A» AE

Ces formules, qui coïncident avec celles du n*» 315, sont d'ailleurs indépendantes de la vitesse initiale, V,, imprimée à la charge Q, aussi bien que de Tampliiude B'D'=:2r, de ses oscillations; par conséquent cette dernière peut décroître ou augmenter par des causes quelconques, sans que la nature du mouvement en soit modifiée, tant que la charge, la tension et l'élasticité naturelles du prisme ne seront point changées. Enfin, il est évident, à prioriy qu'on arriverait aux mêmes résultats, si l'on considérait en général le temps nécessaire pour que la charge ou l'extrémité, inférieure B du prisme revînt à l'une quelconque des positions qu'elle peut successivement occuper, par exemple à la position B' qu'elle avait déjà dans l'oscillation précédente ; car ce temps serait toujours mesuré par la circonférence entière, 2T:r, du cercle B'MD'B', divisé par le produit kr,

320. Remarques et conséquences diverses. — L'accourcissement BB' (PL II, fig. 5i), qui a été calculé à la fin du n° 318, et que subit le prisme dans le mouvement d'ascension de la charge, à laquelle, par hypothèse, il est étroitement lié, cet accourcissement étant généralement très-petit, par rapport à l'allongement maximum BD', qui lui correspond dans chaque cas, on voit qu'il sera inutile d'y avoir égard dans les questions relatives à la solidité des prismes; mais il n'en est pas moins utile de remarquer qu'en vertu de la compression qui en résulte, lors de ce mouvement de retour, le point d'attache supérieur, A, du prisme, se trouvera lui-même pressé ou choqué en vertu d'un effort absolument analogue à celui qui le sollicite dans l'oscillation descendante et dans la partie BD' de l'oscillation contraire. Supposant d'ailleurs, qu'en raison de sa longueur (268, 280 et suiv.), le prisme ne puisse fléchir à l'instant où cet effort de compression atteint sa limite, on voit qu'il sera facile de calculer l'intensité de ce dernier au moyen de la formule P = AE/, qui s'applique aussi bien (236) à la contraction des prismes qu'à leur extension, tant que l'élasticité naturelle n'est pas forcée.

On remarquera pareillement que, si la vitesse initiale, V,, supposée imprimée à la charge Q, dans la question du n° 318, au lieu d'être dirigée du haut vers le bas, l'était en sens con-

traire, les mêmes considéralions géométriques et les mêmes formules serviraient encore à faire trouver les lois du mouvement, pourvu toujours que la vitesse dont il s'agit, ou plutôt l'effort maximum de compression qui en résulte, fût incapable de faire fléchir transversalement le prisme, puisqu'alors il surviendrait des soubresauts qui cesseraient d'être soumis aux lois indiquées par nos premières formules. Quant au cas où le prisme aurait une position renversée par rapport à son appui A, la valeur de /', au lieu d'être portée de B en C, devrait l'être de B vers A; ce qui rendrait BB'>BD', ou les accourcissements plus grands que les allongements relatifs au mouvement de retour, et, par suite, la contraction et les inflexions plus dangereuses que les extensions, à l'inverse de ce qui avait lieu dans les hypothèses précédentes.

Enfin, il est bien évident encore que, si, au lieu d'imprimer une vitesse initiale à la charge Q, on eût simplement fait subir au prisme, toujours lié invariablement à cette charge, un allongement primitif égal à BD', ou une contraction primitive mesurée par BB', et sans vitesse acquise, qu'ensuite on l'eût abandonné à la libre action du poids Q, la loi du mouvement, l'étendue des excursions et la durée des oscillations eussent été exactement les mêmes que dans le cas précédent (*).

