MV-''-MV

correspondante au trapèze dd'ff. Or MV'*et MV' sont les forces vives possédées par le corps au commencement et à la fin de l'intervalle de temps pour lequel on considère le travail de la force; M V*— MV* est donc V accroissement de la force vive, la force vive communiquée ou acquise dans cet intervalle; de sorte que le principe ci-dessus peut s'appliquer aussi à deux instants quelconques du mouvement d'un corps; c'est-à-dire que :

La quantité de travail dépensée par une force motrice quel-conque qui ag^i/ (130), dans le sens même du mouvement d'un corps librCy pour accélérer ce mouvement y est mesurée par la moitié de la force vive acquise entre les instants où l'on considère le travail.

C'est évidemment aussi la mesure même du travail consommé par rinertie du corps (130).

137. Cas où la force motrice est opposée au mouvement. — Ce qui précède suppose que la vitesse du corps augmente sans cesse; s'il en était autrement, ce serait un signe que la force motrice serait opposée au mouvement anlérieuremeni acquis ou serait retardatrice ; de sorte qu'elle agirait alors comme une véritable résistance (58). Du reste, tous nos raisonnements demeureraient encore applicables, et Ton trou-

verait que, pour un certain intervalle de temps pendant lequel la vitesse V, antérieurement acquise, aurait été réduite à V par exemple, la quantité de travail développée par la résistance, toujours égale et directement contraire à la force d'inertie devenue puissance; serait égale à

i(MV"»-MV'»),

ou à la moitié de la force vive qui a été perdue ou détruite.

Ainsi la diminution de la force vive d'un corps entre deux .instants suppose qu'une quantité de travail égale à la moitié de cette diminution a été développée par l'inertie de ce corps contre des obstacles ou des résistances, comme son augmen* talion suppose, de la part d'une puissance, une consommation de travail égale à la moitié de celte augmentation; principe qu'on peut énoncer généralement ainsi :

La perte ou le gain de force vive éprouvé , entre deux instants quelconques^ par un corps dont le mouvement varie, est le double de la quantité de travail développée dans cet intervalle par l'inertie du corps ou par la force motrice égale et directement contraire.

138- Transformation du travail en force vive et réciproquement. — On voit clairement maintenant comment, en général, l'inertie de la matière sert à transformer le travail en force vive et la force vive en travail ; ou, pour nous exprimer comme nous l'avons fait précédemment (12^), à l'occasion du mouvement vertical des corps pesants, on voit que Tinerlie sert à emmagasiner le travail des moteurs en le convertissant en force vive, et à le restituer intégralement ensuite, lorsque cette force vive vient à être détruite contre des résistances.

Les arts industriels nous offrent une infinité de circonstances où ces transformations 'successives s'opèrent par le moyen des machines, des outils, etc. — L'eau renfermée dans le réservoir d'un moulin représente un certain travail dispo^ nible, qui se change en force vive quand on ouvre la vanne de retenue; à son tour, la force vive acquise par celte eau, en vertu de sa chute du réservoir, se change en une certaine quantiléde travail quand elle agit contre la roue du moulin.

l34 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE,

et celle-ci transmet ce iravail^aux meules, etc., qui confectionnent Touvrage. — L'air refoulé dans le réservoir d'un fusil à vent représente la valeur mécanique d'un certain travail dépensé par un moteur pour l'y emprisonner (96); en lâchant la détente, Tair chasse la balle et convertit une portion plus ou moins grande de ce travail en force vive : si la balle est lancée directement (95) contre un ressort ou corps élastique quelconque retenu par un obstacle, ce ressort se bande, se comprime en opposant au mouvement de la balle une résistance égale et précisément contraire à son inertie, résistance .qui, allant sans cesse en croissant (95), tinit bientôt par la réduire au repos, circQnstance qui arrive quand le travail de la résistance a atteint une valeur égale à la moitié de la force vive que possédait la balle.

^Supposons que le ressort soit maintenu par un moyen quelconque à la position qui correspond à cet instant, la force vive de la balle s'y trouvera emmagasinée ou convertie en quantité de travail disponible, de la même manière que s'il avait été bandé par une force motrice ordinaire (96); mais, si on le laisse réagir immédiatement contre la balle, celle-ci sera lancée, en sens contraire, avec une vitesse telle, que la force vive qu'elle acquerra sera le double de la quantité de travail qui a été développée, sur elle, pendant la détente du ressort (134).

