MV

Ainsi, par exemple, le volume du liquide entraîné étant (380) les o,G environ de celui du projectile, et la densité de ce dernier étant supposée (35) 7,3 fois environ celle de l'eau, on aura M : M':; 7,3 : o, G X i et partant

de sorte que la perte de force vive serait le -^ de la force vive initiale du projectile, et la vitesse qu'il conserve avec la proue fluide les j-J de celle qu'il possédait avant le choc. Dans la réalité, la perte de vitesse et de force vive doivent être plus grandes, à cause de la réaction des masses environnantes et du rejaillissement brusque du liquide, qui aurait lieu, en sens contraire du mouvement, dans le cas où le projectile serait introduit dans le milieu, normalement à sa surface libre ou de niveau.

6&2t HfiCANIQUE INDUSTBIBLLE.

Ces dernières expériences ont» de plus, donné lieu à diverses remarques fori curieuses sur la nature des mouvements excûlés, soit à la surface, soit à l'intérieur du milieu, dont l'incompressibilité presque parfaite a, ici, occasionné des effets de réaction très-puissants, sur les parois solides et libres du bassin. En ce qui concerne particulièrement les effets subis par les projectiles, les Auteurs ont trouvé qu'à la vitesse de 3oo à 4oo mètres, par seconde, pour les obus creux de 12, et à celle de 25o mètres environ pour les obus de 6 pouces, ils étaient presque tous brisés dans leur choc contre le liquide. Enfin ces expériences ont montré clairement l'influence de la masse liquide qui accompagne les projectiles dans leur mouvement, ou plutôt celle du courant postérieur qui constitue leur sillage : ce courant les a entraînés bien au delà de la position qu'ils eussent naturellement atteinte, et, parfois, il les faisait dévier latéralement et dans une direction presque perpendiculaire à celle de la vitesse initiale, vers la fin de leur course.

Lois de la résistance de l'air à de grandes vitesses,

428. Recherches de Robins et de Hutton. — Les résultats jusqu'ici exposés pour l'air, ne concernent que de médiocres vitesses, comprises depuis i jusqu'à 7 ou 8 mètres, par seconde; mais nous avons averti (389) que la loi de la résistance changeait, d'une manière sensible, pour des vitesses beaucoup plus grandes, telles que celles des projectiles sphériques de l'artillerie. Robins et, surtout, son continuateur, Hutton ont entrepris des expériences suivies dans la vue de découvrir cette loi. D'après ce dernier Auteur, les valeurs du coefficient le de la formule

seraient données approximativement, par cette Table :

aS"»

Soo"

5oo

AOO

Hutton a aussi essayé de représenter le résuliat de ses expériences par une formule empirique, mais cette formule, de même que les nombres ci-dessus, a été obtenue à l'aide de méthodes d'interpolation qui laissent beaucoup à désirer, et dont les résultats ne s'accordent pas exactement avec les effets naturels, surtout lors des faibles et des grandes vitesses. Pour celles-ci, comme l'a remarqué M. Piobert, le coefficient k a principalement été déterminé par les plus faibles des résultats de l'expérience et non par leur moyenne, de sorte que l'existence du maximum de k n'est rien moins que démontrée. Quant aux petites vitesses, on peut juger, par ce qui précède (426), que les valeurs de ky indiquées au tableau ci-dessus, par cela même qu'elles okit été obtenues au moyen d'une machine de rotation, sont sensiblement trop fortes quand il s'agit du mouvement reciiligne. Enfin ces données ne mettent point en mesure de tenir compte de l'influence qui, d'après les expériences assez peu certaines de Hutton ( 426), pourrait être due à l'agrandissement du diamètre des projectiles.

Sous ces différents points de vue, et pour l'avantage des personnes qui s'occupent de balistique, nous croyons utile de mentionner les résultats des recherches spéciales entreprises par MM. Piobert et Duchemin sur cette matière, résultats qui se trouvent consignés dans les Mémoires qu'ils ont présentés au concours de i836, pour le grand Prix de Mathématiques de l'Académie des Sciences.

429. Recherches de M. Piobert, — La discussion approndie et comparative des résultats fournis directement par les expériences de Robins et de Hutton, sur les projectiles d'un petit calibre, lancés dans l'air à de grandes vitesses, et parcelles de Newton, Désaguilliers, Borda, sur les sphères d'un plus grand diamètre, mues circulairement à de petites vitesses, cette discussion a conduit M. Piobert à représenter leur ensemble avec une approximation très-suffisante pour les applications pratiques, parla formule

R z=. o,oo3A + A(i 4- 0,0017V) V VOfOi^îA 4- 0,001:21,

sous la température et la pression atmosphérique ordinaires ou moyennes, pour lesquelles la densité p de l'air est sup*

664 MÉCANIQ0B INDUSTRIELLE.

posée de —7 X i ooo^«, ou i*S 1 76 environ, V représentant toujours la vitesse par seconde, et A la surface d*un grand cercle du projectile, évaluées en mètres linéaires ou carrés.

Le premier terme, le terme indépendant de la vitesse dans cette formule, proviendrait essentiellement du frottement ou de Tadhérence du mobile, et de Tair; il varierait essentiellement avec la nature de la substance et le degré de poli de ce

mobile ; le facteur ^/o,oi2A 4- 0,001-21, également indépendant de la vitesse, serait relatif à l'accroissement de là résistance, par rapport à retendue des surfaces frottantes (&26); enOn le facteur 1 + 0,0017V devrait, conformément à ce qui a été exposé au n*» 389, provenir spécialement de l'accroissement de densité subi par le fluide, en avant dii boulet.

Nous né nous permettrons qu'une seule remarque sur cette formule; c'est qu'en y faisant entrer la considération des résultats de Borda et de Hutton, relatifs à la résistance dans les mouvements circulaires, il est à craindre qu'elle n'attribue une influence, tantôt trop grande et tantôt trop faible, aux dimensions transversales des projectiles. L'Auteur, au surplus, a réconnu par lui-même, que cette formule donnait des résultats un peu trop forts pour les plus gros calibres de l'artillerie et les petites vitesses; il pense qu'en attendant la (in des nouvelles expériences entreprises, à Metz, par la Commission du tir des bouches à feu, on pourra s'en servir avantageusement pour les calibres en usage, toutes les fois qu'il s'agira de grandes vitesses initiales.