(*) Soit notamment, P' l'elfort qui, ajouté au poids Q de la charçe, a primitivement allongé le prisme de la quantité BD' = BC -f- CD' = /' h- r, sans vitesse acquise, on aura évidemment (234), si BD' n'excède pas l'allongement relatif à la limite d'élasticité

d'où l'on tire, attendu que /'=-—,

Al£

AE ^ AE

ce qui fera connaître /', on le rayon CN = CD', et parlant la vitesse V, qui entre dans lu première des équations du n" 319, laquelle donnera immédiatement

v.=y'^('-'-/'--)=^v'Fî=ip. -

expression où P' est supposé plus grand que Q, de même que r ou CD', a été

D'ailleurs les choses se passeraient tout différemment si la charge Q, au lieu d'êlre solidement fixée à l'extrémité infé^rieure du prisme, n'y était simplement retenue que par une saillie qui lui laissât la liberté de s'élever. En effet, cette charge, dans l'oscillalion ascendante ou en retour, et à son passage par le point B (PL JI,Jig. 5i), qui correspond à l'état naturel du prisme, reprenant une vitesse égale et précisément contraire à la vitesse initiale, V,, tandis qu'au même instant l'effort de réaction, la résistance élastique P de ce prisme devient nulle pour changer ensuite de sens ou de signe, il arriverait, dans cette circonstance, que le poids Q abandonnerait entièrement son support, et rejaillirait, en vertu de sa vitesse

acquise, Vi, jusqu'à la hauteur H, = — -^ d'où il retomberait

en reprenant de nouveau la vitesse V, en B; de là aussi résulterait un choc vif qui donnerait lieu, comme on le verra bientôt, à une perte de force vive, et serait immédiatement suivi d'une oscillation du prisme , et ainsi de suite alternativement. Mais comme, en réalité, le mouvement des parties matérielles du prisme ne peut, à cause de l'inertie, s'éteindre brusquement à chacun des instants où le poids Q vient à quitter son point d'appui inférieur,^ on voit que, pendant la montée de ce poids et sa descente de la hauteur Hi, le prisme exécute des vibrations plus ou moins rapides qui entraînent avec elles une certaine dépense de force vive, et ne permettent ni de supposer que la vitesse de rejaillissement de Q soit égale à la vitesse primitive Vi, ni de déterminer à priori, du moins par un calcul facile, le lieu et l'époque où s'opérera chacun des chocs; question étrangère, au surplus, à l'objet des applications que nous avons ici en vue.

Quoi qu'il en soit, il ne faut pas oublier que les diverses circonstances du mouvement oscillatoire, jusqu'ici examinées, dérivent essentiellement de l'hypothèse que les efforts de

supposé plus grand que /' ou CD, et qui, par sa substitution dans les formules du numéro déjà cité, permettra de calculer toutes les circonstances du mouvement oscillatoire qui succède h l'instant où J'eflort P vient à cesser, absolument comme si Ton s'était donné, à priori^ la valeur de la vitesse initiale V,, correspondante à la position B du poids Q.

réaction du prisme demeurent exactement proportionnels aux allongements z7, qu'il subit pour les positions correspondantes de -son extrémité inférieure B. Or il est bien clair que ces mêmes circonstances se reproduiront toutes les fois que la force qui tend à ramener un corps matériel quelconque vers la position naturelle d'équilibre, dont il aurait été primitivement dérangé, sera soumise à une semblable loi, par rapport à la grandeur relative du déplacement que subit son point d'application; et, en particulier, les lois du mouvement oscillatoire, qui nous ont jusqu'ici occupé, sont aussi, pour de trèspetits déplacements des molécules, celles qui régissent le mouvement dont il a été parlé au n" 226, et auquel nous eussions pu dès lors appliquer les divers calculs et considérations qui précèdent, si nous n'avions craint de détourner trop longtemps l'attention du lecteur et de faire un double emploi.

321. Lois du mouvement des points intermédiaires du prisme (PL II, fig, 5i). — Jusqu'ici nous nous sommes uniquement occupé des circonstances que présente le mouvement de l'extrémité inférieure B du prisme, qui est directement soumise à l'action |Je la charge Q; mais il est facile de voir que celles de divers autres points de ce prisme, tels que b, par exemple, se déduiront sur-le-champ de cette considéralion très-simple, conséquence nécessaire de nos premières hypothèses (313), que : les allongements, en chacun de ces points, demeurent, à tous les instants, proportionnels à leur distance Ab de V extrémité A, toujours supposée fixe.

