AE 0,0020 X

2" Pour le plus grand allongement proportionnel, acquis sous rinfluence de la vitesse Q,

2/' = o,ooo4;

3" Pour les allongements absolus correspondants, BC et BD,

/' =z l' L r= 0,0002 X To,'" -: o'", 002, L' = 2i'L = 0,0004 X 10'" = o'", oo4 ;

4° Pour la valeur du nombre /r (313), attendu (117) que g^=^9"',8o9,

5° Pour celle de la vitesse maximum, Y, acquise à l'instant où rallongement /, est précisément égal (314) à /' ou BC,

V'=: /»/'= 70,082 X 0'",002 zr: 0'",t4oo6;

6° Enfin, pour la durée d'une oscillation entière du prisme, ou de la charge Q,

1 ^ __27ry^^g- 70,032 -°>«»9;^>

ce qui donne par seconde, —r. — 7^ -= i i,i45 oscillations en-

tières seulement, ou 22,29 demi-oscillations descendantes et

ascendantes.

Mais, d'après la formule du n** 315, qui donne, en général,

le nombre N, des oscillations entières par seconde, si Q, au

lieu d'être de loooo kilogrammes, n'était que de 626 kilo-

432 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

grammes, ou le -^ de la valeur qui vient de lui être attribuée, et qu'en même temps la longueur de L se trouvât réduiler à 1 1 o" = I ", III , le nombre dont il s*agit serait augmenté dans le rapport de Tunité à la racine carrée du produit de i6 par 9, ou de I à 4 X 3 n= 12; de sorte qu'il s'élèverait à

ou i34 environ par seconde, le nombre des demi-oscillations étant lui-même porté à 267,48, dans le même temps.

Lois du mouvement oscillatoire des prismes dans le cas où la charge possède une vitesse initiale.

318. Données fondamentales de la question. — Dans ce qui précède, nous avons supposé que la charge Q était posée à l'extrémité du prisme AB [PI. II,Jig. 5i), avec beaucoup de douceur ou sans vitesse acquise; mais, s'il en était autrement, il est évident que l'étendue des excursions ou des oscillations du poids Q, serait augmentée, de sor.le que l'élasticité naturelle pourrait être forcée. Afin de s'en assurer directement, il faudra être en état (312) de calculer le plus grand allongement subi, par ce prisme, à l'instant où la vitesse de la charge se trouvera éteinte dans la première période du mouvement.

Équation du maximum d'allongement. — Pour l'obtenir, il suffira d'exprimer, toujours d'après le principe du n° 136, que

la moitié de la force vive initiale, possédée par la masse —de

g la charge, augmentée de la quantité de travail Q.IL qui correspond (312) à la descente de son poids Q, de la hauteur U = IL, relative à ce plus grand allongement, est précisément égale à la quantité de travail j ALEP, développée, en sens contraire (247), par la force élastique du prisme, ou que

qX^4-QIL = aalEI%

V, étant la vitesse initiale dont il s'agit. Cette relation, comme on voit, permettra toujours de cal-

culer I ou IL, par les méthodes connues, quand on se sera donné les diverses autres quantités qui y entrent; mais on y parviendra plus directement en remarquant que, si la limite d*élasticité ne se trouve effectivement pas dépassée, la charge, après avoir atteint sa position extrême ou la plus basse D', reviendra en arrière, pour exécuter une série d'oscillations entièrement semblables à celles qui ont été considérées dans le cas précédent, et qui seront d'ailleurs assujetties à la même loi, si ce n'est que l'étendue CD' ou CB' des excursions du point d'application B, de cette charge, de part et d'autre du point C, qui en demeurera le milieu ou centre, se trouvera augmentée.

Considérations géométriques, — Sans recommencer la série des raisonnements et des démonstrations relatives au cas particulier où la vitesse initiale V, est nulle, on peut remarquer qu'on a toujours (312), pour déterminer l'allongement BG ou /', à l'instant où la plus grande vitesse est acquise, la relation

Q = AEi', qui donne BC ou l' = i'Lz=^,

même valeur que ci-devant. Et, comme l'horizontale ou ordonnée BN, correspondante à B, dans le cercle B'ND', qui donne la loi du nouveau mouvement, doit avoir, avec la vitesse V,, la relation déjà trouvée (323)

V,=:A.BN,

h ayant une valeur indépendante de V, et toujours égale à

\/ ^ = v oT~' ^" ^^^^ qu'après avoir pris BG = /', d'après

ce qui est indiqué ci- dessus, et BN = —, il ne restera qu'à

décrire, du point G, comme centre, avec CN pour rayon, une circonférence de cercle coupant AB, prolongée, aux points B' et D', pour être en état de calculer et de discuter toutes les circonstances du mouvement oscillatoire qui nous

occupe.

