premier cas (181); •uvera, pour les pressions exercées en f , j et k respecti-
80 el 81) la surface de ii'h'k aura pour mesure
33 + 109-1-4. i2o)=;0aX J 722 = 240**'", 7 XOrt environ;
-dire qu'en donnant à Tâme une longueur totale de +-|3",io = 3"*,8o, la quantité de travail de Tair sera mtée d'à peu près -^ de sa valeur 2638'**", 3 X Oa, relata longueur de 3™, 10.
prolongeant de nouveau Tàme de /ir=i/f = 20a, on rait, delà même manière, que l'augmentation de travail Ide serait de 2oo**"x0a; la somme totale du travail ppé par la détente de ce fluide, pour la longueur d'âme {8 qui excède, de près de moitié, la longueur primitive, donc
(2638, 3 -+- 240, 7 -+- 2oo)0a = 3079**™ X 0«,
dire qu'elle surpasserait de 7 celle qui se rapporte à
ernière longueur; de sorte que la force vive imprîfhée
ilet serait aussi plus forte de ~. Quant à la pression
ne, dans le cas actuel, on la trouvera en divisant le t]l*a-
al 3o79'**"X 0«, par «/•= i20rt, longueur d'âme décrite
3070**"» xOa tfci..^ Cl )oulet, ce qui donne — — ^ = 25d^*",d environ :
(ression moyenne est, comme on voit, moindre que [Ui répond au tir ordinaire avec la poudre (177), quoiforce vive imprimée soit réellement augmentée dans )ort de la quantité de travail 3079**" xOa, à celle X 80a = 2464'*"* X Ofl, qui est relative à ce dernier longueur d'âme étant alors 80 «.
s'agissait seulement d'imprimer au boulet la vitesse de êtres, comme dans ce dernier cas, il suffirait (182) de imer l'air du réservoir à la tension de
1 200 X 2464 xOa ^ ,tm
-î— TT = q6o**" environ.
âo8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
Pour une vitesse moitié, ou de 260 mètres, il suffirait (178 i 182 ) de donner le quart de ? 200 atmosphères ou 3oo atmc sphères de pression à l'air du réservoir, dans le cas de la pièc courte, et ^960 = 240*^" dans le cas de la pièce longue. E allongeant de plus en plus Tâme, il est clair que le travail produit par la détente, irait aussi en croissant; de sorte que, pour produire les mêmes effets, la pression absolue dans le réservoir pourrait être progressivement diminuée; mais on remarquera que, passé un certain terme, cet accroissement et cette diminution deviendraient peu sensibles, même en faisant abstraction de toutes les causes de perles rappelées cidessus. Car nous avons trouvé, par nos diverses opérations, que le travail était proportionnel à igSS"'"*, 3 pour le pointe {PL //,/g'.4i),à i933«*«»,3-i-7o5°t™ = 2638*^»,3pourlepoinli, à 2638**'", 3 + 24o**™,-7 4- 200""*= 3079'»*'" pour le point r; de sorte que, dans la première partie ae de la détente, il est près du triple de celui qui répond à la seconde partie ei = ae,ti près du quintuple de .celui qui est développé dans la troisième ir= ae. A une distance du point a égale à 100 fois ae, oui
1 200"'™ 4oo fois Ouy la pression serait réduite à environ — 7 = 3**",
et le» travail, sur une longueur égale à ae ou 40a, serait, au plus, 40«X3«""=r 12**'" X0«, ou -jYi ^^ ^^*"i Qu* est produit dans le premier intervalle ae, etc. Or on conçoit que les résistances et pertes de toute espèce suffiraient alors pour absorber ces faibles augmentations du travail.
En calculant d'ailleurs le travail total développé par la détente de Tair, dans cette longueur d'âme de 100 fois ae, on le trouvera égal à environ 72oo'**'^X On, quantité qu'il faut diminuer, tout au moins, de celle i^^'^x 4o^0« =4oo''*"'xOfl» qui est absorbée par la pression de l'air atmosphérique extérieur; ce qui la réduit à 6800®'"* X Oa, qui surpasse très-peu le double de la quantité de travail
3o79«*«» X Oa — i**"" x i^Oa = 3o67«*'» X Oa
relative au point r; mais, eu égard aux autres genres de pertes, cette première quantité de travail serait moindre encore.
184. Examen particulier des différentes causes qui di^^ nuent les effets de la détente des gaz. — Nous avons A€
plusieurs fois remarqué que le frottement du boulet, dans rame de la pièce, est une quantité irès-faible et qu'on peut toujours négliger, tandis qu'il en est tout autrement de la perte de gaz, occasionnée par le vent du boulet, laquelle tend continuellement à diminuer la densité et la pression intérieures, de manière à les faire différer de plus en plus de celles qui, selon la loi de Mariette, auraient lieu, sans cette perte, pour chaque position du boulet. Connaissant le jeu de ce dernier dans l'âme, il ne serait pas impossible, à la rigueur, de calculer la perte de gaz dont il s'agit, d'après les lois de l'hydraulique qui seront enseignées dans une autre Partie de ce Cours; car cette perte est proportionnelle à la vitesse avec laquelle le fluide tend à s'échapper en vertu de la pression intérieure, et à la surface du vide qui règne au pourtour du boulet, surface qui, à largeur égale, croît à peu près comme le calibre des pièces ou la circonférence du boulet.
Mais il est une autre cause de déchet de la force motrice, et qui exerce une influence peut-être plus grande encore sur la vitesse du boulet : c'est celle qui provient de l'inertie même du fluide. En effet, la force de ressort de ce fluide n'est pas uniquement employée contre le boulet; une portion sert à imprimer le mouvement à ses propres molécules, et il en résulte une perte de travail mesurée (136) par la moitié de la somme des forces vives qui leur correspondent. Or la vitesse de ces molécules et leur poids total (182) étant généralement trèscomparables à la vitesse et au poids du boulet, on conçoit que la perte dbnt il s'agit est généralement aussi très-appréciable, et mériterait d'être prise en considération, s'il s'agissait de calculer rigoureusement les circonstances du mouvement (*).
Il résulte de là, d'ailleurs, que la pression éprouvée effectivement par le boulet, de la part des gaz, diffère plus ou moins de celle qu'il éprouverait, dans les mêmes positions ou pour les mêmes délentes, s'il était sans mouvement, ainsi que le suppose expressément la loi de Mariette (16), que nous avons prise pour base de tous nos calculs (**); et cette remarque s'a p-
(*) Voir à ce sujet le Traité d' Artillerie de M. Piobert, Hl* Partie. (K.)
(•*) Consulter la Note de Poncelet sur récouleraent de l'air {Comptes rendu des séances de V Académie des Sciences , t. XXI, p. 178). (K.)
aïO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
pUque aussi à la tension qu'exerce le fluide sur les différents autres points des parois de la pièce ou sur lui-même, laquelle, d'après le principe de Pascal (li), se trouverait répartie également et en tous sens, s'il y avait repos. Cette tension varie d*un point à un autre de la longueur de l'âme, conformément à la remarque du n" 68, elle est plus faible là où le fluide éprouve plus de facilité à se mouvoir, c'est-à-dire près du boulet; elle est plus forte, au contraire, là où il éprouve le plus de résistance, c'est-à-dire vers le fond de l'âme, puisqu'elle doit y vaincre à la fois .la résistance provenant de l'inertie du boulet et de tout l'air interposé. Ënfm il n'est pas moins évident que la vitesse du fluide varie, de son côté, selon la distance du boulet au fond de l'âme, et qu'elle est plus forte près du boulet qu'à la culasse où elle se réduit à la vitesse du recul (174), vitesse dont la direction, contraire à celle du boulet, indique même qu'il se trouve, non loin de là, un point où le fluide est complètement en repos.
On voit, d'après cela, qu'il existe une relation nécessaire entre la vitesse et la tension ou la densité (36) des molécules en chaque point; de telle sorte que, cette densité étant précisément la plus faible là où la vitesse est la plus forte et réciproquement, il en résulte nécessairement aussi que la force vive des différentes ^mncAe/élémentaires du fluide, comprises entre des sections perpendiculaires à l'axe de la pièce, doit être une quantité assez faible comparativement à celle qu'auraient ces mêmes tranches, si, conformément au principe de Pascal, la densité était la même partout et si la vitesse était aussi, dans les différentes tranches, égale à celle du boulet. Mais, comme à l'instant où ce dernier quitte la pièce, les molécules du gaz sont encore dans un état de tension très-grande, surtout aux environs de la culasse, il en résulte qu'elles conservent aussi une quantité d'action disponible très-comparable à celle qui a été développée utilement contre la pièce et le boulet, et qui, réunie à la moitié de la force vive déjà acquise par ces diverses molécules, doit la surpasser d'autant plus que la pièce est plus courte ou la détente moins prolongée. Enfin, il ne paraîtra pas moins évident que, puisque la pression contre le fond de l'âme surpasse notablement celle qui a lieu contre le boulet, la quantité de mouvement imprimée à la pièce (173)
el qui produit le recul quand celle pièce esl libre, doit êlre aussi plus grande que celle que reçoit le boulet; de sorte que la vitesse du recul esl, par un double motif (ITiSi'}, plus forte que ne l'assigne le principe du n" 173.