139. Restitution et consommation de la force vive dans le choc des corps, — Si, dans l'exemple qui précède, il était permis de supposer que la balle quittât le ressort à l'instaDt même où celui-ci est revenu au repos et à sa position naturelle, et si d'ailleurs (95 et 96) ce ressort conservait toute son énergie dans la détente, la vitesse et la force vive restituées à la balle seraient précisément égales à celles que le fusil à vent lui avait d'abord imprimées dans une direction contraire. Ainsi, dans l'exemple dont il s'agit, le travail aurait été alternativement converti en force vive et la force vive en travail sans qu'il y ait eu rien de perdu ni de gagné.

Dans la réalité (96), il est peu de corps qui jouissent d'une élasticité parfaite sous de grandes compressions, et l'hypothèse que la balle quitte le ressort à l'instant même où il a

PRINCIPES FONDAMENTAUX. l35

repris son élat ordinaire est purement gratuite ; car il est, au contraire, évident, qu'en se séparant, ils auront acquis, en leur point de contact, une vitesse commune en vertu de laquelle une partie du ressort continuera à cheminer, comme la balle, jusqu'à ce que sa tension le ramène en arrière pour lui faire exécuter une série d'oscillations de plus en plus faibles (19), et dans lesquelles les forces d'attraction et de répulsion des molécules (63) joueront, par rapport à leur force d'inertie, absolument le même rôle que la réaction totale du ressort par rapport à l'inertie de la balle. Une portion plus ou moins grande de la force vive primitive de cette balle aura donc été employée, soit à détruire les forces moléculaires du ressort, soit à lui imprimer un mouvement oscillatoire propre. Or, cette portion étant comparable à la quantité de travail même développée dans la réaction du ressort, ou à la force vive transmise à la balle, on voit que, dans le choc des corps élastiques animés d'une grande vitesse et ayant une grande masse ou un grand poids, il peut se faire, dans un temps fort court, une perte de force vive ou de travail très-appréciable, et voilà pourquoi, je le répète (98), il est surtout essentiel d'éviter les chocs et secousses dans les machines de l'industrie. Au surplus, nous reviendrons sur ce sujet dans la partie des Applications y et nous entrerons dans des développements qui ne seraient pas ici à leur place et qui troubleraient la marche naturelle des idées.

140. Réflexions nouvelles sur V impossibilité d'augmenter le travail mécanique. — On voit, par ce qui précède, qu'il est aussi impossible de se servir de la force de ressort que de celle de la gravité (120) pour imprimer à un corps une vitesse plus grande que celle qu'il possédait primitivement, et qu'au contraire, cette vitesse restituée sera toujours moindre que la vitesse primitive. Or il en serait de même de tous les agents matériels qu'on pourrait employer, dans les arts, pour convertir le travail d'une puissance en force vive, puis cette force vive en travail; en un mot, la force vive acquise sera tout au plus égale (136 et 137) au double du travail dépensé, ou le travail produit tout au plus égal à la moitié de la force vive consommée. Par conséquent, loin de gagner, on ne peut que

l36 MtCàMIQUB INDUSTRIELLE.

perdre en se servant de la force d'inertie des corps pour opérer un travail mécanique quelconque.

Il n'en est pas moins vrai de dire (138) que la force vive actuelle d'un corps représente intégralement une quantité de travail égale à la moitié de sa valeur numérique, ou que la force d'inertie restitue en entier, comme la pesanteur (102), le travail primitivement dépensé pour la mettre enjeu; car, dans le cas ci-dessus, par exemple, d'une balle qui vient clioquer un ressort retenu contre un obstacle, la perte de force vive éprouvée par cette balle a été réellement employée à vaincre certaines résistances moléculaires, à imprimer certains mouvements qui représentent une quantité de travail* égale à la moitié de sa valeur; seulement il arrive encore ici que ces résistances, ces mouvements sont étrangers à l'effet qu'il s'agit de produire et que Ton considère comme constituant seuls l'effet utile (104 et suiv.).