MO. Recherches de M. Duchemin, — Cet officier supérieur, qui n'admet nullement, comme on l'a vu (391), l'influence des dimensions absolues des projectiles, est arrivé, à l'aide de considérations fondées en partie sur le raisonnement, en partie sur les données de l'expérience, à la formule

applicable également aux projectiles sphériques de l'artillerie, et dans laquelle /r, A, p, Y ont les significations que nous leur avons constamment attribuées, et \' = 4'6"*>34 représente la vitesse de rentrée .de l'air dans le vide absolu, pour les circon-

DES RfiSISTANGES. 665

Stances atmosphériques ordinaires (Note du n" 389). Mais ce

résultat, dans lequel le facteur ( i H- ^7) porte principalement

sur la densité p de Tair, n'aurait lieu que pour les vitesses V inférieures à V'; et, passé ce terme, il conviendrait de remplacer ce facteur variable par le nombre constant 2, attendu que M. Duchemin suppose, avec Robins, £uler, Hutton et Lombard, que la densité du fluide cesse elle-même de croître à l'instant dont il s'agit. Les résultats ci-dessus de Hutton semblent Indiquer, en eflfet, qu'aux environs de cette même vitesse V'=:4'6",34, les valeurs du coefficient A* atteignent leur limite supérieure; mais, en admettant l'existence de cette limite, qui n'est nullement démontrée comme on l'a vu, il répugne mathématiquement de supposer que les valeurs de k demeurent ensuite constantes au lieu de décroître pour des vitesses de plus en plus grandes, conformément aux hypothèses de Hutton; il est évident que la continuité ne peut être ainsi rompue, et que, sous ce point de vue tout au moins, l'hypothèse de M. Duchemin demanderait à être soumise à des vérifications ultérieures, aussi bien que la formule ci-dessus de M. Pioberi, où le facteur (14- 0,0017 V) est censé croître indéfiniment avec la vitesse du projectile. Les expériences délicates et précises commencées depuis plusieurs années, à Metz, sous la direction spéciale de ce savant officier et de M. Morin, expériences continuées avec la même persévérance et le même succès par M. Didion, aidé principalement de MM. Ferronnier, Boileau et Virlet, ces expériences viendront bientôt, sans doute, dissiper toutes les incertitudes relatives à la véritable loi de la résistance des projectiles dans les mouvements rapides (*).

(*) M. le Général Didion (Traité de Balistique; Paris, 1860), en interpolant les résultats obtenus à Metz par la Commission des principes du tir (1839 à 1840), a été conduit à la formule suivante, pour des vitesses comprises entre

3oo et 5oo mètres :

R = A X 0,037 V» (i -h o»oo33 V}.

M. Hélie ( Traité de Balistique expérimentale) propose les deux formes sui>

▼aotes :

R= A X 0,039V» (n-o,oooooio3V*) et

s R = A Xo, 00217 V^;

666 MÉCANIQUE INDUSTRIBLLE.

Questions concernant in résistance et le mouvement uniformes des corps dans l'eau et dans l'air,

431. Préparation de la formule, calcul de la densité des gaz. — Les applications les plus ordinaires des règles du n^ 382 concernent Tair et Teau; il est donc nécessaire de déterminer d*abord la valeur de la densité p qui leur correspond. Nous avons vu (34) que, pour Teau, on a sensiblement |7 = I ooo^s dans les cas ordinaires; quanl au poids du mètre cube d*aîr, il varie (40) avec la température et la pression barométrique, et il devient nécessaire de le calculer dans chaque cas particulier, comme il suit.

Supposons que la température actuelle de Tair soit de 12 degrés centigrades, et que la colonne de mercure qui, dans le baromètre, mesure la tension de cet air, suit de 76 centimètres, ce qui est, à peu près, la température et la pression moyennes qui répondent à Tautomne et au printemps dans notre climat. Suivant la Table du n<» 40, la densité ou le poids du mètre cube d'air à zéro de température et 76 centimètres de pression est de i^^aggi; cherchant donc, d'après la loi de Mariotte (16 et 87), et celle de Gay-Lussac (26), quel volume occuperait cette même quantité d'air à la pression et à la température ci-dessus, nous en conclurons aisément sa densité, son poids sous l'unité de volume. Supposons dabord que la pression o'»,76 restant la même, la température s'élève

d'après les résultats, de nouvelles expériences, faites par la Conamission do tir (18Ô6 à 1837), ^ l'ttide de l'appareil électro-balistique, on aurait

R = A xo,oooi4i6 V".

Des recherches expérimentales, entreprises de iSSg à 1861 par la Commission de la Marine, sur des boulets allongés, ont conduit ii la Torniule R = AK\ * A représentant la section de la partie cylindrique; le coefficient K Tarit on peu avec la forme du projectile {Traité de Balistique de M. Hélie).

M. Le l^ou\enQé {Études de Balistique expérimentale; Bruxelles, 1868) propose la formule

R = A xo, 00006468 V«.

M. Magnus (Berlin, i832), M. Ruteky (Vienne, 1861), et le Général russe Magesski {Revue technologique militaire; i865) ont étudié l'influence de !• résistance de l'air sur la déviation des projectiles. (K.)

DES BËBIBTANGES. 667

à 12 degrés, le volume, à zéro, deviendra (36), puisqu'ici le gaz est libre de se délendre sous celle pression,

1»'-»- la X o"",oo375 = i-<'+o'«,o45 = i™,o45.

Cberchanl, de même, ce que ce dernier volume devieni â la pression de o", ^5, on aura, d'après la première des lois cilées, la proporlton

■}5' : 76' :: 1-S045 : x = i*So45 x K = i-'^oSg.

Uais ce volume d'air pèse i^Saggi; donc i mèire cube d'air pareil pèsera — '—^-^i^',iii6^, el

c'est là aussi la densilé de l'air à la lempérai

ei sous une pression barométrique de 78 c

de l'eau élani 1000 kiogrammes, on voil qu

environ les -'-^'^^ 0,001227, **'' tir '^^ '^

qu'à zéro ei sous 76 cenlimèlres de pression elle en esi les

-!\'i't =tÎt à très-peu près, d'uprès le résultat des pesées

rigoureuses de MM. Biol et Arago.

La plupart des Auieurs qui se sont occupés de balistique, ont pris la densité moyenne de l'air égale à 777 de celle de l'eau, comme on peut le voir par l'exemple du n" '>29; ce qui suppose la température un peu plus forte et la tension barométrique un peu moindre que 12 degrés et 75 centimètres.

