PEA/ EA / ~ / "~ L

On .voit aussi, d'après ces considérations, que la force ou résistance élastique des prismes n'est, à proprement parler, que la raideur prise pour l'unité de longueur de ces prismes.

Enfin, si, au lieu de soumettre, le prisme ci-dessus à un effort de traction, on lui en appliquait un de compression, toujours mesuré par P, et qui fut néanmoins incapable de le faire plier ou fléchir transversalement, les allongements / et / se changeraient en a.ccourcissemenis correspondants, et tous

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les raisonnements resteraient les mêmes aussi bien que les formules. De plus, on doit admettre, d'après ce qui a été dit (225), pour le système de deux simples molécules, que la quantité E conservera la même valeur dans les deux cas et pour des allongements ou accourcissements censés toujours très-petits.

237. Définition du coefficient^ ou module d'élasticité. — Le nombre E, qui entre en facteur dans les formules précédentes, et qui indique, en quelque sorte, l'énergie de la résistance, ou réaction élastique d'une substance quelconque, a été nommé : par les uns, coefficient^ par les autres, module de l'élasticité ; sa considération est très-importante dans toutes les questions de Mécanique appliquée.

Pour en acquérir une notion plus précise, on supposera, en particulier, Taire A, des sections transversales de la barre cidessus, égale à l'unité superficielle, et recherchant le poids P' qui serait capable de l'allonger ou accourcîr d'une quantité égale à sa propre longueur, si un pareil allongement ou accourcissement était possible physiquement sans que la valeur de E fût changée , on fera , dans la formule générale P=AEi,

A = 1 , 1= L ou / = I ,

de sorte qu'on aura

F:rrE;

résultat qui montre, conformément aux notions admises par les géomètres, que le coefficient d'élasticité d'une substance homogène quelconque n'est autre chose que le poids qui serait capable d'accourcirou d'allonger une barre prismatique, formée de cette substance et ayant l'unité de surface pour section transversale, d'une quantité précisément égale à sa longueur primitive.

Cette manière d'envisager la force élastique est analogue à celle dont nous avons vu (132 et 133) qu'on mesurait les forces motrices variables par la vitesse finie qu'elles imprimeraient directement à un corps, au bout de l'unité de temps, si on leur supposait une intensité d'action constante, et précisément égale à celle qu'elles possèdent à l'instant considéré. Mais il convient de ne jamais perdre de vue, dans les appli-

cations, Torigine de pareilles définitions, qui souvent offrent une contradiction apparente avec les faits naturels.

238. Considérations géométriques et physiques relatives à la loi de la résistance élastique, — Puisqu'il existe pour tous les corps solides, même pour ceux qui sont considérés comme les plus élastiques, une limite passé laquelle les allongements ou accourcissements i cessent d'être exactement proportionnels aux efforts de traction ou de compression correspondants P, il faut bien admettre aussi qu'en deçà de cette limite, plus ou moins reculée pour chaque cas, la valeur de E varie avec le déplacement absolu des molécules, d'une manière qui peut bien être insensible à nos moyens d'observation, mais qui n'en existe pas moins dans la réalité. En général, les efforts de traction ou de compression et la résistance des prismes, doivent suivre des lois mathématiques, par cela seul qu'il existe de pareilles lois entre les forces d'attraction et de répulsion des molécules qui les composent. Ces lois peuvent être trèsdistinctes de celles qui se rapportent aux molécules individuelles; mais, en les supposant données par l'expérience, dans chaque cas, on peut leur appliquer des considérations géométriques analogues à celles dont nous avons fait usage aux n°' 226 et suivants, et en déduire des conséquences souvent utiles.

Si l'on construit, en effet, une courbe ayant pour abscisses les allongements ou accourcissements, et pour ordonnées les efforts de traction ou de compression relatifs à chaque état d'équilibre stable du prisme, en observant de porter en sens contraire les abscisses et ordonnées simplement relatives aux accourcissements et aux compressions; la discussion, établie à peu près comme aux endroits cités, fera connaître la manière dont la résistance élastique, considérée pour la longueur totale ou l'unité de longueur de ce prisme, varie avec chacun des changements de forme qu'il a éprouvés : cette résistance sera ici évidemment mesurée (*) par l'inclinaison, sur l'axe des abscisses, de la tangente au point correspondant de la courbe, c'est-à-dire par le rapport constant de l'accroissement des or-

(*) ^ oyez principalement les Notes qui accompagnent les n9* 226, 227 et 228.

