AE

autre produit ^ALE/^^^ — — ; d'où il résulte que l'excès

de la première de ces quantités, qui appartient à la puissance, sur la seconde qui correspond à la résistance, mesure, dans nos hypothèses, le travail employé à vaincre l'inertie de la

masse M ou — du poids Q. Donc, en venu du principe du

n« 136, on devra avoir l'égalité

de laquelle il esl facile de, tirer la valeur de la vitesse V, relalive à chacun des allongemenis /, supposés donnés.

On la meilra sous une forme un peu plus simple, en remarquant que, si l'on a déjà calculé, d'après ce qui est exposé à

la fin du précédent article, l'allongement /' ou -jr? correspondant à l'instant où la vitesse acquise est la plus grande, et qui est la moitié de l'allongement maximum ou final, il sera inutile

AE

de calculer, sur de nouveaux frais, la quantité -y- qai entre

dans celte équation. Car, puisqu'on a

Q = AE/' = AE^-î on aura aussi -j— == — 5

ce qui permettra de supprimer le facteur Q, devenu commun à tous ses termes, de sorte qu'elle deviendra simplement

= /(2-^) OU \^=f{2r-l)l;

d'où l'on tire, par l'extraction de la racine carrée, et en posant pour simplifier,

Or /r, racine .carrée du rapport entre deux longueurs, g et /', est un simple nombre ou coefficient facile à calculer, et

sJlil' — l]l est la moyenne proportionnelle entre les longueurs il' — l ei l, qu'on pourra également calculer ou construire géométriquement quand on se sera donné / à priori; donc, rien ne sera plus simple que de se représenter la loi qui lie ces allongements variables, /, du prisme, avec les vitesses

correspondantes, V, de la charge Q, suspendue à son exirémile inférieure.

314. Représentation des lois de ce mouvement par des formules ou constructions géométriques. Expression de la vi-^ tesse. — Soit AB [PL Il^fig. 5i), la longueur de la lige dont il s'agit; BC son allongement de stabilité, /', sous la charge Q ; BD = 2BC =: 2/' son allongement maximum sous la vitesse acquise par cette charge (312); enfin Bm, rallongement /, qu'elle a pris à l'instant où la vitesse est V; il résulte, de ce qui précède, que, si, sur BDr=2/', comme diamètre, on^ décrit un demi-cercle, il rencontrera Thorizoniale menée par m, en un point w, tel qu'on aura

v/ mlïTmB = v'tBD — mBjmB = ^[il' — 1)1,

et par conséquent

\ := k.mn.

Rapport des espaces aux temps élémentaires. — Supposant

que mm' représente l'allongement infiniment petit, reçu par

mB ou /, pendant le temps élémentaire, t, on aura aussi (132.

et 133 ) •

,. mm' , j» ^ , ^^'

\ r=z z=:fc,mn; d ou 1=:-.

t k . mn

Cette dernière expression indiquant que le temps croît proportionnellement au rapport de mm' à mn, on en déduira un résultat encore plus simple, en observant que mm' est égal à la perpendiculaire ou verticale np, abaissée de w, sur l'ordonnée m' n', du cercle, infiniment voisine de mn. Car, si Ton mène le rayon C/i = /' qui est perpendiculaire à l'extrémité «, de l'arc infiniment petit, nn', de ce cercle, on aura, par les triangles, rectangles et semblables, Jin'p, Cmn, à cause que leurs côtés sont respectivement perpendiculaires,

np mm' nn' nn'

'^ ou .

mn mn C/i /' '

ce qui donne facilement

nn' nn' , ,,

t=-j—rj-j ou ——=fflf

el prouve, attendu que kV z= /' i/^= y/ g-/' est une quantité

constante pour toutes les positions de Textrémité B : i*» que les accroissements Infiniment petits, ^ du temps sont pro-; tionnels aux accroissements nn\ de l'arc B/i qui correspond à Tespace Bm = /, déjà décrit, par le point d'application de la charge Q, à l'instant où la vitesse est V; 2" que la vitesse de

îhTi!

circulation (48), du point /i, sur le cercle auquel il appar-

tient, est ici constante et égale à /r/', de sorte que son mouvement est rigoureusement uniforme, encore bien que celui du point m, auquel il correspond à chaque instant, varie sans cesse. ,

Expression géométrique du temps, — Nommant donc T le nombre des secondes écoulées depuis l'origine du mouvement, où m était en B, on aura, pour calculer T, la formule

^ arcB/i

ou, ce qui est la même chose, on aura, pour calculer l'arc Bn et, par suite, Bm ou /,

arcB/i=:H'T.