En général, si nous nommons n le nombre des degrés centigrades qui indiquent, à un certain instant, la température de l'air, et h la hauteur barométrique, en cenlimèlres, qui répond à sa tension, on trouvera, en raisonnant absolument comme on vient de le Taire dans un cas particulier, que la densité p, ou le poids du mètre cube de cet air, aura pour valeur la quantité

formule qui donnera de suite celte densité sans passer par la série des raisonnements ci-dessus, et qui permettra aussi de calculer la densité d'un autre gaz quelconque, en y rempla-

çanl le poids i*'«,2'99i de Tair à zéro ei 75 cenlimèlres de pression, par celui qui, dans la Table du n° U), répond au gaz dont il s'agit. Il esl d'ailleurs entendu, relativement aux vapeurs (3 et 5), que leur quantité est supposée rester la même (16); c'est-à-dire, que cette quantité n'est ni augmentée par la vaporisation d'une nouvelle portion de liquide, ni diminuée par la condensation d'une portion même de la vapeur.

D'après ces données» la formule générale du n** 382, qui sert à calculer la résistance uniforme des fluides, deviendra pour l'eau ordinaire, V étant toujours la vitesse relative et H la hauteur qui correspond,

R = 1 000 A- AH = ^^^-5ô A- AV» = 5i A-AV%

à très- peu près. Pour l'air considéré dans les circonstances atmosphériques ci-dessus, c'est-à-dire à la degrés centigrades de température et 75 centimètres de pression barométrique, on aura

R = i,2267/rAH=r-^-î4^A'AV' = o,o6253A-AV';

ce qui diminuera le nombre des opérations à effectuer dans chaque cas particulier.

h2>2. Exemples concernant la navigation des bateaux sur les canaux et les rivières à grande section. — Considérons un des grands bateaux qui naviguent sur la Moselle, et dont la forme, assez avantageuse, est à peu près telle que l'indique la Jig. 74» P/' ///i en plan, coupe et élévation. Supposons que sa plus grande largeur, prise extérieurement et au niveau de l'eau ou de la flottaison, soit de 3 mètres; que la profondeur du fond au-dessous de ce niveau, ou le tirant d'eau, soit de ©■',70; l'aire A, de la section plongée dans le fluide, sera un peu moindre que 3™ x o", 7 = 2™*i,io; soit i"*i,6o la valeur exacte de cette aire, qu'il sera toujours facile de calculer, dans chaque cas (190) rigoureusement. Les bateaux dont il s'agit ont une longueur qui surpasse notablement six fois leur plus grande largeur; s'ils étaient sans proue ni poupe, ou que ce fussent de véritables prismes terminés par des plans perpendiculaires à leur axe, la valeur du multiplicateur /r serait (ïl5) au plus

DES BfiSISTANGES. * 669

lyio, attendu qu'ici le bateau est censé se mouvoir dans un fluide en repos. Mais, comme il y a une poupe, on doit d'abord (416) diminuer ce nombre de t« de sa valeur, c'est-àdire de o,ii, ce qui donne A* = 0,99. En outre, le bateau a une proue dont les faces latérales sont raccordées, par des arcs de cercle, avec les flancs, et dont le dessous est un plan incliné d'environ y d'angle droit, raccordé pareillement avec le fond; on peut donc croire que la résistance ou la valeur de k se trouve réduite (ibidJj, au moins à | de 0,99 ou à o,33, nombre qui paraîtra, en effet, bien fort, si on le compare à celui (&22) que M. Morin a obtenu pour des bateaux d'une forme analogue. Prenant néanmoins Ar = o ,33, pour les bateaux dont il s'agit, la résistance aura ici pour valeur particulière

R = 1 000 X 0,35 X i"*>,6H =528H, ou R = 26,93 V»;

le canal étant censé offrir une largeur et une profondeur telles qu'il devienne inutile (4>18) de s'ocuper de l'influence de la proximité de ses parois par rapport à celles du bateau.

Supposant donc que celui-ci se meuve dans une'eau tranquille, avec la vitesse uniforme de i mètre, par seconde, on aura, parle calcul direct, ici très-facile, V*=: 1" xi" = i""ï et R = 26^», 93 : par la Table, des hauteurs dues aux vitesses, placée à la fin de ce volume, on trouverait H = o",o5i, et par conséquent, R = 528x o,o5i=:26''«,93; valeur qui coïncide exactement avec la précédente, mais qui aurait pu en différer d'une très-petite fraction, attendu que les coefficienls des formules ci-dessus et les nombres de la Table n'offrent que des valeurs purement approximatives.

La quantité de travail que devraient dépenser directement des hommes employés à haler le bateau avec la vitesse uniforme de 1 mètre, serait donc de 26^»,93Xi" = 26^«",93, qui, d'après le tableau de la page 262, ne réclamerait guère moins de quatre hommes si le mouvement devait être continué une journée entière à cette vitesse : à la vitesse de o"',6 seulement qui est celle (205) de l'allure ordinaire des hommes tirant horizontament, la résistance se réduirait à o,36x26^*,93 = 9^S695, et le travail à o",6x 9,695 = 5*»", 82, quantités dont la dernière n'est que le 7 de sa correspondante ci-dessus, et pourrait être facilement donnée par un seul homme.

670 HtirCANlQUE INDCSTRIBLLB.

Ces circonstances auraient lieu, à peu près, dans les canau!t intérieurs de la \ille de Metz, où la Moselle n'a qu'une vitesse insensible ; mais s*il s'agissait de remonter la rivière dans des endroits où la vitesse de l'eau atteint t%2 par exemple, en faisant toujours avancer régulièrement le bateau, de 1 mètre à chaque seconde, par rapport aux rives, ce bateau étan^ alors choqué (382) avec une vitesse relative V, de .i",2 4- 1" = a", 20, la résistance deviendrait 26,93 x( 2,2)' = i3o''«, 34, et la dépense de travail, pendant le même temps, i3o kilogrammètres, en nombre rond, ce qui réclamerait (vojrez la Table du n°205 déjà cité) deux chevaux, au moins, si la marche devait être soutenue de huit à dix heures par jour.

Supposant, au contraire, que le bateau descende le même courant avec la vitesse de i",2 propre à ce dernier, il n'y aurait point de travail à dépenser, car la vitesse relative V serait nulle aussi bien que R; mais s'il devait descendre avec une vitesse de 2'', 2 par seconde, la vitesse relative étant de 2",2 — i",2 = i"», la résistance absolue serait, comme dans le premier cas, égale à 26*"', 93, tandis que le travail aurait pour valeur 26''«,93 X 2'",2=:59*'»"', 25, en le supposant directement effectué des rives où le moteur devait prendre la vitesse absolue de 2"*, 2.