IW. Examen particulier du mouvement périodique. — Nous venons de montrer, par des exemples, comment le travail mécanique peut être transformé alternativement en force vive, et la force vive en travail par le moyen des ressorts ou des machines qui les emmagasinent et les restituent successivement. Ces transformations se présentent, en général, toutes les fois que le mouvement d'un corps, sollicité par une puiissance motrice, est, par sa liaison avec d'autres corps, contraint de varier à chaque instant, de manière à devenir taiTtôt accéléré et tantôt retardé : genre de mouvement que nous avons déjà examiné et défini en lui-même ( 49 ), et qui se rencontre spécialement dans les pièces des machines qui oscillent, vont et viennent entre deux positions extrêmes qu'elles ne peuvent dépasser, et pour lesquelles leur vitesse devient forcément nulle en changeant de direction. Le mouvement des scies et des rabots, celui des limes, des pistons de pompe et de la plupart des outils employés dans les arts manuels sont évidemment dans ce cas.

Or, lorsque la vitesse du corps augmente, ce qui arrive nécessairement au commencement de chaque période ou alter^ nation^ c'est un signe (136) qu'une certaine portion du travail moteur opère dans le sens du mouvement pour accroître la

PRIIIGIPBS FOlfDAMBNTAUZ, 187

force vive d'une quantité égale au double de cette portion^ le surplus du travail étant absorbé par les autres résistances. Lorsque, au contraire, la vitesse du corps vient à diminuer vers la fin de chaque période, c'est un signe (137) qu'une certaine portion de la force vive précédemment acquise a été dépensée, contre les mêmes résistances, pour augmenter le travail du moteur d'une quantité égale à la moitié de cette portion ; et ainsi de suite selon le nombre des alternatives du mouvement.

Comment se comporte l'inertie dans ce mouvement. — On voit, d'après cela, que, quand la vitesse ou la force vive d'un corps oscille entre certaines limites, c'est une preuve que rinertie absorbe et restitue successivement des portions du travail de la puissance, qui sont égales pour tous les instants où la vitesse est redevenue la même ; c'est-à-dire que, dans Fintervalle de deux quelconques de ces instants, il n'y a eu rien de perdu ni de gagné, et que la puissance doit être considérée comme ayant été entièrement employée à vaincre les résistances autres que l'inertie. Mais, si, dans un intervalle de temps quelconque, la vitesse, après avoir subi également des alternatives de grandeur, ne redevient pas ce qu'elle était d'abord, la moitié de la différence des forces vives qui répondent à la fin et au commencement de cet intervalle mesure (136 et 137) la quantité de travail qui a été réellement consommée ovi restituée par l'inertie du corps. Par conséquent, si ce corps était parti du repos, le travail absorbé par l'inertie, à un instant quelconque, serait mesuré seulement par la moitié de la force acquise à cet instant.

142. Démonstration des mêmes choses par la Géométrie. — On remarquera que tous les raisonnements qui précèdent peuvent être reproduits directement à l'aide de la^g-. 34, PL /, ci-dessus et des considérations du n® 136. Car, lorsque la vitesse du corps diminue après avoir augmenté pendant un certain temps, il en est de même de l'abscisse et de l'ordonnée de la droite O/^, qui représentent cette vitesse: ainsi l'ordonnée jQT' par exemple, après s'être éloignée de l'origine jusqu'à un certain point, en balayant des aires triangulaires Oaa', 0*6%..., OJf', proportionnelles à la quantité de travail absorbée

l38 HÉGANIQUB INDUSTRIELLE.

par l'inertie, ou à la moitié de la force vive acquise par le corps, se rapproche ensuite de celte même origine, en soustrayant, de la plus grande aire ou du plus grand triangle Oj^', des surfaces trapézoidesjQTVe, ee'dd',. . . qui diminuent, de plus en plus, Taire de ce triangle relatif à la plus grande force vive ; de sorte que, l'ordonnée étant arrivée au point 0, qui correspond à une vitesse nulle, le travail absorbé par Vinertie sera également nul. Si ensuite la vitesse augmente de nouveau, le travail consommé par l'inertie croîtra, comme dans la première période, de quantités mesurées, à chaque instant, par Taire du triangle qui correspond à la vitesse acquise à cet instant; et ainsi de suite alternativement.

Enfin, si Ton considère le mouvement entre deux instants quelconques pour lesquels la vitesse serait 66' et ee', par exemple, il est bien clair encore que le travail absorbé ou développé par Tineilie aura pour mesure Taire du trapèze bb'e'e formé sur ces vitesses et sur la diminution ou l'accroissement be qui leur correspond.