185. Réflexions nouvelles sur la déperdition inévitable du travail dans la réaction des corps, et sur les courtes mais ra^ pides détentes des gaz. — Ce ne serait pas ici le lieu d'entrer dans de plus grands développements sur les lois du mouvement et de Faction des gaz, lois qui se reproduisent, d'une manière analogue, dans le choc ou la réaction plus ou moins brusque (153 et suivants) des corps élastiques; nous avons voulu seulement donner une idée de la nature des causes qui empêchent que la détente n'ait son entier effet, et prouver surtout que l'inertie des molécules des gaz, lorsque celte détente est rapide, peut exercer une certaine intluence sur le mouvement transmis au boulet, et occasionner des pertes d'effet tout aussi appréciables que celles qui proviennent des fuites et des diverses résistances. Il est donc bien vrai de dire (140, 103 et suivants) que la quantité de travail qui a été primitivement dépensée, pour changer la forme, la position ou en général l'état d'un corps, ne peut jamais être restituée d'une manière complète, ou sans qu'il y en ait une certaine pbrtion de consommée, en pure perte, pour l'effet utile; car il s'agit ici de gaz qui sont des corps éminemment élastiques.
A la vérité, on diminue considérablement les perles de travail, occasionnées par l'inertie des molécules des gaz, en utilisant leur force de ressort contre des masses ou des résistances plus grandes que celles d'un boulet de canon ordinaire, et qui ne cèdent que lentement ou avec peu de vitesse à leur action ; mais alors la déperdition du calorique el les fuites augmentent rapidement avec le .temps; et si, dans la vue d'éviter ces fuites, on cherche à diminuer le jeu au pourtour du boulet ou du piston, jeu vérilablemeni indispensable, on augmente considérablement le frollement le long de ce pourtour. Enfin, en admettant même que ces différentes causes de perte n'existassent pas, il arriverait encore qu'on ne pourrait utiliser complètement le travail recelé dans le volume primitif des gaz, puisque le cylindre où se fait la détente xne saurait recevoir,
212 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.
dans l'exéculion, qu'une longueur fort restreinte par rapport à celle que lui assigne la théorie, pour le maximum d'effet.
Ces dernières réflexions sont principalement applicables à la détente de la vapeur d'eau, dont il sera fait mention plus loin; mais il ne faudrait pas en conclure généralement que la détente des fluides élastiques présente peu d'avantages, et que tout son effet est absorbé dès les premiers instants où elle s'opère; car l'expérience prouve, même pour les gaz de la poudre dont l'action diminue beaucoup (173) par le refroidissement, que, si cet effet a une limite nécessaire dans chaque cas, cetle limite n'est pourtant point aussi rapprochée qu'on pourrait d'abord le présumer d'après ce qui précède. On peut admettre, par exemple, que la détente, dans le cas examiné ci-dessus, et quand le vent est réduit à ce qui est strictement nécessaire, ne cesse pas d'être avantageuse tant que le volume occupé par le giaz n'excède pas 4» ou 5o fois le volume primitif. Nous verrons bientôt d'ailleurs que la limite relative aux machines à vapeur ordinaires est beaucoup plus restreinte.
On est obligé, dans l'artillerie, de se servir de pièces trèscourtes, telles que les ohusiers et mortiers qui servent à lancer des boulets creux; il semblerait donc, au premier aperçu, que les effets de la détente devraient y être à peu près nuls, de sorte qu'à charge égale de poudre, la force vive imprimée au projectile y serait beaucoup moindre que pour les pièces longues, ce qui n'est pas. Mais on doit observer que, dans les premières pièces, la charge est toujours très-faible par rapport au poids de l'obus ou de la bombe, et que le rapport du volume Ojccupé par la poudre au volume total de l'âme, diffère peu de celui qui est relatif aux pièces longues ; or il en résulte que les quantités de travail totales développées par la détente des gaz doivent, à circonstances semblables, être encore à peu près les mêmes dans les deux cas, eX que la seule différence doit consister en ce que la force motrice, la pression sur le projectile, est plus grande dans le dernier et opère son effet total dans un temps beaucoup plus court. C'est ce que démontrent, on effet, les principes qui suivent.
186. Principes relatifs au travail produit par la détente des gaz. — L'un des plus importants d'entre eux, envisagé sous
son point de vue le plus général, consiste en ce que, quelle que soit là manière dont on fasse agir un volume donné de gaz comprimé à un certain degré, sur une résistance qui cède graduellement à son action, le travail développé sera, toutes choses égales d'ailleurs, constamment le même pour la même détente ou la même augmentation du volume primitif. Comme ce principe a de nombreuses applications dans les arts, nous ne croyons pas inutile de nous arrêter un instant à sa démonstration, en prenant pour exemple le cas des mortiers.
On sait que, dans ces armes, la poudre est enfermée dans une cavité cylindrique particulière ABCl)(P/. Ilyjig. 4^), nommée chambre, et dont le diamètre est beaucoup plus petit que celui de rame ou du projectile. Or, si nous faisons abstraction des propriétés physiques particulières de cette poudre, pour ne nous occuper que des effets de la simple détente des gaz qu'elle produit par son inflammation; si nous supposons, en d'autres ternies, ({u'elle soit remplacée par un volume égal de gaz comprimé à I200 atmosphères, par exemple, comme dans le cas examiné plus haut, 11 nous sera facile de calculer la quantité de travail que, abstraction faite des pertes (18&'), ce gaz produira par sa détente dans l'intérieur de l'âme, en concevant toujours, pour la simplicité, le projectile remplacé par une sorte de piston ou cylindre de même diamètre que celui de l'âme, et qui serait terminé par une face plane MN du côté du fluide; hypothèse qui n'altère en rien les résultats, attendu qu'on prouve aisément, par les principes qui seront établis plus tard, que le travail, communiqué par le fluide, est indépendant de la forme du projectile censé remplir exactement le contour de l'âme. Tout consistera donc encore à déterminer la valeur de la pression totale exercée, par le gaz, pour les diverses positions du plan MN.
Supposons, par exemple, que, le piston étant arrivé en 6> le volume occupé alors par ce gaz soit égal à 6 fois le volume primitif ABCD; d'après la loi de Mariotte, la pression sur chaque centimètre carré de la surface de la section MN, correspondante à 6> sera aussi \ de 1200 atmosphères ou 200 atmosphères; par conséquent la pression totale, sur cette section
22 MN^ dont nous représenterons par A la surface "t"*— r-9 aura pour
valeur A X 200'**°»; chaque atmosphère valant i''«,o33. Supposons encore que le piston chemine jusqu'en 6', de telle sorte que le volume devienne les ^-^ de ce qu'il était en b, la pression sera donc ^ussi les ^^ de A x 2oo«*"> ou A X igg^^'^jS, et la quantité de travail, développée sur MN le long du petit chemin 6i' que jious nommerons .«, aura pour mesure trèsapprochée (72),
I fc6'( A X 2oo«*°» + A X igg^'^^jS)
Maintenant, si ftous considérons ce qui se passerait dans une pièce dont la section de Tàme serait beaucoup plus petite, et pour des positions du boulet répondant aux mêmes volumes du gaz ou aux mêmes degrés de détente; que nous représentions pareillement par a l'aire de cette section, et par E l'espace qui sépare les deux positions consécutives et correspondantes du piston, nous trouverons de même, pour la mesure du travail élémentaire développé, par le gaz, dans l'intervalle E dont il s'agit, E X a X i99^"",9; de sorte qu'elle sera, à la précédente, dans le rapport de e X A à E X «. Mais ces produits mesurent les augmentations du volume des gaz dans les intervalles e, E, et nous avons supposé que ces augmentations étaie*ïit les mêmes; donc les quantités de travail développées, dans les deux cas, sont aussi égales entre elles; et, comme nos raisonnements sont indépendants du degré de petitesse de l'accroissement égal du volume des gaz, comme ils s'appliquent à tous les accroissements pareils successivement éprouvés par le volume primitif, comme enfin il sont susceptibles de s'étendre à des vases ou enveloppes de forme quelconque, il en résulte une démonstration générale de ce principe :
Les quantités de travail totales, développées par un même volume de différents gaz, sous une tension donnée, sont aussi les mêmes pour des détentes égales de ces gaz, quelle que soit d'ailleurs la manière dont s'opère mécaniquement cette dé~ tente, et pourvu seulement que les circonstances restent semblables sous tous les autres rapports.
il est évident, en effet, que, si le jeu, le frottement des pistons et la vitesse de la détente n'étaient pas sensiblement les
APPLICATIONS, ETC. 2l5
mêmes de part et d'autre, ou si la perle d'effet qui leur correspond différait beaucoup dans les deux cas, les quantités de travail, transmises à ces pistons, ne seraient pas non plus égales. Mais, quand il sera permis de négliger ces causes de pertes par rapport à Teifet total, ou qu'on en tiendra compte, le principe sera rigoureusement vrai el applicable, pourvu encore que les gaz restent dans des circonstances ph)rsiques semblables; car nous avons vu (26) que leur tension est susceptible de varier avec la température, et que certains d'entre eux peuvent même se condenser ou se liquéfier par le refroidissement et la compression (3, 5 et 182). , La réciproque du principe ci-dessus se démontrerait d'une manière absolument semblable; et, en admettant les mêmes restrictions, on pourra dire que :
Pour réduire de quantités égales un volume donné de différents gaz pris à une tension déterminée, il faut toujours dépenser la même quantité de travail, quelle que soit la manière dont on s'y prenne pour opérer mécaniquement cette réduction.