La différence de ce résultat avec les précédents, montre bien toute l'influence exercée par la vitesse relative du corps, du fluide et des rives, sur la dépense du travail moteur, qui, dans les hypothèses du n^ 382, est généralement exprimée par le produit /^A(V±V')' XV; V étant la vitesse absolue du bateau ou du moteur et \' celle du fluide. Ainsi, par exemple, on voit que, même pour une eau stagnante, ou ¥' = 0, le travail dont il s'agit, représenté par p AV, croît ou décroît comme le cube de la vitesse, c'est-à-dire d'une manière bien plus rapide encore que la résistance simple.

433. Remarques concernant Veffet utile du transport par bateaux. — Cet effet se déduit aisément de la connaissance du tirant d'eau^ que nous. avons supposé ici de o",7 et de celle des dimensions du bateau d'où dépend le volume de l'eau déplacée, et, par suite, la charge totale, qui, d'après le principe d'Archimède, doit être égale au poids de ce volume. Suppo-

DBS RÉSISTANCES. 67 1

sanl, par exemple, que, pour le bateau ci-dessus, à forme sensiblement prismatique ou cylindrique, la longueur réduite de la carène, prise du milieu de la partie plongée, soit de ^5 mèires, sa section d'eau A, étant d'ailleurs de i^'ïjÔ environ, le volume du fluide déplacé sera de 26" X i"*i,6 = 40"% et son poids 40000 kilogrammes ou 4o tonnes (31 ). Supposant, d'un autre côté, que, par un calcul analogue effectué pour le cas où le bateau est déchargé , on ait trouvé, d'après le tirant d'eau que le poids du volume de liquide déplacé soit de 16000 kilogrammes, il en résultera que la charge utile, le tonnage, sera de 40 — ^6 = 24 tonnes ou 24000 kilogrammes, poids qu'il faudrait d'ailleurs (212) multiplier par la distance parcourue pour obtenir l'effet utile ou pratique. Cet effet ne dépend nullement, comme on voit, de la vitesse du transport non plus que de la dépense de travail moteur, qui peut être indéfiniment amoindrie, ainsi qu'on la dit au n** 93, pourvu qu'on réduise convenablement la vitesse relative du bateau et du fluide, et cela, quels que soient d'ailleurs la charge, le tirant d'eau et les dimensions du bateau. Ces ddnnées n'exercent, en réalité, d'influence que sur le facteur A, de l'expression de la résistance, et le moteur n'ayant, par hypothèse, à vaincre que l'inertie du fluide et du bateau, il peut toujours produire son effet dans un temps sufflsamment long, quelque faible que soit d'ailleurs l'énergie de son action ; mais cela n'aurait plus lieu évidemment si le système se trouvait soumis à des résistances, à des frottements, indépendants de la vitesse du mouvement, comme sembleraient l'indiquer quelques-uns des résultats d'expériences rapportés dans ce Chapitre.

Au surplus, nous avons admis jusqu'à présent que le bateau se mouvait dans un canal à peu près indéflni, en largeur et en profondeur, par rapport à ses dimensions transversales; il nous reste à montrer, par un exemple emprunté à l'excellent Traité d* Hydraulique de M. d'Aubuisson (p. 820), comment on peut tenir compte, dans les calculs, de l'influence respective de ces dimensions.

&3i. Exemple concernant la navigation sur les canaux étroits. — MM. d'Aubuisson et Maguès ont fait, sur le canal du Midi ou canal de Languedoc, près de Toulouse, des expé-

67a MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

riences qui tendent à rectifier, en quelques points, l'application des formules de Dubuat exposées dans le n^* 418.

La positiou du canal dont il s'agit offrait moyennement une section de ii6^,S5; une barque marchande, traînée par deux chevaux, chargée de 108 tonneaux, et dont la section transver* sale d'immersion, au repos, avait 6*"^, 84 de surface, a parcouru uniformément, avec une vitesse moyenne de o",8i7 par seconde, un espace de 3676 mèlres; on avait donc (418)

Cette dernière valeur moindre que 6,46, montre qu'il serait ici nécessaire d'avoir égard à l'influence de la proximité des parois du canal sur l'intensité de la résistance.

Conformément au résultat des expériences de Bossut (il5), M. d'Aubuisson prend /r = 1,00 pour le coefGcient de la résistance d'un bateau sans proue, mû dans un fluide indéOni; ce qui donne (428) R = 5i A-AV» = 5ix6°»S84(o,8i7)' = i33^' pour la valeur'de cette résistance, et, par la première des formules du n"" 418,

pour la résistance qu'éprouyerait le même bateau, sans proue, s'il était mû dans le canal ci-dessus avec les circonstances indiquées. Enfin, M. d'Aubuisson prend, pour l'introduire dans la dernière des formules du n® 418, 9 = 0,49 à cause de la forme obtuse et peu favorable de la proue et de la poupe des bateaux soumis à l'expérience; ce qui lui donne

L'effort moyen exercé par les deux chevaux et mesuré directement à l'aide d'un dynamomètre (60) soumis a d'assez faibles oscillations, cet effort, ramené à la direction du chemin parcouru parle bateau ayant été de 120 kilogrammes ou leso,5a seulement de celui que fournit la formule de Dubuat, M. d'Aubuisson en conclut que cette formule n'est point applicable aux grosses barques marchandes qui naviguent sur le canal de Languedoc, et ce fait lui paraît confirmé par l'observation

DBS RÉSISTANCES. 678

journalière de la marche de ces mêmes bateaux : il pense que l'exagération du résultat donné par la formule, doit principalement porter sur la valeur du facteur o , i83 ( i — 9 ) qui y entre, et qu'il propose de porter, en conséquence, à 0,26 pour les bateaux en question; ce qui revient à remplacer le coefficient numérique o,i83 par o,44 environ.

Quant à l'explication d*une aussi énorme différence, elle peut, suivant nous, se trouver dans les faits déjà exposés au n** 4-15, ou, plus spécialement, dans la différence du mode de halage, dans la difficulté que les bateaux, soumis à Texpérience par Bossut, et qui ont été Fobjet des calculs de Dubuat, éprou-* valent à céder à l'action des forces qui tendaient à les soulever, etc. Le même motif donne lieu de croire que les valeurs assignées, par la formule de Dubuat, à la résistance R' (4^18), sont également exagérées, et peut-être même, si Ton en juge par le résultat (422) des expériences de M. Morin, sur des bateaux d'une forme plus ou moins analogue, devrait-on rejeter une partie de la différence sur l'exagération de la valeur 0,4* attribuée, par M. d'Aubuisson, au rapport q. Quelle que soit, au surplus, l'opinion qu'on adopte, on voit combien il serait utile que de pareilles expériences fussent répétées sur des bateaux de la forme ordinaire, mus alternativement dans un canal à très-petite ou à très-grande section.