Allongement maximum. -^ D'après ces données, on aura

immédiatement, pour calculer le plus grand allongement, IL, la formule

qui, en remplaçant /' et k par leurs valeurs ci-dessus, prend la forme plus générale

AE V A^E^ g^AE '

sous laquelle cet allongement eût été obtenu directement, en résolvant l'équation ci-dessus, du deuxième degré, par rapport à IL. On a donc aussi, pour le plus grand allongement proportionnel.

AE V A^E» AEg^L

Effort qui correspond à rallongement maximum, — L'efforl P, qui serait capable de produire et de maintenir, d'une manière statique ou permanente (312), le plus grand allongement du prisme, étant mesuré (236), par le produit AEI, en deçà de la limite où l'élasticité cesse de demeurer parfaite, il en résulte que Ton aura, en outre, pour calculer cet effort.

= Q + Y/Q' + QAE^=Q + Qi/,+

Vî

Si" de sorte que l'excès de cet effort sur celui de la charge Q, aussi

bien que l'excès d'allongement V/ ^' + "tt» ^"^* P^^ '^ prisme

sousl'influencedu mouvement acquis, croîtront, l'un et l'autre, a\ec la grandeur de la vitesse initiale, V,, mais croîtront d'une manière d'autant plus lente ou moins sensible que la longueur absolue, L, de ce prisme, sera, elle-même, plus considérable.

Rien ne sera plus facile d'ailleurs que de s'assurer, dans chaque cas, au moyen de ces différentes formules, si la limite d'élasticité n'a pas été atteinte ou entièrement dépassée.

application numérique. — Prenant pour exemple les don-

nées du n*» 317, où Ton a

/'==0"S002, /i ^ z= 2l 29 :::= 4qo4 5

on trouvera, en supposant seulement la vitesse initiale de la charge, V, = o'",2o, par seconde,

/'2=: 0,000004, -,T = ^^— ô =O,O0OOO0l5,

et, pour le plus grand allongement subi par le prisme,

BD'= o"',oo2 -f- v^o,ooooi 2 t5 = 0*^^,002 4-o"',oo35 =:o™,oo55;

<;e qui répond, attendu qu'ici L = io™, à un allongement proportionnel ou par mètre, I, de yôO™,oo55 = o"*,ooo55, sous lequel Télasticité serait, en effet, sensiblement altérée (292) pour certains fers, quoique ici la charge soit seulement de 4 kilogrammes par millimètre carré (310), et que la vitesse initiale V, 1=0"*, 2, corresponde à une hauteur de chute qui surpasse à peine o™,oo2 ou 2 millimètres.

On trouvera de même, pour Teffort P, qui serait capable de produire ce plus grand allongement,

P =: AEI = 5o 000 ooo''» X o , 000 55 =^ 27 5oo''8^

dont l'excès, 17500 kilogrammes sur le poids Q= 10000 kilogrammes, de la charge, représente proprement la part qui doit être attribuée à l'influence de l'inertie ou du mouvement acquis par celle charge.

Maximum de contraction. — Revenons à nos premières considérations, et remarquons que la partie BB' de l'oscillatîon en retour ou ascendante, de l'extrémité inférieure, B, du prisme, correspondra, dans l'hypothèse où la charge Q lui serait invariablement attachée, à un véritable accourcissement, à une véritable contraction subis par ce prisme, et pourra à son tour être calculée par la formule

BB' = B'C - BC == GN — /' = i/ 1'' -^- -p — ^'»

qui, dans le cas particulier ci-dessus, donnera simplemeni

3B' = o»^, oo35 — o"», 002 = o»", 00 15,

ou un accourcissement de o", 0001 5 par mèlre de longueur seulement. Mais nous reviendrons, d'une manière plus particulière sur les réflexions que suggère ce résultat du calcul, quand nous aurons exposé quelques autres données essentielles de la question.