Ces principes sont évidemment l'extension de ceux des n*»» 97 et 98, lesquels supposent également qu'il n'y ail aucun obstacle extérieur, aucune résistance étrangère qui*vienneni consommer inutilement du travail mécanique. Ces mêmes principes peuvent aussi être considérés comme de simples conséquences de celui de la réaction (64 et 68); car, puisque les gaz sont censés des corps parfaitement élastiques, il paraît, en quelque sorte, évident en soi que, pour amener leurs diverses molécules au même degré de tension ou de rapprochement, au même degré de mouvement, ou généralement au même état, il faut aussi dépenser la même quantité de travail absolue, de quelque façon qu'on opère mécaniquement; et qu'à l'inverse, un gaz comprimé doit restituer, dans sa détente, une quantité de travail utile, qui est uniquement relative à l'augipentation de son volume ou à la diminution de sa tension, toutes les fois que sa température et sa force vive n'ont pas été sensiblement modifiées (142 et 184), comme il arrive notamment quand la compression (*) ou la délente s'opère avec
(**) La température du gaz ne peut rester constante, même lorsque l'action
ïentfeur (*); mais c'est ce qui résulte aussi directement des propositions qui seront rigoureusement et généralement démontrées par la suite. Enfin on conclut encore de la démonstration ci-dessus, ainsi que des considérations mises en usage aux n"» 18f et suivants, que :
Si des gaz quelconques, considérés sous des tensions différentes^ ont été comprimés ou détendus d'une même fraction
s*opère avec lenteur, que dans le cas où toute la chaleur équivalente au travail de compression est perdue au dehors, ou que toute celle qui est consommée pendant la détente est restituée par une source extérieure. (Notes des n®* 179 et 186.) (K.)
(*) Le calorique pouvant être considéré (24) comme un fluide éminemment élastique, sans inertie ou pesanteur, et dont l'état de tension est indiqué par la température thermométrique (22), il en résulte qu'on peut lui appliquer, jusqu'à un certain point, les mêmes raisonnements qu'aux çiàz matériels, et dire : « qu'une certaine quantité de chaleur, introduite dans un corps ou » soustraite de ce corps, doit développer, contre les résistances directement » opposées à son action, des quantités de travail absolues qui sont toujours » les mêmes ou indépendantes du mode de cette action et de la nature des » corps, mais dont une certaine partie est, dans les solides et les liquides, » employée à contre-balancer la force d'agrégation des molécules. » Ce principe oflre quelque analogie avec celui qui a été mis en avant par M. S. Carnot, ancien élève dé l'Ecole Polytechnique, dans un petit Ouvrage intitulé : Réflexions sur la puissance motrice du feu (Paris, Bachelier, 1824 )• Quant à ce que nous venons de nommer quantité de chaleur, elle se mesure, non pas simplement par la température, mais par le nombre des kilogrammes de glace à zéro, qu'elle peut convertir en eau à la même température de zéro. Nous reviendrons sur cet objet dans la Partie de ce Cours, où il sera spécialement question des machines à vapeur.
Celte Note a été écrite avant iS3o, ainsi qne le constate l'ATertissemenl placé en tête de la deuxième édition de l'Onvrage. Le principe qal 7 est énoncé ne nous parait pas ressortir directement des démonstrations données dans le texte; tel qu'il est formulé, il n'est pas exact; Poncelet sous» entendait évidemment une condition, car II n'ignorait pas que toute la chaleur Introduite dans un corps peut n'avoir d'autre effet que d'en augmenter la température, sans produire aucun travail appréciable, ainsi que cela arrive pour les gaz parfaits cliauffés sous volume constant. Le principe est vrai si l'on admet que la température finale du corps qui reçoit la chaleur est égale à la température initiale, supposition que TAuteur fait expressément dans les démonstrations du texte; sous cette condition, il exprime nettement la proportionnalité de la chaleur et du travail qu'elle peut produire, ce qui constitue la base de la nouvelle théorie (Note du n* 105).
D'après la On de la Note, il semble que Poncelet ait eu en vue le passage de la chaleur d'un corps à un autre; il n'a maiheureussment pas développé ces idées dans la suite, et l'omission que nous signalons dans son énoncé nous paraît bien regrettable au point de vue de l'histoire delà théorie mécanique de la chaleur.
Nous ferons remarquer que si, dans l'état actuel de la science, on veut faire usage de l'ancienne hypothèse qui assimila le calorique à un fluide, la quantité de chaleur ne sera pas une certaine quantité de Jluide, mais la quantité de traçait que celui-ci tient emmagasiné, soit sous forme de travail comme un ressort bandé, soit sous fjrme de force vive résidant dans les mouvemdnis derétber. (K.)
APPLIGÀTIONSy ETC. 21 7
de leur volume primitif, les quantités de travail développées contre la résistance, ou consommées par la puissance, sont directement entre elles comme les produits de ces tensions et de ces volumes.
Celle proposilion se démonlre, en effet, aisémeni par la considéralion géométrique de la courbe du travail relative à la détente des gaz (181, PI. Ilifig- 40> ©^ ^^^^ servira utilement pour abréger les calculs dans certaines circonstances dont nous aurons des exemples dans ce qui va suivre.
du travail produit par l* action mécanique de la vapeur
d'eau.
187. Première idée du mode d'action de la vapeur dans les machines. — Le calcul du travail produit, par la délente de la vapeur, sur un corps qui cède à son action, s'effectue absolument de la même manière que pour l'air atmosphérique et les gaz permanents, quand on suppose que la vapeur ne subit point de refroidissement sensible pendant sa détente, et que par conséquent elle ne se condense ni en totalité ni en partie, ou ne se convertit pas à l'état liquide (3 et 5). Cette supposition n'est pas permise dans tous les cas, mais elle l'est sen* siblement dans celui des machines ordinaires mues par la vapeur d^eau; parce que la détente n'y est jamais poussée trèsloin, et parce que, indépendamment des précautions qui sont prises pour empêcher le refroidissement extérieur des cylindres où se fait celte détente, la vapeur les traverse très-rapidement, et se renouvelle fréquemment; de sorte qu'elle les fait parvenir et les maintient, au bout d'un certain temps, à un degré de chaleur très-peu différent de celui qu'elle possède elle-même (*). Il est évident que cela n'aurait pas lieu pour
C^) Cette supposition n'est plus permise aujourd'hui; nous savons que la vapeur se refroidit lorsqu'elle développe du travail, et l'expansion se produit trop rapidement pour que l'ensemble de la vapeur puisse se réchauffer sensiblement aux dépens des parois du cylindre, même lorsque celles-ci sont garanties par des enveloppes. On peut admettre, sans trop s'éloigner de la réalité, que, dans nos machines, la vapeur se détend sans addition ni soustraction de chaleur. Dans ces conditions, l'expansion de la vapeur est généralement accompa-
2l8 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.
des cylindres froids ei pour les premiers instants où Ton y introduirait de la vapeur; ces cylindres rempliraient la fonction de vases réfrigérants qui servent à condenser les vapeurs dans la distillation ordinaire des liqueurs; car, une partie de cette vapeur se trouvant réduite en eau, ce qui en resterait ne remplirait plus autant Tespace vide, et n'aurait plus le même degré de tension, comme le prouvent très-bien les expériences entreprises par les physiciens. Ce que nous en disons ici est seulement pour éviter qu'on ne fasse de fausses applications des calculs et des principes.
Concevez (P/. //,yig. 43) un cylindre LMNO, de métal et parfaitement solide, dans lequel se meut verticalement un piston AB parallèle aux fonds inférieur et supérieur NO, ML, el dont la tige CD traverse ce dernier fond, par une petite ouverture bien garnie d'étoupes huilées et comprimées de manière à empêcher la vapeur de s'échapper. Concevez, de plus, que le fond du cylindre communique, par un tuyau EF, avec une chaudière fermée FJGH, demi-pleine d'eau et sous laquelle se trouve le foyer G, qui sert à échauffer cette eau et à la convertir en vapeur; supposez enfin que le tuyau EF puisse être fermé à volonté par un robinet en E, qui empêche la vapeur de se répandre sous le piston AB, quand cela est nécessaire. 'Enfin concevez un second tuyau IQK, muni également d'un robinet en I, et qui serve à faire communiquer le cylindre LMNO avec un second cylindre fermé (X), nommé cylindre de condensation ou condenseur, quand on veut se débarrasser de la va-
gnée d'une condensation partieUe, mais le phénomène inverse peut se présenter dans des conditions déterminées (MM. Rankine, Clausius, Combes, Hirn, Zeuner).