M3. Exemples concernant les volants à ailettes. — Les lournebroches et les horloges qui reçoivent le mouvement par la descente de contre-poids, sont armés, comme on sait, de volants à ailettes planes et minces, Oxées à l'extrémité de tiges ou de bras montés sur des axes de rotation : ces ailettes, en se mouvant circulairement dans l'air, éprouvent, de sa part, une résistance qui crott rapidement avec la vitesse que leur imprime le poids moteur, par l'intermédiaire de rouages, et elles servent ainsi à régulariser le mouvement ou à empêcher qu'il ne s'accélère indéfiniment, comme cela aurait lieu (113 et suivants), si aucune résistance ne s'opposait à la descente du contre-poids, ou si celle que lui opposent directement la broche, les rouages, etc., était constamment au-dessous de l'action qu'il éprouve de la part de la gravité.

Soit A = o'",o5Xo",o6 = o"*i,oo3, l'aire de l'une des pa-

674 HÉGAIIIQUE INDUSTRIELLE.

lettes censées perpendiculaires à la direction d u chemin qu'elles décrivent circulairement autour de l'axe; on prendra moyennement, d'après les expériences de Borda, de Hutton et de M. Thibault (^00), k = 1,4 pour des vitesses comprises depuis zéro jusqu'à 5 mètres par seconde; mais il faudra augmenter ce nombre (428) dans le rapport de 0,60 à 0,64 environ, pour des vitesses comprises depuis 5 jusqu'à 10 mètres; de 0,60 à 0,68 pour des vitesses de 26 à 5o mètres, etc. Supposons, par exemple, le rayon moyen du volant de i pied ou o™,325, ce qui donne o",65x 3,i4i6 = 2"*,o4 pour la circonférence dé- 'crite por le centre de la palette à chacune des révolutions» dont le nombre observé directement sera, en outre, supposé régulièrement de 1 14 à la minute, ou de i,g par seconde; on aura ainsi» à très-peu près :

V=ri,9X2",o4z=3",88, X = i,4o

et (431)

R = 0,06253 X 1,4 X o"i,oo3x (3,88)» = o^«,oo395,

pour les circonstances atmosphériques ordinaires, résistance en elle-même assez faible, mais qui deviendrait

-^ X 4' X o^S oo3g5 = o*^», 07 16,

18 fois plus grande si la vitesse était quadruple ou de i5"',52 par seconde, et qu'il faudrait doubler s'il y avait deux ailettes de même surface, octupler au moins (400) si, en outre, les dimensions, les côtés de ces ailettes étaient eux-mêmes doublés, etc. Multipliant ensuite ces résultats par les vitesses correspondantes, on obtiendrait les quantités de travail détruites par les résistances dans chaque seconde.

Ainsi, par exemple, à la vitesse de 3"',88, 2 tours environ par seconde, et pour 2 ailettes de o""i,oo3 de surface chacune, la résistance étanlde o^SooSgS X 2 = 0*'», 0079, le travail détruit par la résistance serait de o^»,oo79 x 3"",88 = o^»"',o3o65 dans le même temps. Admettant que le contre-poids qui met en mouvement la machiné, décrive uniformément un chemin de o"',o6 par minute ou o">,ooi par seconde, et divisant les o^>",o3o65, obtenus ci-dessus, par cette dernière vitesse, il

DBS RfiSISTANCBS. 675

viendra So*"', 65 pour la porlion du contre-poids(71) qui serait employée à vaincre celte seule résistance, dont la valeur devraity en outre, être augmentée d'une quantité proportionnelle due au frottement des rouages intermédiaires, etc.

Ces résultats suggèrent d'ailleurs plusieurs réflexions qui n'échapperont pas aux esprits attentifs, et sur lesquelles il deviendrait peu nécessaire d'insister. D'un autre côté, il est bon de faire observer que, dans presque tous les mécanismes du genre de celui qui nous occupe, et qui servent de régulateur ou de modérateur^ on se réserve, par un dispositif très-simple, la faculté de diminuer la résistance, pour ainsi dire à volonté, en donnant aux ailettes, par rapport à la direction du mouvement, diverses inclinaisons dont la Table du n"^ 402 permettrait de déterminer assez exaciement l'influence; mais nous nous dispenserons également d'offrir un exemple d'un pareil calcul qui n'a rien de difficile.

436. Calcul du travail absorbé par la résistance de rair sur les roues hydrauliques. — Dans le n* 363, nous avons donné une idée de l'influence qui peut être exercée par le seul frottement des tourillons de ces roues ou des volants qui servent à régulariser le mouvement; afln de la comparer à celle qui provient de la résistance de l'air, nous considérerons une roue verticale armée de 5o ailettes planes et rectangulaires ayant 3 mètres de longueur dans le sens parallèle dé Taxe, o*",4 de largeur dans le sens des rayons, et dont le centre est situé a 3 mètres de distance de l'axe; ce qui donne

de circonférence moyenne à la roue, dont le dispositif est censé analogue à celui des roues qu'on rencontre fréquemment dans certaines usines hydrauliques. En supposant que le nombre régulier des révolutions ait été ici trouvé de dix-neuf en trois minutes, la vitesse à la circonférence moyenne dont il s'agit, sera, à très-peu près, de 2 mètres par seconde, et l'on calculera la résistance correspondante de l'air sur la circonférence moyenne décrite par les ailes, au moyen de la deuxième des formules du n** 404, dans laquelle on devra prendre ainsi