143. Exemples particuliers relatifs au mouvement périodique. — Une voiture qui chemine avec une vitesse tantôt plus grande^ tantôt plus petite , offre l'exemple de ce que nous venons de dire: d'abord les chevaux dépensent une certaine quantité de travail pour la mettre en mouvement au pas ou au trot ; puis, lorsque la vitesse de la voiture vient à ralentir par suite de l'augmentation des résistances ou de la diminution de l'effort des chevaux, cette même inertie développe, contre ces résistances, une portion du travail qu'elle avait d'abord absorbé, et qui est égale'à la moitié de la diminution qu'a éprouvée la force vive. Si Ton suppose que les choses continuent ainsi alternativement, et qu'à la fin la voiture soit remise au repos, la quantité de travail restituée par Tinertie se trouvera précisément être égale à la quantité de travail même qu'elle a consommée d'abord ; de sorte qu'en réalité, il n'y aura rien eu de perdu. Il est entendu d'ailleurs que les diminutions de vitesse éprouvées par la voiture ne proviennent pas du fait même des chevaux, comme cela arrive quelquefois dans les descentes rapides où on les fait retenir, ni de ce qu'on aurait enrayé les roues, puisqu'alors ces chevaux

PRINCIPES FONDAMENTAUX. iSq

OU Venrayure auraient contribué à augmenter les véritables résistances, et à consommer la force vive, d'abord acquise. Bans utilité immédiate pour l'objet du transport.

Lorsqu'un moteur est employé à élever verticalement des fardeaux, il prend le corps au repos; de là une consommation de travail pour vaincre l'inertie de ce corps, et l'amener à un certain état de mouvement; arrivé à la hauteur voulue, le moteur ralentit sa propre vitesse pour remettre de nouveau le corps au repos. Dans ce ralentissement, la force vive acquise par le corps est employée à détruire une portion de l'effet de la pesanteur sur ce même corps, ou plutôt elle sert a l'élever verticalement d'une certaine hauteur; c'est ce qu'on aperçoit très-bien, par exemple, âans les mouvements d'ascension tant soit peu rapides; ainsi donc l'inertie a réellement rendu ce qu'elle avait absorbé primitivement.

Les mêmes réflexions peuvent être appliquées encore au travail du limeur, du scieur, etc., puisqu'à la fin de chaque oscillation de l'outil, la vitesse devient nulle comme elle rétait au commencement.

On remarquera que, dans tous ces exemples, le mouvement est censé naître ou s'éteindre par des degrés insensibles, c'est-à-dire lentement et sans secousses, de sorte que les pertes de force vive provenant de la réaction mutuelle des parties qui communiquent ou reçoivent ce mouvement (95 et suiv.) sont réellement inappréciables. Mais il n'en serait pas ainsi du cas où, la vitesse changeant brusquement à la fin et au commencement de chaque période, il y aurait choc entre corps plus ou moins élastiques, ainsi qu'il arrive dans certaines dispositions vicieuses des pièces qui entrent dans la composition des machines; et l'on ne doit pas oublier qu'alors une portion notable (139) de la force vive est employée inutilement à détruire la force d'agrégation des molécules, ou à leur imprimer des mouvements d'oscillation et de vibration.

144. Du rôle que joue l'inertie dans divers procédés des aris. — Afin de donner une idée plus complète encore du rôle que joue l'inertie des corps dans les travaux industriels, et de montrer comment elle peut servir à expliquer une infinité de procédés des arts, nous allons ajouter quel-

l40 MÉCANIQUE INDUSTaiBLLB.

ques exemples à tous ceux qui ont été rapportés jusqu'à celte heure.

Pour faire sortir le ciseau d'une varlope, l'ouvrier frappe le bois sur le derrière; en imprimant ainsi brusquement de la vitesse à ce bois, le ciseau et son coin résistent par leur inertie, ou ne cèdent qu'en partie au mouvement. — En frap* pant brusquement sur la douve qui porte la bonde d'un tonneau, on imprime pareillement à cette douve un mouvement très-rapide auquel résiste la bonde comme si elle était retenue fortement par sa tète; en conséquence, elle est séparée de la douve, en vertu de sa seule inertie, avec un effort supérieur à celui qu'on pourrait obtenir par des moyens plus directs et -cependant très-puissants : c'est à peu près de la même manière encore que les clous, les boulons d'assemblage, etc., sont arrachés par l'effet des chocs et des secousses. — On emmanche souvent un outil, par exemple un marteau, en frappant la queue du manche dans le sens de sa longueur; ce manche chemine, et l'inertie de la matière, qui tend à maintenir le marteau au repos, résiste au mouvement imprimé comme si ce marteau était réellement appuyé contre un obstacle fixe.