Énoncé et forme particulière des résultats, — Les formules qui précèdent sont susceptibles d'un énoncé très-simple en

langage ordinaire; car si Ton observe (313) que k^=^^t et si

Ton nomme H, la hauteur — î- due à la vitesse V,, il en résultera, par exemple, pour le plus grand allongement que subii. le prisme, sous l'influence de cette vitesse.

BD'— /'+i//'^ + 2g-H. - = /'-4-v^/'(7^ + 2H,);

ce qui prouve que sa valeur surpasse celle de rallongement de stabilité, /', relative à la charge Q, d'une quantité égale à la moyenne proportionnelle entre /' et sa valeur augmentée du double de H, : moyenne qui donne ainsi la mesure directe de l'influence exercée par l'inertie ou le mouvement de Q-

319. Formules relatives aux diverses circonstances du mouvement oscillatoire de la charge, — Pour être en mesure de discuter complètement ces circonstances, comme on l'a fait dans les précédents numéros, on nommera en général, alin d'abréger, r la demi-amplitude, ou le rayon CN.^=:CB' = CD' {PL il, fig, 5i), du nouveau cercle, et ï' le temps que, dans ses oscillations périodiques, l'extrémité B de la tige met à parcourir l'intervalle BB'. Ce rayon et ce temps, qui sont déterminés par les relations de la figure, se calculeront directomeVit au moyen des formules

4 /m XI T arcB^N __ angle B^CN

dont la dernière suppose qu'on ail préalablomenl calculé i*angle B'CN, à l'aide des Tables mentionnées au n° 314, el de Tune ou de Taulre des relations

BC ou r =r: rcosB'CN, BN = y = rsinB'CN, qui donnent cosB'CN ou cos/rT' = -, sinB'CN ou sin/.T'=^.

Expression du temps et des allongements variables. — Comme, en continuant de nommer T le temps que l'extrémité inférieure de la tige met à décrire l'espace quelconque, Bm =1 /, auquel correspond l'arc MN sur le cercle B'ND'B', on a pareillement

^ arcMN angleNCM , t.,^- ,^

T = — = = — ^ 9 ou angle NCM = /, T,

kr k

il en résultera, pour calculer à un instant donné cet espace qui représente rallongement total alors subi par le prisme, la formule

Bm ou / — BC — Cm=r/'— CM.cosB'CM

:--:/'- /•cos/r(T + r), puisqu'on a

angle B'C M =r angle B'CN -h angle NCM, et

angle B'CN = /rT', angle NCM = AT.

Expression de la vitesse, — Quant à la vitesse dont la charge est animée au point quelconque, m, on la calculera, soit directement, au moyen de la formule

V = /r.mM:3r-. /r \J m - mC =ks/r' — {l'— l)\

soit par les Tables trigonométriques, au moyen de la formule { *)

V=/r./;?M=/r CM.sinB'CM = /rrsin/r(T-i-T').

(" ) On peut mettre, sous une forme plus explicite, les expressions de V et

Enfin on aura toujours (316), pour calculer Teffori moteur variable, P, qui agit à Textrémité inférieure, B, du prisme, ainsi que l'allongement proportionnel, /, qui en résulte, auv divers instants du mouvement

formules dans lesquelles il faudra substituer à / la valeur déjà obtenue ci-dessus.

Amplitude, durée et nombre des oscillations, — S'il s'agit en particulier des oscillations entières exécutées par le prisme et sa charge, on observera que leur durée correspond ici encore (315) à un arc, NM, devenu égal à la circonférence entière ND'B'N =: 2 7:r, à un angle, NCM, devenu égal à quatre droits et mesuré par 27: sur le cercle dont le rayon est l'unité, de sorte que cette durée et le nombre N des oscillations, par seconde, seront fournis par les formules

^ \ S Vê'AE' ï 277 V QL

de /, et par suite celles de P et de /, en développant les valeurs de sin h[T -i- T'; et cos^(T -4- T'), d'après les formules connues de la Trigonométrie; car on aura

V = hr%\nh'ï cos>tT' -4- /r cos^T sinAT' = kl' sin AT -f- V, cosAT,

/=/'—/• cosAT' cosAT-hrsin X^rsinAT= /'— /'cos/T-+- ^ sinAT.

On trouvera de même, pour calculer directement les valeurs de T, au moyen de celles de / et de V, la formule

cos ou bien

dans lesquelles on se rappellera d'ailleurs que