V=a«, n = 5o, a = 3«'Xo",4 = i"^2,

676 MÉCANIQUE INDDSTHIBLLE.

ce qui donnera, abstraction faite de la résistance des bras, etc.,

R==:o^«,ioo-4-(o,oo68-h o,ii8x5oX i,2)x4 = 3'-8^S45,

pour la résistance rapportée au centre des ailettes planes, et

pour le travail correspondant par seconde, quantité assez faible si on la compare (363) à celle qui pourrait être détruite parle frottement des tourillons d'une roue d'aussi grande dimension, supposée exécutée en fer ou en fonte, mais qui acquer* rait une influence prépondérante si la vitesse venait à être doublée, comme il arrive dans quelques cas. En effet, la formule dont il s'agit donnerait alors, pour la résistance toujours rapportée à la circonférence moyenne ou du centre des ailes, RrzriiB^'SS environ, ce qui entraîne une perte de travail de n 3^«, 5 X 4"" = 4^4^*" = 6 chevaux-vapeur de 76 kilogrammètres par seconde, perte qui se réduirait à un peu moins de la moitié, comme le montre la formule, si la largeur horizontale des ailes était elle-même réduite à cette proportion, et au 7, à peu de chose près, si le nombre des révolutions restant le même, celui des ailes et le diamètre de la roue étaient également réduits de moitié. Cette application démontre suffisamment l'inconvénient attaché à l'agrandissement de la vitesse et des dimensions des roues à ailes planes, inconvénient qui, probablement, n'a pas lieu, à beaucoup près, au même degré pour les roues à aubes cjrlindriquesy emboîtées latéra* lement dans des couronnes parallèles, et raccordées a peu près tangentiellement avec la circonférence extérieure de ces roues, de manière à éviter le choc direct ou normal contre la convexité ou la concavité des aubes.

437. Divers exemples relatifs aux moteurs animés ^ etc. — La surface qu'un homme de taille ordinaire présente à l'action du vent, ou l'aire A de sa projection verticale sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, soit qu'il chemine ou qu'il reste en repos, cette surface peut être évalué moyennement à 0,35X1", 7 =o"*î,6o; mais à cause de l'inclinaison que prend naturellement tout son corps, il conviendrait, sans

DBS RÉSISTANCI8. 677

doute de la supposer un peu moindre lors des courses ou des vents très-rapides; de plus, cette surface et la résistance se* raient sensiblement accrues si ses vêtements se trouvaient mal ajustés au corps. Le coefficient A*, de cette résistance, pour un prisme droit d'une faible épaisseur, étant d'au moins i,5 dans le cas de immobilité (&13) et de 1,2 dans celui du mouvement (M4), on conclura des expériences de Borda, citées au n^42^, et qui concernent les surfaces cylindriques à base circulaire ou elliptique, opposées directement à Faction du vent, que la valeur de k doit dififérer assez peu de o,5xit5=:o,7G pour l'homme en repos, choqué en face par l'air en mouve* ment, ou deo,5x 1,2 = 0,6 pour l'homme en mouvement dans l'air en repos. La pression ou résistance éprouvée par cet homme serait donc : dans le premier cas,

R = 0,06253 X 0,^5 X o'"'ï,6 V = 0,028V» et, dans le deuxième,

 la vitesse de i*",5 par seconde,* qui est celle d'un bon marcheur (21&), on voit que cette résistance s'élèverait à 0,0224(1,5)» = o^!,o5o4, et la dépense de travail moteur, par seconde, à o^«,o5o4 x i'",5 = o^»"',o756, quantité qui n'est pas le yj de celle qu'un homme de force ordinaire pourrait développer, d'une manière soutenue, en tirant ou poussant horizontalement (205, p. 252), et dont la petitesse justifie ainsi l'observation du n"* 90. Mais, si la vitesse était de 6 mètres par seconde, ce qui est à peu près la plus grande de celles que puisse s'imprimer un coureur, d'une manière un peu soutenue, la résistance de l'air s'élèverait à 0,0224 X 6» = o^«,8o64, et le travail par seconde, à 4^'"'>84 environ; ce qui est déjà une fraction considérable du travail que peut développer continuellement un homme même robuste. Aussi l'exemple des courses les plus célèbres démontre-t-il qu'une pareille >itesse pourrait difficilepient se prolonger au delà de vingt ou trente secondes.

La vitesse des plus forts ouragans dans notre climat ne peut guère être évaluée au-dessous de 4o mètres par seconde,

678 MÉCANIQUE INDUSTRIBLLE.

et il résulte de la première des formules ci-dessus, que la pression supportée par un homme debout et immobile, qui serait frappé directement par un pareil vent, peut être évaluée à o,o!i8x(4o)'=44^',8, effort considérable et auquel cet homme ne résisterait qu'en inclinant fortement son corps en avant» de manière à se dérober en partie à l'action de Fair, tout en faisant intervenir celle qui est due à son poids. Au surplus, on ne pourra être surpris de voir que de pareils ouragans soient capables de renverser des arbres et des maisons, qui offrent "•^e si grande surface à Taciion du vent; car, pour un mur de 4 mètres de hauteur sur 12 mètres de longueur, choqué directement par Tair, avec la vitesse de 4o mètres dont il s'agit, la pression ne serait pas au-dessous (4-06 et 431} de

ce mur pouvant être ici considéré, sans trop d'erreur, comme un plan mince entièrement isolé.

Ces différents résultats devant être multipliés par 8i5 environ (431) si l'air se trouvait remplacé par l'eau, on voit quelle énorme pression doivent supporter, dans quelques cas, les corps exposés aux torrents de ce liquide. Considérant, par exemple, un bloc cubique de marbre de i mètre de côté, posé sur un sol de niveau où il n'est retenu que par son seul frottement, et qui serait choqué par un courant d'eau perpendiculairement à l'une de ses faces, la pression qu'il supporte étant donnée (413 et 431 ) par la formule

tandis que celle du frottement peut être représentée (350) par

N étant le poids du bloc diminué de la perle qu'il éprouve dans l'eau (41), /=:o,751e coefficient maximum de son frottement, il arrivera que le bloc sera entraîné par le courant, toutes les fois qu'on aura

75,46V»>o,75N, ou V>o,ioo4v/N.

DBS BftSISTANOBS. 679

Supposant, par exemple (35),

N = 2600^» — 1 ooo^« = 1 6oo^« ou ^=z 40 ;

on voit que cela aura lieu pour toute vitesse Y, supérieure à o,ioo4x 4o = 4"'f 02 P^r seconde, limite qui, certainement, est souvent atteinte ou surpassée par celle de certains torrents produits par les écluses ou les lames de la mer.