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données à raccroissement des abscisses de celle langenie, rapport qui peul se confondre sensiblemcni, dans une étendue plus ou moins grande de pari et d'autre du point de contact, avec celui qui se conclurait des accroissements ou diminutions des ordonnée set des abscisses mêmes delà courbe dont il s'âgil.

Maintenant si l'on porte cliacune des valeurs de ce rapport sur l'ordonnée correspondante, on obtiendra les points d'une nouvelle courbe qui fera connaître la loi même des variations que subit la résistance élastique pour les divers allongements du prisme. Enfin, si l'on calcule, d'après la méthode du n® 180, l'aire comprise entre la première de ces deux courbes, l'axe des abscisses et deux quelconques de ses ordonnées, on obtiendra (72) la valeur du travail mécanique nécessaire pour vaincre la résistance que le prisme oppose à l'action de la force qui lui est appli(]uée, entre les deux positions qui correspondent à ces ordonnées.

Nous appelons spécialement l'attention du lecteur sur ce genre de considérations qui peut servir, dans chaque cas, à se procurer, par l'expérience, des données claires sur ce qu'on nonmie, en général, la raideur, la résistance élastique des corps; car ces considérations s'appliquent évidemment aussi à un corps solide de forme quelconque, sollicité par un effort qui agit dans une direction constante, perpendiculaire à sa surface extérieure, et dont le point d'application décrit, dans le sens de cette niêuic direction, des chemins qui croissent, avec son intensité, suivant une loi exprimable par une courbe cx>ntinue. Enefï'et, cette résistance sera toujours donnée, pour chacune des positions du corps, par l'inclinaison de la tangente correspondante de la courbe, sur l'axe des abscisses, relatif aux déplacements du point d'application de la force.

239. Données et observations générales sur cette loi, — En appliquant, par exemple, ces considérations à la détente ou à la compression des gaz, dont on s'est occupé aux n°» 181 el suivants (P/. Il>Jig- 4' ^^ 4^)» ^^ trouvera que leur résistance élastique va constamment en diminuant à mesure que le volume ou la détente augmente, et réciproquement; mais que cela a lieu suivant une progression beaucoup plus rapide que ne l'indique la loi de Mariette pour les simples pressions,

3o4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

puisque la résislance dont il s'agit suit alors la raison inverse du carré des volumes.

Quant aux prismes solides, il paraît qu'à partir des premiers instants, la résistance élastique croît, en général, avec les efforts de compression, et diminue, au contraire, à mesure que les efforts de traction augmentent, à peu près comme on Ta admis (229) pour le cas de deux simples molécules; mais les expériences connues ne permettent pas d'affirmer qu'au delà d'une certaine limite, la force élastique devienne nulle et encore moins négative (229), ni que les prismes entiers présentent des états d'équilibre, alternativement stables ou instables, analogues à ceux qui ont été mentionnés dans les n°* 231 et 232.

Les courbes des Jig. 47 et 48, PL II y relatives à des expériences qui seront rappelées plus loin, sur la résistance de prismes solides tirés verticalement par des poids, et dont les abscisses et ordonnées expriment les allongements et les charges correspondant aux états successifs d'équilibre, ces courbes montrent,; par l'inclinaison de leurs tangentes sur l'axe horizontal des abscisses , que la résistance élastique, qui d'abord reste sensiblement constante, diminue souvent d'une manière très- rapide à partir d'un certain terme, sans néanmoins devenir rigoureusement nulle, même pour les allongements très-voisins de la rupture. Or cette dernière circonstance tient, sans aucun doute, à la difficulté qu'on éprouve à observer les états d'équilibre instables; à la rapidité avec laquelle la résistance du prisme décroît dans les instants où s'opère la séparation complète des parties; enfin à ce que, vers ces instants, les allongements cessent de s'opérer uniformément sur l'étendue entière de la barre, et n'ont plus lieu sensiblement que sur la portion, souvent très-courte pour les corps raides, où se fait la séparation définitive des molécules, portion dont l'alléralion élastique est masquée par la force de ressort que conservent encore les autres parties, et qui se manifeste clairement après la rupture complète.