Ces considérations sufiisent pour faire reconnaître que des modifications essentielles doivent être apportées à la théorie donnée par Poncelet; nous ajouterons que M. Zeuner, qui a fait une étude détaillée de la machine à vapeur, d'après les bases de la théorie mécanique de la chaleur, donne une formule générale du travail effectif, dont on tire facilement, comme formule approximative, celle que Poncelet a déduite de sa théorie (n® 199); il arrive à cette conclusion que, si l'étude des détails des machines à vapeur, des perfectionnements dont elles sont susceptibles doit être faite d'après des principes nouveaux, on n'en doit pas moins conserver la formule de Poncelet pour calculer ces machines, tant que certaines constantes qui entrent dans les relations nouvelles ne seront pas déterminées avec précision. (K.)
APPUGATIONSy ETC. 21 9
peur que le premier contient, et opérer son refroidissement ou sa liquéfaction, par une gerbe d'eau fraîche, très-divisée, qu'on fait arriver dans(X), ou qu'on y injecte continuellement; vous aurez ainsi une idée exacte, quoique incomplète, de ce que c'est qu'une machine à vapeur à simple effet, mais qui sera suffisante pour comprendre parfaitement l'objet actuel de nos calculs.
188. Exemple de la manière de calculer le travail produit par la détente de la vapeur. — Nous supposerons que la température, la capacité de la chaudière et la génération de la vapeur soient telles, qu'en ouvrant le robinet en E (PI. II, fig. 43 )> la tension de celte vapeur (37 et suivants) se maintienne constamment à S^'^^jS sous le piston AB; de sorte que chaque centimètre carré de sa surface inférieure sera pressé, de bas en haut, avec un effort de l'^SoSS X 3,5 = 3^«,6i56, pendant tout le temps où la communication sera établie entre le cylindre et la chaudière. Supposant, en outre, que le diamètre du piston soit de o^jS^SoS sa surface sera de 3,i4i6.(4o)'=r 5026*^^,56, et la pression totale qu'il supporte de 5o26,56 x 3'^s6i55 = i8 174*"* à très-peu près. En vertu de cette pression, il sera capable de soulever un poids ou de vaincre une résistance équivalente, agissant à l'extrémité supérieure D de sa tige, et par conséquent de transmettre, à celte extrémité, une quantité de travail mesurée (71) par le produit de celte pression et du chemin parcouru par le piston pendant le temps où la communication avec la chaudière reste ouverte.
Par exemple si, à l'instant où le pislon est arrivé en AB, à une dislance aO, du fond du cylindre, égale à 32 centimètres, on ferme le robinet en E, la quantité de travail, produite par la vapeur agissant avec loule sa tension de 3*'*",5 sur le pislon, sera égale à 18 1 74''* X o*", 23 z=r 58i6''«'" environ. Maintenant, si nous admettons qu'on laisse détendre la vapeur jusqu'à ce qu'elle occupe un volume égal à 4 y fois environ son volume primitif, représenté ici par 0«, le dessous du pislon s'élèvera aussi à une hauteur Oe égale 8 41 ^ois Oa ou 32 cenlimèlres, c'est-à-dire égale à i",44î or il sera facile de calculer, par la méthode du n° 180, quel sera, dans celle hypothèse, le travail tolal communiqué par la vapeur au pislon.
Pour cela, divisons la longueur ae=i i™,44 — o™,32 = i"»,i2 de la course du piston, en un nombre pair de parties égales, par exemple en 4 parties, aux points 6, c et rf; chacune d'elles vaudra donc 1 1"», 12 = 0'", 28. El, en désignant par P la pression totale au point a, qui est de 18 174 kilogrammes, on pourra former la Table suivante des espaces parcourus ei des pressions successivement exercées, par la vapeur, aux différents points, en se servant toujours de la loi de Marioite (16), relative à la compression des gaz, et qui est ici applicable également (187) à la vapeur d'eau :
Positions du piston. . a^ b, c, r/, r,
Espaces parcourus.. 82% 60% 88% ii6% i44*,
Pressions correspon-
uaiJtc? ^.. i, «0*» «»*» ii«'» 1*4*'
Ou, simplifiant P, -ïV^P, tî^P, tj^P, ^V^P,
Ou, enfin i8i:j4'S 9692»^», 8, G6o8»'«,7, 5oi4'«,5, 4o38''%7,
N"* des pressions .. . 1, 2, 3, 4» 5.
Donc on aura :
Somme des pressions ex- ^^
trèmes 18174''' -*- 4o38*'*,7 =22212,7
2 fois celle des autres pressions impaires 2 x 6608''^, 7 =13217,4
4 fois celle des pressions paires 4 ( 9692'^«, 8 -h 5oi3''»,5)= 68826,2
Total 94266,3
Par conséquent la valeur approchée du iravail produit par la délente de la vapeur sera (180) égale à
en nombre rond. En y ajoutant le travail de 58i6 kilogrammètres produit, avant l'instant de la détente, comme on Ta trouve ci-dessus, on aura, pour le travail total communiqué par la vapeur pendant la course entière du piston, î46i3 kilogrammètres.
APPUGÀl^iONS, ETC. 221
189. Méthodes abrégées de calcul employées dans l' industrie; comparaison de ces méthodes avec la précédente. — Si, pour obtenir une première valeur approchée du travail produit pendant la détente, on se fût borné à partager l'intervalle ae en 2 parties égales au point c, on eût trouvé, pour cette valeur,
j ac(i8 1 74^» 4- 4o38"^»,7 4- 4 X 66o8»^S7 ) = i o'",56 X 48647^«,5 = 9o8i^»"»,
quantité de ^j environ plus forte que celle 8797 kilogrammètres trouvée par la première opération, et à laquelle on pourrait, pour la simplicité des calculs, s'arrêter dans Testimation pratique de la force des machines à vapeur. En effet, si on ajoute ce travail à celui qui a été développé avant l'instant de la détente, on trouvera, au total, 14896 kilogrammètres, qui ne surpasse que de ~ environ le total relatif au premier mode d'opérer, et qui diffère extrêmement peu du véritable, comme on peut s'en assurer en subdivisant encore les intervalles «6, 6c,... en 2 ou 3 parties égales.
Les mécaniciens et les constructeurs de machines à vapeur se contentent souvent de prendre, pour la valeur du travail relatif à la détente, le produit de la demi-somme ou de la moyenne des pressions extrêmes par la longueur de l'espace parcouru pendant cette détente. Ainsi, dans notre cas, ils obtiendraient
; /7^( 18 134^8 4- 4o38'^«,7 ) = I»", 1 2 X I ï io6'^«,35 = i2439^«"' ;
quantité qui surpasse de beaucoup celle de 8797 kilogrammètres, et qu'on ne saurait adopter que comme une approximation très -grossière, et d'autant plus insuffisante que, règle générale, il vaut mieux estimer la force des moteurs au-dessous qu'au-dessus de sa véritable valeur, afin de ne pas s'exposer à des mécomptes dans rétablissement des machines de l'industrie.
On voit bien d'ailleurs que celte méttîode, qui revient à prendre, pour l'aire du trapèze curviligne aa'c'e'e ( PL II, fis* 4^)> '21 mesure du trapèze rectiJigne aa'e^e, ou à supposer que le travail de la détente s'opère en vertu d'une pression
222 MÊCAmQUE INDUSTRIELLE.
constante (171 ), moyenne arithmétique entre les extrêmes, on voit bien, dis-je, que cette méthode n'est guère plus simple que celle qui consiste à considérer une troisième pression intermédiaire ce' y et que nous avons proposée ci- dessus comme suffisamment exacte pour les applications ordinaires.
190. Notions plus étendues sur les machines à vapeur à simple et à double effet. — Nous avons laissé ci-dessus ( 187) le piston au moment où il est parvenu au haut de sa course; or il faut concevoir qu'à cet instant, le robinet en I s'ouvre et laisse passer la vapeur dans le condenseur (X) par le tuyau IQK; le robinet, en E, restant toujours fermé, et la tension diminuant considérablement sous le piston, ce dernier descend par son poids ou par le jeu de la machine qui reçoit le mouvement du sommet de la tige CD. Le dessous du piston étant donc arrivé au bas de sa course en NO, il faut supposer que le robinet, en I, se ferme aussitôt, et que celui, en E, s'ouvre pour laisser arriver, de nouveau, la vapeur de la chaudière sous le piston, et recommencer le même travail que dans l'ascension précédente, et ainsi de suite alternativement. C'est, en eflfet, là ce qui se passait dans les anciennes machines à simple effet, dites de Newcomen; seulement la vapeur n'y agissait pas avec détente; elle affluait en plein, de la chaudière, pendant toute la course du piston; enfin la condensation de la vapeur s'opérait dans l'intérieur même du cylindre LMNO, ce qui le refroidissait considérablement à chaque oscillation, et produisait (187) un déchet énorme de la force motrice.
On doit à Watt, célèbre mécanicien anglais, l'invention et l'usage du condenseur sé^divé (X); et on lui doit également l'idée d'avoir fait agir la vapeur aussi bien dans la descente que dans la montée du piston; ce qui constitue véritablement les machines dites à double effet. Pour avoir une idée des moyens qu'il employa dans la vue d'atteindre ce dernier but, il faut concevoir un troisième tuyau TSR, qui mette en communication la chaudière FHGJ avec le dessus du piston, au moment où celui-ci est parvenu au haut de sa course, et qui porte un robinet, en R, pour intercepter la vapeur à l'instant convenable delà descente de ce piston; il faut aussi concevoir un quatrième tuyau UVZ, avec un robinet en U, qui serve, .