Formules tri gonomé triques, — Ordinairement on nomme, dans le cercle dont le rayon BC, ou C/i, serait pris pour l'unité : mn le sinus d'un arc tel que Bn, qui est aussi la mesure de l'angle au centre correspondant BC/i, B/n son sinus-verse, et Cm son cosinus. En adoptant ce langage des géomètres, et observant que, dans les cercles différents, les arcs qui sous-tendent le même angle au centre, sont, entre eux, comme les rayons, aussi bien que les ordonnées et abscisses ou segments correspondants, on aura donc

, -j^ arcBn ,^ angle BCn =it7^ 77 = "T,

B/n ou /= /' sin.vers.BC/i = /' sin.vers./rT,

ou bien

/=rBC — Cm = /' — /' cos./rTrrz/'(i — cos.A-T).

Ces formules, après y avoir substitué les valeurs de If et de /', d'après le n<» 313, permettront de calculer, au moyen des Tables trigonométriqnes connues, celles des allongements /, qui correspondent aux temps, T, successivement écoulés ; ce .qui, ayec la formule

V = k,mn = Âr./.sin/rT,

établie en premier lieu, mettra aussi à même de découvrir toutes les circonstances du mouvement oscillatoire de la charge Q, ou de son point d'attache, B.

315. Principales circonstances du mouvement oscillatoire des prismes. — Pour en acquérir upe idée précise, il faut remarquer que le point m (PL II, fig, 5i), une fois parvenu en D, rétrogradera ensuite, tandis que le temps T, qui devient alors égal à

arc ~~ld

ÏÏ^- kl' ~^~~''V ^""''V^.ae'

TT, élant-le rapport 3,i4i6 de la circonférence au diamètre, croîtra sans cesse, et sera mesuré par des arcs quelconques, BwDjt, comptés toujours dans le même sens, à partir du point B, qui pourront embrasser plusieurs demi-circonférences ou circonférences entières, et auxquels correspondront des vitesses constamment proportionnelles aux ordonnées, ou sinus mn, xy, de leurs extrémités, et des allongements également proportionnels aux abscisses ou sinus-verses Bm, Br, relatifs à ces arcs respectifs.

On voit d'ailleurs que, quand le point j ou ^ aura atteint B, ce qui arrivera au bout d'un temps mesuré par la circonférence entière BaiD^B, divisée parla longueur /r./', c'est-àdire au bout d'un nombre de secondes égal à

~ld'~ -T~ "M g-" "" V i?AE

et, par conséquent, double de celui de la demi-période descendante, les mêmes choses reviendront régulièrement, dans le même ordre, et ainsi alternativement et indéfiniment. Tou-

lefois on suppose ici que l'élasticité demeure parfaite, et Ton n'a égard ni à la résistance opposée par Tair, ni aux ébranlements, aux mouvements vibratoires qui, en se transmettant à la masse du point d'attache. A, par Tintermédiaire des molécules de la tige de suspension AB, détruisent ainsi continuellement des portions de plus en plus sensibles de la force vive primitivement acquise dans la demi-oscillation descendante de la charge Q, et finissent, comme l'expérience le démontre, par réduire le prisme au. repos, ennrès-peu de temps.

Amplitude y durée, nombre et vitesse moyenne des oscilla^ lions. — Le plus grand allongement, 2/', subi par le prisme dans ses mouvements alternatifs, n'est ici autre chose que ce qu'on nomme, en général^ l'amplitude des oscillations de la charge ou de son point d'application, B, et, par conséquent, l'allongement permanent, /' ( 310), qui aurait lieu sous l'action de cette charge, n'est lui-même que la •demi-amplitude de ces oscillations, ou ce qu'on peut nommer l'amplitude des excursions de cette charge, de part et d'autre de sa position moyenne de stabilité, G. Donc, d'après ce qui précède, la durée des oscillations entières du prisme est proportionnelle à la racine carrée du rapport de cette dernière à la vitesse, g, que la gravité imprime aux corps en chaque lieu (117). Quant au nombre dfe ces oscillations, de ces retours de la charge à une même position, pendant la durée d'une seconde sexagésimale, sa valeur que nous nommons, en général, N, sera évidemment donnée par la formule

N ^ L ^ *^ ' . /g; ^. /i^Afi.

27r ir. 27ry / it:\ QL "F

de sorte que ce nombre croîtra précisément dans le rapport inverse de celui qui précède, ou, pour nous énoncer d'une manière plus explicite : // croîtra directement comme la racine carrée de la résistance élastique naturelle, AE, du prisme, et inversement comme la racine carrée du produit, QL, de sa longueur, par la charge qui lui est constamment appliquée. Enfin, la vitesse moyenne des oscillations de cette charge étant ici égale(49) au quotient du double de leur amplitude, 2/',

par leur durée, ou au produit de ^l\ par le nombre N, cette vitesse sera également fournie par l'expression

27r TT TT ° TT V AE '

toujours dans Thypothèse où l'élasticité demeurerait parfaite, et où le mouvement se conserverait, lui-même, indéfiniment et sans perte. Mais nous verrons par la suite que ces divers résultats sont indépendants de cette dernière circonstance, ou du décrôissement plus ou moins rapide de la vitesse effective et de Tamplitude des oscillations.