Cette dernière considération fait voir que la résistance élastique de la barre entière, aux instants qui précèdent cette rupture, est une sorte de moyenne qui ne saurait être confondue avec la résislance effective d'aucun de ses éléments, ce qui diminue beaucoup son importance sous le point de vue

DES RÉSISTANCES. 3o5

pratique. Quani à la résistance absolue, sans rien vouloir préjuger sur ce qui se passe dans un assemblage de molécules dont, comme nous le verrons bientôt, les unes se rapprochent en se repoussant, en même temps que les autres s'écartent en s'altirant, on est cependant encore ici fondé à admettre, puisque cette résistance est nulle à l'instant où les dernières particules se séparent, qu'elle a dû décroître, d'une manière continue, à partir de celui qui répond à sa plus grande valeur, à peu près comme on conclut que, dans le choc des corps les plus durs, la pression et la vitesse passent, de leur valeur avant le choc, à celles qu'elles prennent après, par une succession de degrés continus et infiniment petits (165).

240. De la contraction et de la dilatatictn latérales des prismes aux premiers instants. — Nous avons admis implicitement, dans ce qui précède (236), que quand un prisme solide est soumis à un effort qui tend à l'allonger ou à raccourcir, ses différentes fibres ou files de molécules restent parallèles entre elles et équidistantes, c'est-à-dire que les sections transversales de ce prisme demeurent constantes dans toute sa longueur; mais, en réalité, l'expérience apprend que, dans le premier cas, le prisme va en se rétrécissant, de plus en plus, à partir des extrémités, et, au contraire, en se renflant dans le second, de manière à présenter une sorte de ventre vers le milieu de sa longueur. Ces effets, qui se manifestent d'une manière trèsapparente pour des prismes fort courts et pour des substances plus ou moins molles, tiennent essentiellement à l'isolement et à la disposition mutuelle des molécules qui, uniquement liées les unes aux autres par leurs forces d'attraction et de répulsion réciproques, forment une sorte de réseau onjilet dont les mailles ou losanges tendent à se resserrer dans un sens quand on les allonge dans l'autre, et vice versa; effets qui sont favorisés d'ailleurs, dans la plupart des dispositifs emplovés aux expériences, où les molécules des extrémités des corps soumis à la compression ou à l'extension, sont ordinairement maintenues enire elles à des dislances invariables par des forces particulières, ou parce qu'elles forment liaison avec d'autres corps.

Lorsqu'il s'agit, au contraire, de prismes dont la longueur

3o6 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

est fort grande par rapport à l'épaisseur ou à la largeur, et de substances très-raîdes et Irès-élasliques, telles que les bois, les pierres et la plupart des métaux, le mode d'applicaiion des deux forces qui agissent à leurs extrémités, c'est-à-dire la manière dont ces extrémités sont saisies ou fixées, n'exerce d'influence appréciable que jusqu'à une distance assez faible des points d'attache, et les sections restent sensiblement uniformes, sauf dans cette petite étendue, tant que l'extension ou la compression n'a pas dépassé la limite pour laquelle les molécules cortservent la faculté de revenir à leur position primitive. Chacune des parties d'un pareil prisme se trouve ainsi, à trèspeu près, dans le même état que si l'on avait appliqué à ses différentes fibres ou files de molécules, des forces égales qui leur permissent de s'approcher ou de s'écarter librement les unes des autres, en cédant uniquement à la force d'attraction ou de répulsion latérale et réciproque de ces molécules.

241. Loi de cette dilatation et de cette contraction, changement de volume subi par les prismes. — En adoptant ces hypothèses, et en ne considérant d'ailleurs que les effets qui se rapportent aux premiers déplacements des molécules, les géomètres de notre époque sont parvenus à découvrir, à l'aide de savants calculs, la loi qui lie les allongements des prismes élastiques aux contractions ou distensions de leurs sections

transversales. Nommant toujours i =^ j l'allongement proportionnel ou pour l'unité de longueur du prisme, el a la quantité dont Taire A, des sections transversales de ce prisme, se trouve en même temps diminuée, on a, d'après ces calculs,

A 2 aL

dans toute l'étendue pour laquelle les allongemenis demeurent exactement proportionnels aux, efforts de traction; c'està-dire que la contraction superficielle des tranches par unité d'aire des sections transversales est précisément la moitié de l'allongement par unité linéaire.

Or il résulte aussi de ce principe, que le volume du prisme augmente, encore bien que ses sections diminuent, et augmente

DBS RÉSISTANCES. 30^

d'une fraction qui est sensiblement la moilié de celle /, qui correspond à rallongement. En effet, le volume du prisme avait d*abord pour mesure le produit AL, et il est ensuite devenu