APPLICATIONS, ETC. 3a3
comme le luyau IQK, à évacuer celle vapeur dans le condenseur (X), au moment où le pislon, élanl arrivé au bas de sa course, doil, de nouveau, remonler par Taclion de la vapeur qu'on fail affluer au-dessous, à Taide du tuyau £F, alors ouvert en £. Enfin il faut concevoir que les mêmes choses, que nous avons expliquées précédemment pour la montée du piston et la vapeur agissant en dessous, se reproduisent de la même manière, pour sa descente et la vapeur qui agit alors au-dessus; de telle sorte que les robinets E, U, qui s'ouvrent simultanément pour la montée, restent au contraire fermés pendant toute la descente, et qu'à Tinverse, les robinets, en I et R, qui se ferment à la fois pour toute la montée, s'ouvrent au contraire à l'instant de la descente.
191. Du travail effectif des machines à vapeur^ à basse prèssioriy sans détente, et des effets de la pompe à air. — Dans les machines qui portent encore, de nos jours, le nom de fFati, la vapeur agit en plein, ou sans délente, pendant chaque course du piston, c'est-à-dire au-dessous pendant la montée et en dessus pendant la descente, de sorte que sa tension est constamment la même que dans la chaudière; de plus celte tension ne surpasse que de très- peu celle d'une atmosphère (d'un quart environ); ce qui a fait nommer ces machines, machines à basse pression et sans détente. On voit, d'après cela, combien leur calcul devient facile à l'aide du principe du n*» 71, puisque le travail produit, soit pendant la montée, soit pendant la descente du piston, a pour mesure \e produit de la longueur effective de sa course par la pression totale qu exerce, sur sa surface, la vapeur qui afflue de la chaudière, pression que nous savons bien calculer (188).
Toutefois, il est essentiel d'ob§erver que, pendant sa montée comme pendant sa descente, le piston devant chasser, devant lui, la vapeur qui se rend dans le condenseur (X), il éprouve, de la'part de celle vapeur, une certaine résistance dont il faut nécessairement tenir compte dans les calculs. En effet, cette vapeur ne se réduit pas inslanlanémeni ni complètement à l'état liquide ou en eau; le refroidissement n'est pas assez considérable pour que cela ait lieu; el, quand bien même il le serait assez, l'air atmosphérique, qui est amené continuellement, de
la chaudière, avec la vapeur (*), elqui provient de ce que Teau ordinaire en contient toujours une petite quantité entre ses molécules, de la même manière que le vin de Champagne mousseux, par exemple, contient du gaz acide carbonique (3), cet air, disons-nous, empêcherait encore que le vide (36) ne fût parfait dans le condenseur, ou que la tension n*y fût totalement anéantie. Bien mieux, Teau et Tair s'accumulant sans cesse dans ce condenseur, la tension y croîtrait de plus en plus, de manière à empêcher tout à fait le jeu de la machine; c'est pourquoi on ne manque jamais, d'après Walt, de joindre, à cette machine, une pompe séparée, ùïie pompe à air, et dont le piston, mis en mouvement par elle, sert à aspirer l'air et Teau du condenseur (X), au moyen d'un tuyau de communication, débouchant en Y. Malgré celte précaution importante, il reste encore assez de vapeur et d'air dans la capacité (X), pour que la tension, exercée contre le piston moteur AB, s'élève, dans les bonnes machines ordinaires, de tV ^ y d'atmosphère ou de o^»,io à o^«,2o environ par centimètre carré de surface; il en résulte donc qu'il faudra diminuer la quantité de travail mentionnée ci-dessus, de toute celle qui est développée, en sens contraire du mouvement, par la pression ^dont il s'agit; ce qui ne présente point de difficulté, comme on le verra tout à l'heure ( 193). ,
Mais ce n'est pas là tout encore, le piston AB laisse fuir une certaine portion de la vapeur qui produit son mouvement (**) ; frotte contre le cylindre, quelle que soit la perfection avec
(*) En général, l'eau froide qui est injectée dans le condenseur y amène bien f)lu8 de gaz que la vapeur qui sort de la machine. (K. )
(**) Dans les bonnes machines, cet inconvénient est complètement évité aujourd'hui; mais' aux causes de diminution du travail efleclif qui sont signalées dans le texte, il faut ajouter le travail consommé par la j)ompe alimentaire et les pertes résultant de l'existence de Vespace nuisible, 11 faut remarquer, en outre, que la pression de la vapeur sur le piston, par suite des résistances surmontées dans le trajet vers le cylindre, par suite des pertes de forces vives qui en résultent, est toujours un peu inférieure à celle qui existe dans les chaudières, et que, d'un autre côté, la contre-pression sur le piston est légèrement supérieure à celle du condenseur. — Voir, au sujet des pertes de force vive, la Note de Poncelet {^Comptes rendus des séances de V académie des Sciences du i3 novembre i8/|3), et le Mémoire sur la chaleur de M. Resal, dans lequel sont développées les formules de l'Auteur {Annales des MineSy i8Ci). (K.)
APPLICATIONS, ETC. ^StS
laquelle riniérieur de celui-ci ait été dressé ou alésé, ei ce froUemeiil est ici très- considérable; enfin la niachine se compose de beaucoup d'autres pièces qui frottent également, et elle doit, en outre, faire mouvoir la pompe à air; de sorie qu'il ne parvient réellement à la roue dont Tarbre porte le volant de la machine, et sur laquelle se prend le mouvementmoteur dans les applications de la vapeur aux diverses machines industrielles, il ne parvient, disons-nous, à cette roue, qu'une portion assez faible du travail directement développé par la vapeur contre le piston (*).
Dans le cas des bonnes machines à vapeur de Watt, de la force effective de lo à 20 chevaux, on devra compter seulement sur les 0,55 = 7^ du travail de la vapeur, calculé comme il a été dit plus haut, et déduction faite de celui que développe la vapeur du condenseur en sens contraire du mouvement. Pour les machines beaucoup plus fortes, de 3o à 5o chevaux, par exemple, les résîsl|inces et pertes sont proportionnellement moindres, parce que les plus influentes d'entre elles s'exercent simplement sur le pourtour ou la circonférence des pistons, tandis que la pression motrice agit sur la surface entière de ces mêmes pistons : on peut prendre alors, pour la valeur de la quantité de travail utile, les 0,6 ou | de celle que donné le calcul. Enfin, par un motif tout opposé, on devra, pour les machines de 6 chevaux et au-dessous, prendre les o,5 ou ~ seulement dé ce même travail. Ces chiffres doivent être considérés d'ailleurs comme des données fondées sur la comparaison des résultats du calcul à ceux de l'expérience (**), nous
(*) Nous n'avons pas mentionné l'influence qui pourrait cire exercée par l'inertie propre des molécules de la vapeur (184), par celle dir piston et des diverses autres pièces de la machine; car, d'une part, le mouvement est toujours ici très-lent ou surpasse généralement peu la vitesse de i mètre par seconde {^oyez la fin du n** 185), et de l'autre, ce mo\ivement se rapportant à ceux que nous avons nommés périodiques [kO], il n'y a, sous ce double rapport (141 et 152), aucun motif d'en tenir compte dans les calculs.
(**) On donne souvent le nom de coefficient d^ effet utile à la fraction par laquelle il faut multiplier le nombre trouvé par le calcul pour obtenir la valeur du travail ctfectif de la machine. Cette dénomination doit être abandonnée, car le calcul eflcctué d'après les principes exposés dans le tpxte ne donne pas la valeur exacte du travail disponible (Note du n® 187). Il faut considérer
les rapportons ici pour que le lecteur puisse, dès à présent, appliquer utilement ces calculs à la pratique, sans craindre de commettre des erreurs ou des méprises graves.
192. Notions relatives aux machines à vapeur, à moyenne pression, avec détente. — On appelle ainsi les machines, à double effet, dans lesquelles la vapeur agit à une tension de 3 à 4 atmosphères au plus; ces machines ont pris le nom du mécanicien anglais Woolf c^ui, le premier, a réalisé et mis à profit les avantages de la détente déjà annoncés par Watt; elles sont aujourd'hui généralement adoptées en France, où elles ont été introduites, depuis i8i5, par M. Edwards, autre mécanicien anglais très-habile, et elles ne diffèrent absolument des machines de Watt, dont il vient d*être question, qu'en ce qu'elles ont deux cylindres et deux pistons moteurs distincts; de sorte que la vapeur, au lieu de se rendre tout d*abord de la chaudière au cylindre LMNO (PÏ. II y Jig. 44)» ï^'y parvient qu'après avoir agi, sans détente, sur le piston, A'B', d'un premier cylindre L'M'N'O', dont la hauteur est à peu près la même, mais dont le diamètre est beaucoup plus petit et ordinairement moitié de celui du grand. Le mouvement des deux pistons AB, A'B' est lié à celui d'une même machine par le moyen de tiges, de balanciers, etc., de façon qu'ils s'élèvent ou s'abaissent, à chaque instant, de quantités à peu près égales.
