A — «)(L-4-/) = AL-4-A/— «L

quantité dans laquelle on peut négliger le produit «/ vis-à-vis des autres, puisque a et / sont censés extrêmemenl petits par rapport à A et à L. L'accroissement absolu de ce volume est donc sensiblement égal à A/— «L, ce qui donne pour son accroissement proportionnel :

A/ — aL / a / i.

ÂL ""L""Â""2L~ï''

attendu que -r- = — p, d'après ce qui précède.

A. 1 Le

Ces résultats, déduits d'abord du calcul par M. Poissoa, ont été vérifiés ensuite, par M. Cagniard de Latour, sur des fils de fer soumis directement'à la traction, toujours dans les limites où leur élasticité n'est pas altérée d'une manière sensible (*).

2'*2. Mesure de la contraction et de la dilatation cubiques, — Les géomètres ont aussi considéré le cas d'un prisme so-

(*) CeUc question, qui est fondamentale dans la théorie mathcmatiquo de rélasticitc, a clé étudiée éxpérimenlalenient par Wcrtlicim, par IVl. Kirehhofl* et récemment par M. Cornu. Wcrtheim, en opérant sur des tubes en laiton et en cristal, a trouvé que le coofticierit dé contraction de la section est égal aux | du coefficient d'allonjrement lon^jitudinal; d'où il résulte que raccroisscment de l'unité de volume est |, et non 7, de Tallon^ifement par unité de lon^rucur; ce rapport parait du reste, d'après les expériences antérieures, devoir varier d'une substance à une autre.

M. Cornu {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 2 août 18G9) conteste l'exactitude des résultats trouvés par Weitheim ; il conclut, d'après des expériences trcs-remarquables basées sur le phénomène des anneaux colorés de Newton, que, comme l'avait établi Na^ier, en créant la théorie de l'élasticité sur des bases imparfaites, comme l'a démontré depuis M. de Saint- Ycnant d'une manière rigoureuse, le rapport entre le coefficient de contraction transversale d'un prisme et son coefficient d'allongement longitudinal , sous l'influence d'une traction, est le même pour les corps vraiment isotropes, et que sa valeur est représentée par le nombre l ; ce réfullat est d'accord avec ceux qui sont donnés dans le texte. Les expériences publiées jusqu'ici par M. Cornu portent exclusivement sur le verre, qui est la seule substance isotrope dont on puisse vérifier l'homogénéité. (K.)

3o8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

lide pressé à la fois el perpendiculairement à toutes ses faces, par des forces proportionnelles à l'étendue de chacun de leurs éléments superficiels, à peu près comme il le serait (14 et suivants) par un liquide qui Tenvelopperait de toutes parts, et qui supporterait lui-même une pression extérieure consianie. Dans ce cas, la diminution de la hauteur du prisme est la moitié seulement de la contraction qu'éprouverait cette même hauteur pour le cas qui précède, c'est-à-dire précisément égale à la contraction linéaire, relative à une pression moindre de moitié, agissant aux deux extrémités du prisme seulement. Or, comme un prisme, preissé également sur toutes ses faces, se contracte d'une manière proportionnelle dans tous les sens, on en conclut immédiatement ( * ) que la contraction de volume correspondante, ou ce qu'on nomme la contraction cubique du prisme, est, à très-peu près, les 1 de la fraction / qui exprime, dans le cas précédent^ la canlraclion ou la dilatation linéaire subie par ce même prisme (**). ' Ce principe qui s'applique à un corps déforme quelconque, attendu que tous les éléments cubiques de ce corps, pressés également en tous sens, éprouvent encore des diminutions de volume proportionnelles, ce principe fournit également le moyen de calculer la compression subie par les enveloppes solides : par exemple, les vases creux, soumis en tous leurs points extérieurs ou intérieurs, à une pression constante; car la réduction s'opérant proportionnellement dans toutes les parties, comme si le vide était rempli de la matière propre de l'enveloppe, ou comme si cette enveloppe appartenait à une masse continue et compacte, il est clair qu'on obtiendra, dans

C*^) £n effet, nommant L, M et N les trois dimensions du prisme dont il s'agit, il résulte, du principe énoncé, que ces dimensions se trouveront réduites respectivement à

• L— */L = L(i- ;/), M — ^iM = M(i — iO, N — i /!>[=: N(i-;/);

ce qui donne, pour le volume contracté du prisme, en négligeant ici encore les termes qui contiennent le carré et le cube de la fraction très-jietite /,

LMN(i— ■li)'=L]VIN- f/LMN,

et, par conséquent, pour la contraction totale ou cubique, \ /LIVIN.