Les chevaux employés à la course ne présentent pas, à Tac* tlon directe de Tair, une surface beaucoup plus grande que celle de l'homme, et, comme leur forme est plus allongée, mieux disposée en tous points, la résistance qu'ils éprouvent est, au plus, égale à 0,02V'; mais, à cause de l'écuyer qui les monte, on peut la supposer de o,o3V', tout compris; ce qui, à la vitesse de 16 mètres par seconde environ, limite de celle qui est atteinte dans les courses de Newmarket, en Angleterre, et du Champ de Mars à Paris, donne lieu à une résistance de 7^<,68, et suppose, de la part de l'animal, en chaque seconde, l'énorme dépense de travail de laa^^'^SS, presque double de celle (205) que fournissent les chevaux de rouller ordinaires, lesquels, à la vérifé, cheminent pendant huit à dix heures par jour, tandis que c'est à peine si les coursiers les plus fins, les mieux exercés, peuvent soutenir leur allure pendant quatre ou cinq minutes, et renouveler une deuxième fois leur carrière après un certain temps de repos.

Nous avons donc eu raison de dir« (90 et ikS) que le travail extérieur dont les animaux sont susceptibles, quand ils s'impriment la plus grande vitesse possible, doit être négligé visà-vis de celui qu'ils développeraient si la vitesse était moindre. Quand on réfléchit, en outre, à l'énorme influence que peuvent ici exercer, sur ces vitesses excessives, la délicatesse, je dirais presque la débilité des formes de l'animal, son ajustement et celui du maigre écuyer ou du léger groom qui le monte, enfin l'adresse de celui-ci à se dérober à l'action de l'air, on demeurera convaincu que ces prix, ces encouragements accordés à un exercice où l'art, objet d'un vain luxe, triomphe bien plus qu'une vigoureuse nature, on demeurera, dis-je, convaincu que de pareilles joutes, de pareils amusements sont bien peu propres à perfectionner la race chevaline dans nos contrées, où le Gouvernement devrait, avant tout,

686 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLB.

tenir à se procurer des animaux assez robustes pour soutenir les plus rudes fatigues de la guerre, sous une charge qui dépasse quelquefois 120 kilogrammes.

438. Calcul de la résistance de l'air contre les boulets de canon. — Pour dernier exemple et afln de donner une idée précise de la progression que suit la résistance opposée par lair aux mouvements plus ou moins rapides des corps, nous considérerons un boulet sphérique de 24» en fer fondu, dont le diamètre fi? est très-approximativement de o**',i48, la surface de projection A ou d'un grand cercle,

jT:d'z=jy< 3,i4i59X (o"»,48)» = o™%oi72, le volume

- Axrf= 5 X o'»*i, 0171X0'", 148 = o"%ooi697,

et le poids de

7o65^« X o"*, 00 1697 = 12''» environ;

la densité de la fonte étant ici, d'après le résultat moyen d'un grand nombre de pesées directes, de 7065 kilogrammes seule* ment(*). D'après ces données, la résistance du boulet, dans l'air, à la degrés de température et 75 centimètres de pression (431), a pour valeur générale

R = o,o6253x o"Voi72X A'V* = o,ooio755^V%

où Ton doit attribuer à k les différentes valeurs indiquées par l'expérience, et que nous supposerons fournies par la Table du n"* 428, quoiqu'il soit bien démontré que ces valeurs sont un peu trop fortes pour les vitesses au-dessous de 20 mètres par seconde, et trop faibles pour celles au-dessous de 5oo mètres.

Supposant, par exemple, la vitesse de i mètre par seconde.

(*) D'après une Note qui nous a été transmise par M. Piobert, la densité des boulets anglais serait supérieure, ou de 7238 kilogrammes entiron le mètre cube; ce qui doit tenir, en partie, au mode de coulage et de fabrication.

DES RÉSISTANCES. 68l

on aura

A" = 0,59 et R = 0,0010755 X 0,59 X i' = o^<, 000635 seulement. Pour V = 3"*, on aurait

/f =:o,6i, R = 0,0010755 X 0,61 X 9 = o^»,oo59,

soit o^>,oo6 approximativement. Continuant ainsi , en éva* luant, s*il le faut, par les parties proportionnelles^ les valeurs de k qui répondent à des vitesses intermédiaires entre celles de la Table du n° 428, on pourra former cette nouvelle Table :

Vlienes.

Réslttances.

vitesses.

Résistances.

kir

3oo

5oo

On voit, par ces résultats, qu'à i25 mètres de vitesse, l'effort de J'air contre le boulet de 24 est à peu près égal au poids de celui-ci; qu'à 200 mètres, il en est près du triple, qu'à 5oo mètres de vitesse, la résistance surpasse 23 fois ce même poids ; et, comme ces résultats devraient être multipliés par 8 15 environ (431), quand il s'agit de l'eau, on peut juger de l'énorme résistance qu'ont dû éprouver les boulets, dans les expériences de MM. Piobert, Morin et Didion, citées au n° 427, indépendamment du choc qui s'est opéré à l'instant de leur entrée dans le bassin d'eau où ils étaient lancés. -

Si le diamètre du boulet n'était que le ^ de o"*,i48 ou 4% 9 environ, la surface A qu'il présente à l'action de l'air serait réduite au neuvième de la valeur qu'on lui attribue ci-dessus, et par conséquent, à égalité de vitesse, la résistance serait ellemême réduite au neuvième de la valeur indiquée par la Table. Pour un diamètre de jXo™,i48ou 2*^,96, la résistance n'en serait plus que le yj. Mais le poids des boulets supposés toujours en fonte, diminuerait dans une progression bien plus rapide : Il serait seulement de

— xi2'^» = o^«,445

pour le diamètre de 4%9 et de

— - X 1 2 = o^«, oq6

pour celui de 2^96; circonslances qui tiennent à ce que les volumes et les poids des sphères homogènes (33) croissent comme les cubes des diamètres, et les surfaces de leurs grands cercles, représentées par A, simplement comme les carrés de ces mêmes diamètres. EnOn si, au lieu de projectiles en fonte, il s'agissait de boules de bois ou d'autres substances moins denses encore, leurs poids et par conséquent leurs .masses diminueraient de quantités proportionnelles, mais la résistance de Tair resterait la même pour un même diamètre, parce qu'elle ne dépend que de la forme et de l'étendue de la surface du corps, ce qui permet, dès à présent, de pressentir le rôle de ces données essentielles sur les circonstances du mouvement dont nous noiis occuperons plus spécialement dans le Chapitre suivant.

Toutefois, il est nécessaire de le rappeler avant de passer i un autre sujet, les différents exemples de calculs qui viennent d'être présentés sur la résistance des milieux supposent essentiellement que les corps ne tournent pas, ou présentent toujours la même face à l'action de ce milieu, et que leur mouvement soit sensiblement parvenu à l'uniformité; car s'il variait sans cesse, comme dans la chute des corps, il conviendrait d'avoir égard à l'influence de la proue et de la poupe fluides qui les accompagnent, conformément aux observations des n~ 380 et 382.