Nommant, en effet, z l'allongement absolu que subit, à la fin du lenips T, la partie A^ de la tige, dont l'étendue sera représentée par la lettre x, et soit pareillement v la vitesse acquise par le point b, au même instant, on aura simplement

,kb , X ,r A^ ,r X

pour calculer z et t^, au moyen des valeurs correspondantes / et V, relatives à l'extrémité inférieure B, dont le mouvement est, d'après ce qui précède, exactement connu pour chacune

des valeurs de T, ou du nombre de secondes écoulées depuis Torigine du mouvement.

En particulier, il résulte de cette considération que si les divers points b sont tous s^u repos à l'origine du mouvement, ils y reviendront en même temps ou simultanément avec l'extrémité B; qu'ils atteindront pareillement leur plus grande vitesse à un même instant, et qu'enfin leurs oscillations entières, comme leurs demi-oscillations ascendantes et descendantes, seront de même durée, s'accompliront dans le même temps; ce qui constitue véritablement ce qu'on est convenu de nommer : mouvements isochrones, isochronisme des oscillations.

Quant aux autres circonstances du mouvement relatives à chacun des points b du prisme, il sera également très-facile de les discuter au moyen des relations ci-dessus entre les quantités z, / et x, v^ V et Xy qui changent continuellement avec la durée du temps T, écoulé depuis l'époque oii l'extrémité inférieure du prisme était en B.

En effet, b étant censé la position initiale contemporaine à celle de B du point de la tige dont on veut particulièrement discuter la loi du mouvement, il ne s'agira que de porter de b vers B, sur AB, la distance

bc = J^C^ = U^,

qui, à tous les instants, demeure, avec BC, ou /', dans le rapport invariable de A6 à AB, pour obtenir l'allongement de stabilité (312) qui aurait lieu, au point b, sous l'action permanente de la charge Q. Prenant ensuite le point c ainsi trouvé pour centre d'un nouveau cercle ayant bc pour rayon, ce cercle qui sera semblable au premier, et semblablement situé par rapport au point A, aura toutes ses lignes homologues proportionnelles et parallèles; et par conséquente l'allongement B/n, à l'ordonnée ou sinus mn et à l'arc B/i, qui appartiennent au point B, à la fin du temps quelconque T, correspondront, pour le cercle (c), un allongement, br=z, une ordonnée rs et un arc bs, qui leur sont homologues ou proportionnels, et qui auront entre eux et avec l'angle

bcs=BCn = kT (314),

précisément les mêmes relations ou rapports que les premiers dans le cercle (C); de sorte que la discussion des n"* 314 et suivants, relative à la périodicité, à la loi du mouvement, leur est immédiatement applicable, la grandeur absolue des lignes étant seule changée.

Quant au cas (318 et suiv.) où cette charge, au lieu d'être en repos à l'origine du mouvement, reçoit une vitesse initiale V,, comme on néglige ici complètement Tinfluence de Tinertie des parties matérielles du prisme, ou que le mouvement est censé se transmettre instantanément de Tune à l'autre de ses extrémités, il est évident que les mêmes considérations lui seront encore applicables, et qu'en particulier, si du point c, comme centre, avec la ligne cb' ou cd\ proportionnelle à CD', pour rayon, on décrit une nouvelle circonférence de cercle homologue à celle D'NB'D', elle mettra en état encore de discuter directement toutes les circonstances du mouvement dont est animé le point b, comme on -l'a fait par le moyen de cette dernière, dans les endroits déjà cités.

322. Formules analytiques qui représentent ces lois. — D'après les indications précédentes, rien ne sera plus facile que d'arriver à ces formules dont l'expression concise offre à ceux qui savent les lire une interprétation non moins fidèle que les relations intuitives des figures, de tous les phénomènes de mouvement qu'elles sont destinées à reproduire par le calcul.

Allongement absolu et vitesse. — Ainsi, par exemple, dans la question du n° 314 qui se rapporte au cas où la charge Q agit sans vitesse acquise, on aura, pour déterminer à chaque instant les valeurs de l'allongement et de la vitesse qui se rapportent au point quelconque b.

br o\i z=: — z=: —- { I — cos/rT),

C' = V ^ = /./^ =:= /r/ ^ sin/rT = /rz sin/rT,

Lj Lt Lt

dans lesquelles on a toujours

AE V F V QL

ei qui se déduisent immédiatement de celles du même numéro, en y multipliant les valeurs de / et de V qu'elles don-

nent par le rapport -ï-^Td' conformément à ce qui a été

indiqué au commencement du n° 321.