Voici des exemples d'une espèce toute différente, de la manière dont l'inertie des corps sert à changer le travail en force vive et la force vive en travail. — La toupie^ lancée à terre, tourne et chemine en vertu de la force vive qui y a été primitivement accumulée par le déroulement accéléré de la ficelle, déroulement produit par le travail de la main qui tend celte ficelle tout en lançant la toupie. — Le diable est un autre exemple du moyen qu'on peut employer pour accumuler, de plus en plus, la force vive dans un corps mobile autour d'un axe horizontal. — Le jouet que les enfants nomment tourniquet reçoit d'abord sa vitesse par le déroulement du fil enveloppé autour de son axe et tiré rapidement avec la main; en vertu de l'inertie du volant placé sur cet axe, le mouvement continue et sert à enrouler le fil, en sens contraire, en le tirant avec un effort semblable à celui qu'a d'abord exercé la main : ce moyen peut même être employé dans les grandes machines pour transformer le travail des moteurs en force vive, puis la force vive en travail ordinaire. — On se

PRINCIPBS FONDAMENTAUX. j/^I

sert avec avantage, dans les ans, du tour à pédale et à ressort pour les pièces légères el de petites dimensions, parce que rinertîe exerce alors peu d'influence malgré les variations alternatives de la vitesse ; mais l'emploi de ce tour aurait des inconvénients fort graves pour les grosses pièces et surtout pour les pièces de métal : c'est ce qui fait qu'alors on se sert du tour à mouvement de rotation continu, qui chemine toujours dans le même sens.

145. Observations sur ces exemples. — Nous engageons le lecteur à méditer attentivement ces divers exemples, qye nous ne faisons en quelque sorte qu'indiquer, et à en agir de même à l'égard de tous ceux que la pratique des arts pourrait offrir à ses méditations : ils serviront à lui faire bien concevoir comment l'inertie de la matière se comporte, tantôt comme une simple résistance, tantôt comme une véritable puissance, absolument de même que la pesanteur des corps et les ressorts élastiques (95 et 102).

Au surplus, nos derniers exemples concernent principalement l'inertie des pièces qui ont un mouvement de rotation, et tout ce que nous avons dit jusqu'à présent de la force vive est uniquement (129 et suiv.) relatif au mouvement de transport des corps dont les diverses parties sont animées de la même vitesse. Mais nous verrons plus tard que les principes qui précèdent sur la force vive et le travail mécanique peuvent s'étendre à tous les cas, et nous apprendrons même à calculer rigoureusement la valeur de ce travail, de cette force vive, quel que soit le mouvement d'un corps ou d'une machine. Pour le moment, il nous sufTira de donner une série d'applications numériques relatives au mouvement du transport parallèle, afin de faire apprécier, à sa juste valeur, l'influence de l'inertie dans les travaux industriels, et de montrer l'exactitude, l'utilité des principes de la Mécanique dans les questions variées que présente la pratique des divers arts.

Ces applications doivent être considérées, par nos lecteurs, comme une partie essentielle de ce Cours et comme un exercice indispensable pour bien saisir le but et l'esprit des vérités fondamentales de la science. Il s'en présentera, par la suite, un grand nombre d'autres très-importantes; mais, avant de les

exposer, il sera nécessaire d'entrer plus avant dans l'étude des lois du mouvement et de l'action des forces; car dans toute cette première Partie, nous supposons constamment les choses ramenées à cet état final de simplicité où des forces, quoique variables à chaque instant en direction et en intensité, exercent néanmoins leurs actions réciproques suivant une droite qui est unique pour ce même instant, et qui se confond avec la direction propre du chemin décrit par le point d'application où l'on suppose, en quelque sorte, ces actions et le mouvement des corps concentrés. Les principes subséquents montreront d'ailleurs comment cette supposition, jusque-là gratuite, est rigoureusement permise.

APPLICATIONS, ETC. l/^3