Notions directes sur la nature du mouvement. — On se formera une idée irès-claire du mouvement oscillatoire, pour ainsi dire théorique, dont nous nous sommes jusqu'ici occupé, si l'on imagine que le point n, dont l'extrémité inférieure du prisme représente, à chaque instant, la projection sur le diamètre vertical, BD, du cercle, BnD^B {PLII,Jig.5i), chemine d'un mouvement rigoureusement uniforme, et avec

une vitesse mesurée ( 323 ) par kl' = sfgï'y sur le contour même de ce cercle, de manière à indiquer, par ses positions successives, comme le fait l'extrémité de l'aiguille d'une montre, la mesure, la marche régulière du temps. Le système d'une manivelle qui se meut circulairement et uniformément autour d'un axe sur lequel elle est implantée, et qui pousse un châssis de scie ou un tiroir de machine à vapeur, par l'intermédiaire d'une longue bielle, offre encore une image du mouvement oscillatoire ou périodique qui nous occupe, et dont on acquerrait, à priori, une notion géométrique également précise, en construisant la courbe qui a pour abscisses les arcs servant de mesure aux temps écoulés, et pour ordonnées les allongements ou sinus-verses correspondants (314), courbe serpentante qui appartient au genre de celles qu'on nomme sinusoïdes.

316. Recherches de la force motrice variable qui sollicite le prisme pendant le mouvement. — Pour compléter les notions relatives au mouvement oscillatoire des prismes, dans le cas élémentaire qui nous occupe, il est nécessaire de montrer

comment on peut obtenir et calculer direclemeni les efforts qui s'exercent réellement à leur extrémité inférieure B {Pi. Il, Jig. 5 1), pendant la d urée de chacune des périodes d'oscillation de la charge Q, efforts qui sont dus, évidemment (130 et suivants), à l'excès du poids de cette charge sur la force d'iner-

• lie — -1 à tous les instants où il y a accélération de mou-

vement, et à l'excès contraire de celle-ci sur le même poids, lorsqu'il y a simple ralentissement.

En nommant P, l'effort dont il s'agit, et que nous savons déjà (312) être égal à Q, aux instants où Toscillation commence et finit, et devenir précisément nul quand l'extrémité B est arrivée au milieu, C, de sa course, BD, nous aurons, en particulier, pour calculej P, dans toute la partie BC de l'oscillation descendante où le mouvement s'accélère, et plus spécialement pour la position m de B,

Mais, comme nous savons aussi (314) que le temps infini-

ment petit, ^ est mesure par le rapport -j-^» et que la vitesse V,

de la charge supposée parvenue en m, est mesurée par le produit k.mn, ou son accroissement t', par k.n'p, il en résulte immédiatement

t nn' ^ nn' ^ Cn /' '

attendu que 7»^ = j, (313), et que les triangles, semblables et

rectangles, nn'p, mCn, donnent n^p : nn' : : Cm : Cn r=: /'. Donc, enfin, la force cherchée,

ou bien, en adoptant (314) les notions de la Trigonométrie,

P := Q(i — cosA-T) = Q — Q. cos/rT;

43o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

ce qui prouve que l'inlensiié de cette force suit la même loi de périodicité que les allongements mêmes du prisme, fait que nous eussions pu considérer comme évident à priori, puisque ces allongements doivent, d'après nos hypothèses, demeurer exactement proportionnels aux efforts qui les produisent.

En effet, si on continue ici à nommer /, rallongement proportionnel ou par mètre que subissent les divers éléments du prisme, sous l'action variable de P, allongement qui, dans nos hypothèses encore (312 et 313), est le même pour tous, à un instant donné, et ne dépend uniquement que de Tintensité de P, on aura, pour le déterminer,

/i=: j- = y (i — cos/rT);

ce qui donne immédiatement

P=.AE/==^!^(i — cos/rT) = 0(i-cosfrT),

attendu qu'ici (313) QL = AE/'; mais nous avons été bien aise de montrer comment on pouvait arrivera cette expression par la voie directe.

Ces résultais permettent d'ailleurs de calculer et de discuter, à priori, les diverses valeurs que prennent P et i aux instants successivement écoulés depuis l'origine du mouvement; mais cette discussion est trop facile pour qu'il devienne nécessaire de s'y arrêter. Nous ferons seulement remarquer que ces valeurs oscillent périodiquement autour de leurs moyennes respectives, en changeant de sens ou de signe, absolument comme le fait, lui-même, l'allongement, / ou mB, du prisme, aux divers instants du mouvement (314.).

317. application à un exemple particulier. — Considérant notamment la barre de fer mentionnée au iV 310, et pour laquelle on a

L = io'", A =:o'"*i,oo25, Q — ioooo''«,

on trouvera, en vertu des formules exposées dans les trois précédents numéros, où l'on suppose la charge Q, simplement

suspendue à rextrérnité inférieure de la tige AB, sans vitesse îfntérieuremenl acquise :

i" Pour rallongement de stabilité, i', lequel se rapporte à un simple effort agissant sans vitesse appréciable,

., Q loooo

I = TTT = -^ : ^=- 0,0002 ;