La vapeur arrive dans le cylindre L'M'N'O', et en sort exactement de la manière qu'il a été expliqué ci-devant (190), si ce n'est qu'en quittant la chaudière, elle se rend d'abord dans
l'emploi do ce coefficient comme un moyen simple et suffisamment exact de tenir compte de l'imperfection de l'ancienne théorie, en même temps que des pertes de travail réelles. Ce nombre n'a, du reste, aucun rapport avec le rendement envisagé au point de vue de l'utilisation de la chaleur contenue dans la vapeur.
Le coefficient de correction^ compris ainsi qu'il vient d'être dit, varie assez rapidement, pour une même machine, avec les conditions de marche, la vitesse, la grandeur de l'introduction, etc. Nous devons ajouter que, depuis que cet Ouvrage a été écrit, l'art de construire les machines a fait de grands progrès, en sorte que l'on trouve généralement aujourd'hui des chiffres sensiblement supérieurs à ceux qui sont indiqués par l'Auteur; ainsi, pour des machines à détente avec condensation, de plus de lo chevaux, il n'est pas rare de trouver un coefficient supérieur à 0,70. (K).
un réservoir particulier qui enveloppe, de toutes parts, les deux cylindres, et qui est formé d'une sorte de chemise, en fonte de fer, exactement fermée : Tobjet de ce réservoir enve-* loppe est de garantir la vapeur qui agit sur les pistons des cylindres moteurs, de tout refroidissement extérieur, et d'assurer ainsi (184 et 187) les effets de sa détente. Mais, comme c'est au détriment du calorique contenu dans la vapeur qui arrive de la chaudière, qu'on obtient un tel avantage, cette disposition, à laquelle Woolf et ses successeurs attachent une certaine importance, n'est pas très-heureuse en elle-même, et il semble qu'il eût été beaucoup plus convenable, dans tous les cas, de faire servir au même objet la vapeur qui a déjà produit son effet sur les pistons, en la faisant circuler dans le réservoir enveloppe après sa sortie du grand cylindre LMNO(*). Quoi qu'il en soit, on remarquera que la vapeur arrive du petit cylindre L'M/N'O', dans le grand cylindre LMNO, par le moyen des tuyaux T G'L, U'G'O, qui mettent le dessous du piston A'B' en communication avec le dessus du piston AB, ou réciproquement; et qu'après avoir agi par détente sous ce dernier piston, elle se rend directement au condenseur (X), par les moyens déjà expliqués dans le numéro précédent.
Il nous suffit ici que l'on comprenne bien le rôle que joue la vapeur dans cette disposition; nous entrerons dans les détails descriptifs indispensables à l'intelligence du mécanisme, quand il s'agira d'étudier spécialement les propriétés de la vapeur considérée comme moteur des machines de l'industrie. Or, d'après ce qui a été dit (190) d'un seul piston, on conçoit très-bien, par exemple, que les robinets en R', F, I, étant fermés, et les robinets en U', U, étant ouverts au moment où les pistons A'B' et AB, après être arrivés à la fois au
(*) La disposition critiquée par l'Auteur est encore {jénéialement adoptéeaujourd'hui; il est utile de maintenir les cylindres à la température delà chau'Jicrc pour faire produire à la vapeur tout son effet; il faut donc éviter le refroidissement des parois qui résulte, non-seulement des rayonnements vers l'extérieur, mais surtout de la détente et de la communication avec le condenseur.- L'emploi des enveloppes n'a d'ailleurs pas pour but d'éviter la précipitation d'une partie de la vapeur pen^jBint la délente; M. Combes a démontré que, lors même que ce résultat pourrait être obtenu, il serait désavantageux de le rechercher, au point de vue de l'économie de la chaleur. (K.)
bas elà la fin de leur course descendante, vont en recommencer une autre nécessairement ascendante; on conçoit, dis-je, très-bien que le piston A'B', tout en recevant par-dessous l'action de la vapeur qui afflue constamment par le tuyau EF, va chasser devant lui la vapeur placée au-dessus et qui y est arrivée dans la course descendante, de manière à en être pressé, en sens contraire, et à la refouler de plus en plus sous le grand piston AB, à mesure que, l'un et l'autre, ils s'élèvent d'un mouvement commun dépendant de la constitution de la machine. Le piston AB va donc aussi être poussé, de bas en haut, avec un effort mesuré, à chaque instant, par la tension de la vapeur qui occupe à la fois les deux capacités A'B'L'M', ABON; et cette tension qui, en vertu du principe de Pascal (14), se répartit encore uniformément sur tous les points, attendu que la vitesse du mouvement est ici très-faible (184- et 291), sera, par suite de la loi de Mariotte ( 16 ), toujours relative au rapport du volume qu'elle occupait d'abord dans la capacité entière du petit cylindre L'M'N'O', au volume total A'B'L'M'-+- ABON qu'elle occupe maintenant, à la fois, dans les deux cylindres. Enfin on conçoit que le piston AB, chassant devant lui, dans le condenseur (X), la vapeur qui est au-dessus, il s'en trouve pressé avec un effort répondant à une tension d'environ (191) o^»,i5 par centimètre carré.
Maintenant, si Ton suppose les pistons arrivés au haut des cylindres, et que les communications qui étaient fermées s'ouvrent, et que celles qui étaient ouvertes se ferment, la vapeur de la chaudière affluera au-dessus du piston A'B' par le tuyau ÏR', et chassera, dans le second cylindre, celle qui est au-dessous, de sorte que les mêmes choses s'opéreront en sens inverse.
Quelle que soit cette complication apparente d'effets, le calcul du travail transmis aux pistons ne présente pas plus de difficultés que dans les suppositions très-simples du n° 188; bien mieux, il n'y a absolument rien à y changer; car, en vertu des principes du n" 186, nous sommes sûrs que, si la tension et le volume primitifs de la vapeur, introduite, à chaque oscillation, de la chaudière dans les cylindres, sont les mêmes de part et d'autre, et qu'il en s'oit ainsi également du volume occupé par cette vapeur à la fin de son action, c'est-à-dire à
APPLICATIONS, ETC. 22g
l'instant oii elle va se rendre dans le condenseur (X), la quantité totale de travail, qu'elle aura transmise à la machine par Tintermédiaire des tiges de pistons, sera aussi la même dans les deux cas (*).
193. Calcul de la force des machines à vapeur, à moyenne pression, avec détente — Supposons que la tension de la chaudière soit la même que dans le n"" 188, et que le volume de
(*) La vérité de cette conséquence particulière est très-facile à établir directement, et il n*y a réellement de doute que pour l'instant où la vapeur se détend dans l'un ou l'autre des espaces compris entre les deux pistons; par exemple dans l'espace ABON + A'B'L'M'. Soient donc A la surface, en mètres carrés, du piston AB ; A' celle du piston A' B' ; e, e' les espaces infiniment petits A a, k'a\ décrits, pendant un même instant très-court, par ces mêmes pistons; soit enfin /> la moyenne valeur (72) de la pression variable exercée par la vapeur, dans la durée de cet instant et pour i mètre carré de la surface des pistons, pression qui est la même pour tous deux (14), et qui agit pour aujjmenter le travail de AB et pour diminuer celui de A'B'; la pression totale sur AB sera /?.A, et sur A'B', ^.A'. Par conséquent le travail total, produit pendant que le volume ABON -+- A'B'L'M' devient «*0N -t-a'^'L'M', ou augmente de la quantité «^BA — a'^'B'A', aura pour mesure (72)
mais les produits A X ^, A'x <?' sont respectivement égaux aux volumes n^BA, a'^'B'A'; donc le travail dont il s'agit a pour valeur le produit de la pression/? par l'augmentation de volume de la vapeur comprise entre les deux pistons. Ce produit étant aussi (18G) lu mesure du travail qui serait développé, dans le cas d'un seul cylindre (188), par une égale détente d'un volume égal de vapeur pris à la même tension, il est clair que tous les travaux partiels analogues seront aussi égaux, et que conséquemment le travail total sera le même, de part et d'autre, si la tension et le volume sont aussi les mêmes à la fin de la détente.
'Cette proposition est, comme on le voit, entièrement indépendante des diamètres et des longueurs de courses de divers pistons ; et il en résulte, en particulier, que la méthode fort simple que nous avons prescrite, dans le texte, pour calculer le travail des machines à détente et à deux pistons, doit, quant aux résultats, coïncider parfaitement avec la formule approximative qui a été proposée, pour le même objet, par M. de Prony, dans son intéressant Rapport sur les machines à Dapeiir du Gros-Caillou^ à Paris^ inséré au tome XIT des j4 finales des Mines ^ année iS'iC. Cette formule basée, comme nos règles de calcul, sur la méthode des quadratures de Thomas Simpson (180), suppose d'ailleurs qu'on partage seulement en deux parties égales l'intervalle relatif aux positions extrêmes de la course des pistons; ce qui conduit naturellement (189) à des résultats un peu plus forts que les véritables, principalement pour les détentes qui excèdent l\ fois le volume primitif de la vapeur.