On aura de même, pour exprimer à tous les instants les lois du mouvement dans le cas du n*' 318 et suivants, où la charge Q possède la vitesse initiale V,, les formules plus générales,

;î = -^:=^[/'-rcos/r(T+T')] = ^(i-cos/^T)-f-^sinA'T,

t;=V^==:^^sinA(T4-r)^-^:rsin/rT-f-^cosA-T,

qui se déduisent, de la même manière, de celles du n" 319 et de la Note qui raccompagne.

Tension des éléments du prisme. — Les expressions de P et de i du n° 319, ne dépendant explicitement que du temps T, ainsi que d'angles et de rapports de lignes qui restent les mêmes dans les cercles relatifs au point quelconque b [PL Uy fg, 5i), il en résulte que les valeurs de ces quantités sont indépendantes de la position particulière de ce point; conséquence nécessaire encore des hypothèses d*oii nous sommes partis, et qui n'aurait plus lieu, avec une exactitude suffisante, si la masse du prisme devenait comparahle à celle de la charge Q, ou en était, par exemple, le dixième ou le vingtième, puisqu'alors l'influence de la gravité et de l'inertie, sur ses propres parties, commencerait à devenir appréciable (*).

(*) La solution générale de la question qui nous occupe dépend de l'analyse aux différentielles partielles, dont M. Navier a offert de belles applications dans son important Ouvrsge, sur les ponts suspendus, publié en iSîS. En conservant toutes les dénominations jusqu'ici admises, et désignant, de plus, comme au II® 310, par D, la densité ou le poids de l'unité de volume de la substance qui

Influence particulière du poids des éléments. — Il sera toujours facile d*en tenir compte au moyen des formules

constitue la tige, les équations à intégrer reviennent aux deux suivantes :

d-z EtT'z d*z AE dz

La première exprime' l'^stat varié de la tranche située à la distance x de l'ex' trémité supérieure A du prisme, et la deuxième une condition qui doit être satisfaite, à tous les instants, pour l'extrémité inférieure B, où l'on a j: = L, et où Ton suppose que la charge Q ait été appliquée, dès l'origine du mouvement, avec la vitesse Y,, la tige elle>mème étant, à cet instant, au repos dans toute son étendue, c'est-à-dire dans l'état d'allongement où on l'a considérée au no 310.

On satisfait complètement à ces équations et conditions au moyen de la valeur générale

ADL AD , Q^

AE "* m

dans laquelle

(cos y/Ç mT - « y^ V. sin y/Ç « t) ,

Q m L -4- sin a m L

4 sinmL

et le signe 2 indique la somme d'une suite de termes semblables h ceux de l'expression qui le suit, et où l'on mettrait successivement pour /w, les difTérentcs valeurs positives fournies par l'équation transcendante

mLtangz/iL = — rr-»

dont, comme on sait, les racines sont toutes réelles et en nombre infini.

La valeur ci-dessus de z, étant dilfcrentiée successivement par rapport à T et à JT, donnera d'ailleurs pour déterminer la vitesse v et l'allongement proportionnel f, ou par mètre, d'un élément quelconque du prisme,

dz Q „^ sin ma:

^ou.=-g2B„-— m

dz ADL AD Q

-;— OU I = — X -i ^

dur AE AE AE

Ç-^-^'Vè^'^^ViT"'^)

(cos y/Ç ,.T - - \/^ V. cos yÇ mï)

— ^SB^cosma-

Dans le cas particulier où le poids ADL, de la ti(;e de suspension est trèspetit vis-à-vis de celui de la charge Q, l'équation transcendante ci -dessus

donne approximativement mL= i/— — , pour la plus faible de ses racines.

