AE 2AË AE 2AE

Mais on n'aperçoit pas aussi clairement, par la voie du raisonnement ordinaire, quelle est la nature des modifications qu'il faudrait faire subir aux formules primitives, pour tenir compte de l'influence exercée, aux divers instants, par l'inertie des éléments matériels du prisme ; et, sous ce rapport, l'analyse algébrique offre un immense avantage sur les considérations directes de la Géométrie ou du raisonnement, quoique les résultats n'y apparaissent alors que dans un état de complication qui les rend peu applicables aux besoins de la pratique.

Du mouvement oscillatoire des prismes dont la charge permanente est soumise à l'action d'un choc vif.

323. Des premiers effets d'un choc vif, ou de la vitesse initiale qui en résulte. — Dans les n*** 312 et 318, nous avons examiné l'influence qui peut être due à la force vive acquise, par la charge, lors des premiers allongements du prisme, ou à celle qu'elle possède déjà à l'instant oii elle vient reposer sur

son extrémité inférieure ; ici nous supposerons que la charge Q, toujours censée Qxement attachée au prisme, reçoive ellemême un choc à l'instant où celui-ci est parvenu, sous l'action de cette charge et après un nombre d'oscillations plus ou moins grand (316), à l'état de stabilité pour lequel son allongement permanent est mesuré (312) par la quantité /' =j-^^

ou, plus rigoureusement, si Ton veut avoir égard (310) à l'effet initial de son propre poids /?L = ADL, par la quantité

AE 2 AE

qui différera toujours extrêmement peu de la première, dans les cas d'application.

Cela posé, nous nommerons Q' le poids, et M' =: — la

g masse du corps étranger, qui sera censé venir choquer le premier, ou Q, avec la vitesse V, qu'il aurait acquise, par exemple, en tombant verticalement de la hauteur H', le long du prisme qu'il ne ferait simplement qu'embrasser, sans le toucher, dans

sa chute, de sorte qu'on aurait V = v^2gH'. La question principale consiste évidemment encore à rechercher, comme aux n"* 312 et 318, le plus grand allongement subi par ce prisme à l'instant où le mouvement de descente de Q et Q' a cessé, et où la pression se trouve réduite à celle de Q + Q'; mais, pour le découvrir, il ne suffirait pas ici d'égaler simplement la demi-force vive \ M'V", ou Q'H' à la quantité de travail qui est développée, dans le même sens, par les poids Q, Q', et, en sens contraire, par la résistance élastique AEi, du prisme, durant la première période de l'allongement; car, par suite de la réaction qui a lieu à l'instant du choc, les masses M et M' subissent, de leur côté, une compression, une déformation qui entraîne, avec elle, une perte plus ou moins grande de travail ou de force vive ( 161 ) qu'il faut, au préalable, savoir évaluer. Or il est clair que cette déformation, cette perte est plus faible que celle qui aurait lieu si la tige de suspension était parfaitement inextensible, et un peu plus forte que celle qui surviendrait si le corps Q, quoique primitivement en

45o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

repos, était entièrement libre de se mouvoir sous les efforts de réaction que lui fait éprouver Q', animé de la vitesse V ; et ceci offre un nouvel exemple de Timpossibilité où Ton se trouve de déterminer les véritables circonstances du choc, quand on ignore la loi de la compressibilité des corps qui y sont soumis.

Pour en apercevoir le motif, on reprendra les raisonnements des n®» 154 et suivants, et l'on remarquera que, si Ton nomme i^ et i'' les degrés de vitesse, perdu par le premier et gagné par le second, pendant la durée du temps infiniment

petit ty on n'a plus ici simplement F = M- = M' y et partant Mt/ = lVr/ pour chacun des instants de la compression, mais

bien

le produit AE/ représentant toujours (236), Teffort de réaction opposé, dans tout Tintervalle où l'élasticité demeure parfaite, par la tige de suspension dont on néglige ici le poids et l'inertie des parties, comme étant insensibles par rapport à ceux des masses M et M'.

En effet, si les poids Q et Q' ainsi que les efforts AEi opposés par cette tige, étaient comparables à l'intensité de la force de réaction F, ce qui arriverait pour des corps très*compressibles, il faudrait bien avoir égard à leur influence qui consiste à augmenter ou à diminuer celte intensité, suivant le sens indiqué par les signes -h et — , dont ils sont précédés dans les équations ci-dessus. Or, comme la première donne pour F

la valeur Q' -h M' — ? on peut bien remplacer celle valeur dans la deuxième, ce qui donne simplement

Q' + M'--i-Q — AEi = M-,

ou

(Q H- Q' — AEi ) / = Mt' — M't'' ;

mais cette nouvelle égalité ne peut pas servir immédiatement à faire trouver les quantités de mouvement perdues et gagnées

DKS RÉSlSTANeES. 4^1

à chacun des instants du choc, ni par conséquent celle qui a lieu après sa durée, comme cela arriverait dans le cas déjà cité des corps entièrement libres.

Supposant, au contraire, que la résistance à la compression, des masses M et M', qui subissent directement l'action du choc, soit très-grande par rapport à leurs poids P et Q et à la résistance AE/ de la tige, ou, ce qui revient au même, supposant que leurs impressions réciproques, pendant le choc, soient comme insensibles par rapport aux allongements /= ÎL, éprouvés par cette tige, alors on retombera dans la condition F = Mf = MV, en vertu de laquelle M et M' prennent (155) la vitesse commune

avant que la tige soit allongée d'une manière appréciable; par suite, elles agiront, sur celte même tige, avec une quantité de mouvement (M-hM'jVi =rM'V', ou une force vive initiale mesurée. simplement par

(M -i-MM V — — M'V'= — M' V'2 — ^ ,