23o MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.
vapeur, à celle lension, introduile, par chaque demi-oscillation des pislons AB el A'B', dans le cylindre L'M'N'O', volume qui a pour mesure la surface de A'B' en mèlres carrés par la longueur eniière de la course, soil précisémeni égal au volume de vapeur inlroduil, de la même manière el avanl Tinslani de la délenle, sous le pislon AB (PL ILJlg- 43), du n*» 188. Supposons enfin que le volume de la délenle soil égalemenl 4 i fois le volume primilif dans les deux cas, ce qui revienl évîdemmenl à admetlre que le volume cylindrique de la course du grand pision AB [PL II, fig-.^^), soil égal à 4t ^o^s celui de la course du pelil piston A'B', el par conséquenl aussi égal au volume cylindrique de celle du pislon dela^îg*. 43, il en résultera (188) que la quantité de travail totale, transmise par la vapeur à la machine pendanl la demi-oscillation doni il s'agit, aura pour valeur i46i3 kilogrammèlres. Mais, allendu (191) que la vapeur du condenseur presse le dessus du pislon AB [PL Ilyjig. 44) 21 ^'6C un efforl d'environ o^»,ï5 par ceniîmèlre carré, il faudra diminuer la quantité de travail ci-dessus, de toute celle que développe, en sens contraire du mouvement, ce même eflforl pendant la course entière de AB; or cette dernière quantité de travail est précisément égale encore à celle que développe la vapeur du condenseur contre le piston de la Jig, 43; donc elle a pour valeur d'après les données du n*» 188, o^^S i5 X 5o26,56 X i™,44 ^= ' 086^»"* environ ; de sorte que le travail de la vapeur se trouve réduit à
14613^"^'" — io86^«™ =: i3527*^«™
pour une demi-oscillalion des pistons, et à
pour une oscillation entière, puisque le travail, pendanl la montée, est exactement le même que celui qui est produit dans la descente. Parlant, si la machine fait régulièrement i5 de ces oscillations entières par minute ou par 60 secondes, le travail produit, dans chaque seconde, sera égal à
ce qui équivaut à une force de [67,635 = 90,18 chevauxvapeur.
Les machines de Woolf, à deux pistons moteurs, étant composées d'un plus grand nombre de pièces que celles de Watt, qui n*en ont qu'un seul, le frottement y a aussi plus d'influence, et l'on peut admettre que le travail de la vapeur y est çéduit aux 0,45 de sa valeur pour les bonnes machines de 10 à 20 chevaux, aux o,5o pour celles de 20 à 4o, et aux o,35 pour celles qui n'ont que la force,de 4^6 chevaux. Nous avons trouvé ci-dessus, pour le travail développé, par la vapeur, dans chaque seconde, la quantité de 90,18 chevaux; dont le travail effectivement transmis à l'arbre du volant de la machine (191) équivaudra à la force de 0,5x90,18 = 4^ chevaux au moins, puisque ce dernier nombre 45 surpasse de beaucoup 20.
C'est de cette manière qu'on devra se conduire dans tous les cas où il s'agira de calculer la force d'une machine à vapeur, à délente, quelque compliquée qu'elle soit. On n'aura qu'à s'informer exactement ou à s'assurer, par des mesures directes ; 1® de la tension absolue de la vapeur dans la chaudière; 2® du volume de cette vapeur, introduit à chaque course des pistons ; 3** du rapport de ce volume à celui qu'elle occupe à la fin de la détente; 4** enfln de la tension dans le condenseur, qu'on estimera d'ailleurs approximativement (191), si on manque de mesures directes. Cela étant, on supposera tout simplement que ce même volume de vapeur, est introduit sous le piston d'un cylindre unique, de diamètre quelconque, et l'on agira comme il est exprimé dans le n° 188 et celui-ci.
194.. Des machines à haute pression, sans condenseur. — Ces machines ne diffèrent des précédentes que parce que la vapeur y agit à une tension de 6 à 10 atmosphères, et qu'on y a supprimé le condenseur, qui n'a d'utilité réelle que quand on peut se procurer, sans trop de difficultés, une certaine quantité d'eau fraîche; car cette eau devant être renouvelée à chaque oscillation de la machine, il en faut souvent une masse très- considérable pour condenser la vapeur. L'usage de ces machines s'est principalement borné, jusqu'ici, à mouvoir des chariots sur les chemins de fer, ce qui les a fait nommer locomotives, et c'est à l'ingénieur anglais Trevithick qu'on doit
cette application. Néanmoins Olivier Evans, dans les États-Unis d'Amérique, les a employées comme moteurs stationnai res des autres machines de l'industrie; mais elles sont peu usitées en France, à cause des inconvénients et des désavantages qu'elles présentent. On conçoit, en effet, que les dangers doivent augmenter avec la tension de la vapeur, et que les fuites, les frottements qui ont lieu autour des pistons, doivent y être aussi plus considérables que dans les machines à basse ou à moyenne pression. D'ailleurs, comme la face du piston, opposée à l'action de la vapeur, y est en communication directe avec l'air extérieur par les soupapes U et 1 {PL II, Jig. 43 et 44j> qui sont alors ouvertes, il résulte, du principe de Pascal (H), que cette face est repoussée, en sens contraire du mouvement, avec une force (37) d'environ i^«,o33 par chaque centimètre carré de surface; ce qui occasionne un déchet de travail énorme, qui n'a pas lieu, au même degré (191), dans les machines avec condenseur.
D'après cette courte Notice sur les machines à haute pression, on comprend que le calcul du travail qu'elles produisent peut s'effectuer absolument de la même manière que pour les autres machines, soit qu'il y ait ou qu'il n'y ait pas détente, et qu'il s'agit seulement de remplacer la tension de o''*, i5, provenant du condenseur, par i^«, o33 environ, et de diminuer le résultat obtenu dans une proportion un peu plus forte, vu l'augmentation du frottement des pistons, des fuites de la vapeur et du refroidissement, beaucoup plus grand, qu'elle éprouve à la haute température qui répond à une tension de 6 à lo atmosphères. Ce ne sera pas trop, sans doute, de supposer l'effet utile réduit aux o ,4 ou même aux o , 35 du résultat donné par le calcul, selon les circonstances plus ou moins favorables de l'établissement de la machine.
Un ingénieur français, M. Frimot, a imaginé, dans ces derniers temps, d'utiliser l'action de la vapeur qui, dans les machines à haute pression, s'échappe, en pure perte, dans l'atmosphère, en la faisant passer directement, après sa sortie du cylindre moteur, sous le piston d'une machine à détente ordinaire avec condenseur. Il est évident qu'on n'éprouvera pas plus de difficulté à calculer, pour ce cas, le travail utile de la vapeur, si l'on connaît bien les conditions de son emploi; car
il s'agit véritablement de deux machines distinctes, dont Tune reçoit directement la vapeur de la chaudière, et l'autre la reçoit de la première machine, sous une tension et un volume déterminés. On appliquera d'ailleurs, aux résultats séparés des calculs, les différentes corrections qui, selon ce qui précède, sont relatives à chaque genre de machines, et au mode plus ou moins avantageux de l'emploi de la vapeur.
195. Limite utile de la détente dans les machines à vapeur. — Revenons aux calculs et aux considérations très-simples du n** 188, il nous sera facile ensuite d'étendre les conséquences de nos raisonnements au cas des machines à deux cylindres. Supposons donc que le cylintlre LMNO(P/. Uyfig^ 43), étant prolongé indéfiniment vers sa partie supérieure, on laisse la vapeur se détendre, de plus en plus, au-dessous du piston AB; il est clair que le travail s'accroîtrait sans cesse, si, à mesure qu'elle augmente de volume, cette vapeur ne perdait pas de son énergie naturelle, par suite du refroidissement plus ou moins sensible qu'elle éprouve, ou des fuites qui se font toujours entre le piston et le cylindre; négligeons néanmoins ces causes de perte, et voyons jusqu'à quel point la détente peut être prolongée sans inconvénient.
S'il n'y avait pas de frottements dans la machine, ou si ces
frottements étaient très-faibles, il conviendrait de laisser la
vapeur se détendre, jusqu'à l'instant où la pression deviendrait
égale à celle, o'^SiS, qui a lieu dans le condenseur (191) : la
tension, dans la chaudière, étant (188) de 3^8,6i55, on voit
que le volume de la vapeur, introduite à chaque demi-oscil-
Qkg 1^ 1 5oo I
lation, devrait être les ^.^^ = ^^-^^ = -^ ( * ) environ de
l'espace cylindrique total décrit par le piston AB, ou, en d'autres termes, la hauteur totale de la course de ce piston devrait être 24 fois celle qui répond à l'instant où la communication EF se ferme. Mais, comme les résistances, de toute espèce, inhérentes à la machine, consomment ici environ la moitié (191
(*) Celte détermination est faite dans l'hypothèse de l'exactitude de la loi de Mariotte; le chiffre vrai doit être calculé d'après des principes différents établis par M. Clausius; consulter à ce sujet les Ouvrages déjà cités (Note du nO 105). (K.)
ei 193) du travail de la force motrice, on comprend aisément qu'une telle augmentation de la détente serait non-seulement sans utilité» mais même nuisible à l'effet de la machine, vu que ces résistances sont à peu près constantes pour les diverses positions du piston.