(**) Wertheim, en introduisant le résultat de ses expériences dans les équations de Cauchy, a trouve que le coeflicient de compressibilité cubique est égal au coefficient de compressibilité linéaire. (K.)

DES RÉSISTANCES. SCQ

ce cas, la coniraclion cubique de Tenveloppe, en retranchant, de la contraction cubique de son volume entier, celle qui appartiendrait à son vide intérieur.

On ne doit pas confondre, au surplus, la dilatation et la contraction cubiques dont il s*agil et qui sont occasionnées par des pressions véritables, avec celles que prennent les corps sous Tinfluence d'un changement de température; car, encore bien que celle-ci suive les mêmes lois, cependant sa mesure a une valeur très-différente, et qui est évidemment double de la précédente, c'est-à-dire trois fois la dilatation ou la contraction ihermomélrique linéaire, de la même substance, puisque celte dernière indique bien Taccroissemeni ou la diminution proportionnelle que subissent les dimensions linéaires de cha- •cun des éléments de volume, infiniment petits, dont se composjB le corps entier.

243. Influence de la pression extérieure et de la gravité sur la constitution des prismes. — 11 résulte du principe exposé en dernier lieu, qu'on sera en état de calculer la contraction pu la dilatation cubiqi>e d'une substance donnée, quand on connaîtra sa dilatation linéaire, son allongement proportionnel sous un effort correspondant à la pression superficielle qu'il supporte, et réciproquement; or cela est utile dans plusieurs circonstances de la pratique.

C'est ainsi, par exemple, que MM. Colladon et Sturm, dans leur Mémoire sur la compressibilité des liquides, qui a été couronné, en 1827, par l'Académie des Sciences dç Paris, ont trouvé, d'après des expériences directes sur l'allongement des liges de verre tirées dans le sens de leur axe (*), que la contraction cubique ou la diminution de volume de cette substance, est les 0,000001 65 ou 777^^ environ (**), du volume primitif, pour chaque atmosphère de pression équivalente à i''«î,o33 par cenlimèlre carré de surface, etc.

On voit aussi que ce même principe permettra de tenir compte, dans certains cas, de l'influence de la pression atmosphérique, qui, en agissant à lu surface extérieure de tous les

(*) ^ojez le résultat de cette expérience au n® 267 ci-après.

{**) D'après les expériences de Wertheim , il faudrait prendre les J de ce chiffre, ce qui donnerait 0,000001 i au lieu de 0,0^0 001 G5. (K.)

3lO MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

corps, lend à diminuer leur volume loul en augmenianl leur force élastique. Mais on peut jiégliger eiilièremeni celle influence pour des corps solides lels que ceux qui sont ordinairement employés dans les arts, el il nous suffit ici de remarquer que retfet de la pression dont il s'agii se réduit à

augmenter la force élastique E = •— rj relative (236) à l'unité

de section d'un prisme, tiré dans le sens de ses arêtes par une force P, d'une quantité égale à la moitié seulement de cette pression atmosphérique sur la même unité.

Quant à l'influence du poids propre de chacune des parties ou tranchés d'un prisme vertical soumis à l'effet d'une charge qui comprime ou distend ses fibres, elle peut évidemment être représentée, pour les premiers accourcissements ou allongements, par celle d'une surcharge égale à la moitié du poids total du prisme (*); ce qui la rend pareillement négligeable dans presque tous lès cas d'application.

244. De la résistance des prismes à la rupture ou de leur force absolue de ténacité. — On désigne spécialement ainsi, le plus grand des efforts (240) que peut supporter, sans se rompre ou s'écraser complètement, un prisme solide ou comprimé dans le sens de ses arêtes, et l'on admet encore ici que ce plus grand effort demeure proportionnel au nombre des molécules contenues dans chacune des sections transversales du prisme, ou, ce qui revient au même, à Taire de ces sections, sans avoir aucunement égard aux allongements et aux autres changements de forme qu'il a pu éprouver avant l'instant de la rupture.

Nommant toujours A cette ai-re considérée pour Télat d'équilibre naturel ou primitif du solide, et U la résistance sur l'unité de surface, on aura, pour calculer la charge, ou force P, capable de rompre le prisme, soit en l'écrasant, soit en le déchirant ou rallongeant,