établies au n° 310, et en observant que les efiforis résultant de ce poids en chacun des points de AB doivent simplement s'a-

ADL

et mL = «TT H rr pour chacune des suivantes dont le rang est ici désigné

/îttQ "

par n ; ce qui suppose qu'on néglige seulement les quantités dont le rapport

adl

à l'unité est moindre que le carré de la fraction — pr-* D'après cela, on démontre

sans difficulté que les termes qui, dans les développements de sinus et de cosinus, compris sous le signe S des expressions de z, v et /, correspondent à ces dernières valeurs de mL, sont tous négligeables par rapport à ceux que

fournit la première ou m = \J j^^ ce qui, au degré d'approximation indiqué,

fait coïncider ces mêmes expressions avec leurs correspondantes du texte.

Au surplus, les formules générales de cette ?]ote, quoique déduites d'une analyse analogue à celle dont s'est servi M. Navier aux §§ X et XI de l'Ouvrage déjà cité, en diffèrent néanmoins quant au fond, attendu que cet illustre ingénieur suppose qu'à l'instant où la charge Q reçoit la vitesse initiale V,, le prisme ait déjà pris, sous cette charge, l'allongement de stabilité dont nous avons parlé aux n»' 310, 312 et suivants; ce qui fait disparaître, des séries cidessus, tous les termes qui, étant indépendants de V,, expriment la loi du mouvement vibratoire, relatif au cas où le poids Q agirait sans vitesse antérieurement acquise. Dans quelques circonstances, la question peut, en effet, se présenter sous ce double aspect; mais il nous a semblé utile, tout en justifiant les résultats particuliers du texte, de faire connaître ici la solution qui se rapporte à l'hypothèse la plus générale, et qui conduit aussi aux plus grandes valeurs des allongements subis par les prismes.

D'après ce que l'on reconnaît d'ailleurs touchant les séries de la forme de celles qui nous occupent, et tout ce qu'en a dit, en particulier, M. Navier, aux endroits déjà cités de son savant Ouvrage, il est inutile d'insister sur ce qui arrive dans le cas où le poids Q, étant à l'inverse très-petit vis-à-vis de celui

du prisme, on a approximativement mL = ^-- , 1^, > au lieu de /itt H ^r»

Qh- adl «ttQ

non plus que sur le défaut d'isochronisme des mouvements exécutés, dans le cas général, par les divers éléments de ce prisme. Il suffit de rappeler que ces mouvements se composent, eux-mêmes, d'une infinité d'oscillations simples analogues à celles qui nous ont occupé dans le texte, mais qui, étant privées d'une mesure commune, quant à la durée, ne permettent pas, au prisme, de reprendre rigoureusement, à aucun instant, son état primitif d'équilibre, ou l'un quelconque des états intermédiaires par lesquels il a déjà passé, et qui vont ainsi constamment en se modifiant. Quant aux effets qui seraient dus séparément à l'action du poids Q, et à sa force vive initiale, on voit, par les expressions ci-dessus, qu'ils s'ajoutent, se superposent, en quelque sorte, sans se nuire réciproquement; circonstance qui se présente dans tous les phénomènes de vibration où le déplacement relatif des molécules demeure assez petit, pour que l'élasticité ne soit, à aucun instant, altérée, et pour que ce déplacement lui-même demeure proportionnel à la force qui est censée directement le produire.

jouter, se superposer à celui que produit en B la force motrice variable P (316 et 319); car, dans Fhypothèse où Ton continue de négliger l'influence de Tinertie des éléments matériels du prisme, il devient permis de supposer l'action de ces différentes forces transmise intégralement, ou sans perte, en chacun d'eux. Si l'on se rappelle, en effet, que la longueur de la partie ^A [PI, II, fig, 5o et 5i), est ici représentée par X, et que /? = A.D dans les formules du n° 310, on en conclura que les valeurs qui doivent être ajoutées à celles de P, i ei z mentionnées ci-dessus, afin de tenir compte du poids des éléments du prisme, sont respectivement :

pour la i" ou P... p.bB = AD{L— x),

6B AD(L — 07) pour la2™«ou i... p. j^ = -^ >

, n - pL . . P , K. ADL AD

pour la 3"® ou z.,, ^-r-=,bA Ç^d. A* — -i-^ -^ tt^^^-