En effet, puisque les résistances en question absorbent, à elles seules ( 193 ), la quantité de travail \ 1 3 527'^«'" = 6'j63^^"', 5 pendant la longueur de course Oer=i™,44j ï^""* valeur moyenne (73), le long de cette même course, sera égale à
ya, r f ^^ 4697''^ environ; or on voit, par le tableau du
n" 188 et sans aller plus loin, que la pression, exercée par la vapeur, ne serait pas lîiême suffisante pour vaincre cette énorme résistance à l'instant qui répond à la position e, du piston, où le volume de la vapeur est devenu 4 t ^ois ?on volume primitif répondant au point a de la course, ou plus exactement, à l'instant où le volume dépasse (188) les
,^ * = 3^88 du volume primitif. A plus forte raiso*n seraitelle incapable de communiquer un excès de travail à la tige CD du piston, si sa détente était prolongée au delà du point dont il s'agit.
Ce serait donc une disposition très-vicieuse que celle où on laisserait développer la vapeur jusqu'à quatre fois son volume primitif, dans une machine à un seul cylindre (*), même très-
(*) L'expérience a démontré que, dans ces machines, il est avantageux de détendre bien au delà de la limite déterminée dans le texte; cette divergence ne provient pas uniquement de l'inexactitude de l'hypothèse fondamentale qu'a dû faire Poncelet (Note du n° 187); les résistances se composent en effet de deux parties, dont l'une est sensiblement constante pour uiîe machine donnée, et répond au fonctionnement à vide, dont l'autre dépend de la grandeur du travail transmis; quoique cette dernière absorbe un travail perdu pour le but llnal, elle ne peut exister que lorsqu'il y a production d'un travail utilisable, n y a donc avantage à détendre la vapeur, non jusqu'au point où sa pression sur le piston devient égale à la résistance totale moyenne supposée appliquée contre ce piston, mais bien jusqu'à celui où elle devient égale à la contrepression, augmentée de la résistance de la marche à vide. Cette dernière dépend du système de construction adopté pour chaque machine, et doit, par conséquent, être déterminée dans chaque cas. Dans l'exemple cité, elle est évidemment bien plus faible que le chiifre adopté, en sorte que la limite trouvée
puissante, et Ton gagnerait fort peu en augmentant la surface du piston, aux dépens de sa longueur de course, dans la vue ( voyez la fln du n° 191 ) de diminuer Tiniluence des résistances nuisibles et les fuites de vapeur. D'ailleurs cet agrandissement de la surface des pistons a une limite nécessaire dans tous les cas, et c'est à cette limite que les raisonnements ci-dessus doivent être censés appliqués.
L'avantage particulier des machines à deux cylindres [PL Ily , Jig. 44 )> c'est que la délente s'y opère dans un cylindre à part LMNO, dont on peut augmenter à volonté le diamètre, de manière à augmenter la détente elle-même, sans qu'H soit nécessaire de rien changer à la course des pistons, aux dimensions du petit cylindre, ni par conséquent à la dépenscde vapeur ou de force motrice; circonstance d'où il résulte que les pertes de travail dues aux fuites et aux résistances nuisibles sont loin de croître dans le même rapport que le travail développé par la détente. En outre, comme dans les machines dont il s'agit, la * pression, à la limite de cette détente, se trouve augmentée de toute celle qui a lieu contre le petit piston, le terme auquel la somme des pressions devient égale à celles des résistances nuisibles est beaucoup plus reculé, ou répond à une détente plus prolongée que dans les machines à un seul cylindre moteur.
Tels sont probablement les motifs qui, en France, font accorder, malgré leur complication, la préférence aux machines à deux cylindres sur les autres, toutes les fois qu'il s'agit de mettre à profit la détente; d'autant plus que la pression y varie moins, ce qui tend à régulariser beaucoup le jeu des pièces, et fait épargner (95 et 96) une portion plus ou moins grande du travail moteur (*).
pour la détente doit être augmentée notablement. On construit aujourd'hui de très-bonnes machines dans lesquelles l'introduction ne se fait que pendant le quinzième de la course. (K.)
C^) La régularité du mouvement est une condition essentielle pour la bonne exécution du travail dans certains ateliers, tels que les tissages, les filatures, etc. ; c'est la grande régularité obtenue par les machines de Woolf qui constitue leur avantage principal sur les machines avec détente et condensation à un seul cylindre, lesquelles sont moins compliquées, moins chères, et ne consomment guère plus de vapeur. 11 faut ajouter néanmoins que l'on peut réou-
Toutefois Taugmentation de la détenle» au delà d*un certain terme, n'en occasionne pas moins, dans les différents cas, un surcroît de pertes de travail, qui absorbe, en totalité, les avantages propres. à cette détente; et ceci explique suffisamment pourquoi les artistes habiles, qui construisent les machines à vapeur d'après le système de Woolf, ne prolongent jamais la délente au delà de 4 à 5 fois le volume primitif, malgré l'exagération des promesses que leur font les théories abstraites de beaucoup d'auteurs, qui oublient de prendre en considéralion, dans la recherche du maximum d'effet de la vapeur, l'énorme réduction qu'il éprouve de la part des résistances de toute espèce. Nous ne pouvons d'ailleurs présenter ici le calcul de ces résistances; il ne serait pas à sa place; nous y reviendrons, avec quelques détails, dans la Partie de ce Cours qui est spécialement destinée à l'examen des différents moteurs (*).
196. Méthode abrégée et Table pour calculer le travail des machines à vapeur, — Nous avons exposé, dans ce qui précède (193), un exemple de la manière dont on doit s*y prendre pour calculer, dans chaque cas, la quantité de travail produite par un volume donné de vapeur agissant sur les pistons d'une machine; mais il ne sera pas inutile de faire connaître un
lariser le mouvement de ces dernières par un accouplement convenable de deux ou plusieurs machines sur le même arbre, et par l'emploi d'un volant suffisant. Au point de vue de la simplicité des organes et de la régularité du mouvement, les machines de Watt occupent le premier rang, mais elles consomment généralement trois ou quatre fois plus que les machines à détente et à condensation. (K.)
(*) Voilà près de trois années que nous exposons les idées qui précèdent, dans notre Cours de Mécanique à l'École d'application de l'Artillerie et du Génie; nous avons même tenté, dans les Leçons de l'année dernière (1828), de donner la formule complète qui exprime l'effet utile des machines à deux cylindres avec détente, en tenant compte de tous les genres de résistances. Il en résulte que, pour chaque disposition particulière des pièces et pour une dépense déterminée du travail moteur, cette détente, ou le rapport des volumes du grand et du petit cylindre, a une limite assez rapprochée, mais qui varie pour chaque cas; que la vitesse des pistons doit être généralement très-petite, sans nuire à la régularité du mouvement; que la longueur du balancier doit être, au contraire, la plus grande possible, sans nuire à la solidité et sans entraîner dans de trop fortes dépenses, etc.
APPLICATIONS, ETC. nS*]
moyen d'abréger les calculs relatifs à la détente, en se servant du dernier des principes énoncés au n® 186. On voit, en elfel (192), qu'il suffira de calculer, une fois pour toutes, une Table qui donne le travail transmis au piston d'une machine à détente quelconque, par un certain volume de vapeur prise à une tension déterminée, et pour les diverses hypothèses qu'on peut faire sur cette délente, ou sur le rapport du volume occupé par la vapeur au moment où elle va se rendre au condenseur, à celui qu'elle occupait à l'instant où elle commençait à se détendre sous le piston de la machine; car on en conclura facilement ensuite, dans chaque cas particulier et par une simple proportion, la valeur même du travail que, dans toute autre circonstance, elle serait capable de développer sur les pistons d'une machine différente.
Supposons, par exemple, que nous sachions, d'après la Table, que i mètre cube de vapeur introduite, à la tension atmosphérique ordinaire, sous les pistons d'une machine dans laquelle la détente est de 4 t ^^is le volume primitif, communique à ces pistons, dans une course entière ou demi-oscillalion de la machine, une quantité de travail représentée par T, et qu'il s'agisse de calculer quel travail x produira, pour la même détente, un volume de vapeur, de o"%25, sous une tension de S'*'™, 5, on n'aura qu'à écrire (186) la proportion
,mcx ,atin . 3atm 5 ^ ^mc^ 'iBllTlX,
d'où
a; = 3^t'^5xo,25T— o,875T.
Restera à diminuer celte valeur de x, de la quantité de travail que développe, en sens contraire, la vapeur du condenseur contre la surface du grand piston, quantité qui a évidemment (193) pour mesure le produit de la pression de cette vapeur, sur i mètre carré de surface, par le volume, en mètres cubes, de la course cylindrique du même piston, volume qui est égal à celui de la vapeur motrice après sa détente; cela fait, on achèvera le calcul comme il a été expliqué aux n°' 193 et suivants. On conçoit très-bien, au surplus, d'après tout ce que nous avons dit jusqu'à présent de la détente de la vapeur et des gaz en général, comment'on peut former un telle Table en prenant pour base des calculs, afin de simplifier les opéra-
MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.
Table des quantités de travail total produites, sous différentes détentes, par i mètre cube de vapeur d'eau, prise à la tension de I atmosphère.
VOLCME
QUANTITÉ