EXAMEN DES PRINCIPALES CIRCONSTANCES DU MOUVEMENT HORIZONTAL ET VERTICAL DES CORPS DANS LES FLUIDES ET PLUS SPÉCIALEMENT DANS l'air.

439. Considérations préliminaires, — Nous n'avons jusqu'ici donné que de simples aperçus (113 et suivants) sur la manière dont l'air agit contre les corps, pour modifler, ralentir leur mouvement; les données précédentes jointes aux principes fondamentaux exposés au commencement de cet Ouvrage

DBS RfiSISTANGBS. G83

nous permettent de mieux étudier, de calculer même, les lois de ce mouvement, pour deux circonstances importantes : i"* celte où le corps serait lancé, avec une certaine vitesse et sans tourner, dans la direction d'un plan horizontal solide, où il serait soutenu sans frottement, ce qui est aussi, à peu près, le cas des projectiles de Tartillerie, animés d'une grande vitesse horizontale, et qui, dans une portion assez considérable de leur course rapide, n'ont pas éprouvé, de la pari de la gravité, une action assez prolongée pour sortir sensiblement de la direction initiale de cette vitesse; t.'' celle où le corps ayant été lancé- dans une direction verticale, de bas en haut ou de haut en bas, serait ensuite abandonné librement à l'action de la gravité et de la résistance de l'air, toujours dans l'hypothèse où il ne viendrait pas à tourner par suite d'un défaut de symétrie dans sa forme extérieure, etc. Ce que nous dirons, d'ailleurs, pour l'air en particulier, s'appliquera aisément à toute espèce de fluide, à l'eau, par exemple, en introduisant dans les données delà question les modiflcaiions relatives à la densité de ce fluide et au coefficient k de sa résistance.

WO. Expression de la force dynamique totale des corps soumis à l'action des fluides. — Pour étudier les lois du mouvement dans les cas très-simples dont il s'agit ici, il sera nécessaire de rechercher, à chaque fois, la valeur très-différente de la force F (130), qui accélère ou retarde ce mouvement, et doit être perpétuellement égale et contraire à la force d'inertie

— =M -> P étant toujours lé poids, M la masse, et v l'ac-

célération ou la diminution de vitesse pendant le temps inflniment petit /. Mais, comme en réalité le corps est toujours accompagné (380) d*un certain volume de fluide ambiant, que nous avons appris, par quelques cas, à calculer, Il sera nécessaire d'avoir égard aux considérations exposées à la fln du n« 382, c'est-à-dire qu'il faudra ajouter la masse M,, de ce volume, à celle M du corps, pour obtenir la force d'inertie totale. En représentant toujours, comme aux endroits cités, par Q le volume apparent ou extérieur de ce corps, par /iQ celui du fluide entraîné à la densité />, et désignant, de plus, par II la densité moyenne ou réduite que l'on obtiendrait en divisant le

poids P, du corps, par son volume extérieur Q, on aura

et

F = (M-hM,)- = — ^^7'

pour la force dynamique ou d'inertie totale; ce qui montre qu'en raison du fluide entraîné, la densité moyenne du mobile doit simplement être augmentée de la fraction n, de celle de ce fluide.

La densité dont il s*agit étant, même pour les projectiles creux de Tariillerie, au moins 5ooo fois la quantité

np = o,6x l'^S 227 = 6^*, 7362 ( 380 et 431 }

pour le cas de l'air, il est évident que, dans la recherche des lois de leur mouvement, 11 deviendra permis de négliger la masse de l'air entraîné : mais il pourrait n'en plus élrie ainsi dans d'autres cas, par exemple si le milieu résistant était l'eau ou s'il s'agissait de surfaces minces (380, 405 et 411 ), de corps creux tels que les ballons, etc.; circonstances dans lesquelles l'influence de la proue et de la poupe fluides se sont précisément manifestées lors des expériences. Toutefois, à moins d'un avertissement contraire, nous conviendrons, pour la simplicité, de désigner, en général, par P et M le poids et la masse réunis du corps et du fluide entraîné, en considérant ainsi ce dernier comme formant une partie intégrante de ce corps.

44-1. Marche à suivre dans la recherche rfei lois du mouvement. — Ainsi qu'on l'a expliqué aux n"^ 129 et suivants, l'équation

F^Mt» d'où l'on tire V=~/,

peut servir à faire découvrir toutes les circonstances du mouvement, et elle en contient implicitement la loi; mais la méthode géométrique indiquée spécialement au n** 134, bonne comme moyen de démonstration et pour faire comprendre la liaison étroite qui subsiste entre le temps, la vilesse, la force dynamique F, et l'espace décrit à chaque instant parle mobile, cesse de l'être dans le cas présent où l'on n'est plus censé

DES RÉSISTàNCBS. . 685

connaître les valeurs de cette force à la fin des différents temps écoulés. Ces valeurs qui dépendent ici essentiellement de la résistance du fluide et de l'action de la gravité, s'il s'agit du mouvement vertical, seront simplement données au moyen des vitesses successivement attribuées au mobile dans les différents points de sa course, en s appuyant, à cet effet, du résultat des expériences et des formules exposées dans le Chapitre précédent.

On pourra donc aussi calculer la valeur de chacun des accroissements infiniment petits t, du temps, correspondant à une diminution ou un accroissement donnés v, de la vitesse, pour l'instant où celle-ci a une valeur assignée Y, à l'aide de la formule générale

dans laquelle M et P représentent toujours, si cela est nécessaire, la masse et le poids total du corps et du fluide entraîné.

Or, en raisonnant ici comme on Ta fait aux n*»» 72, 181, etc., à l'égard de la détente des gaz et des vapeurs, c'est-à-dire si l'on construit une courbe O'afb' &.. .fg'h' {PL Illyfg. 79), dont les abscisses Oa, 06,..., 0/, Og*, O/i, prises par rapport au point 0, comme origine, si le mouvement s'accélère, ou les abscisses AO, Aa, A6,...., Iifj hgy prises par rapport au point A, si le mouvement se ralentit, représentent, à une certaine échelle, les valeurs équidistantes successivement attribuées à la vitesse V, tandis qUe les ordonnées 00', aa', W,..., ff'j gg' représentent les valeurs correspondantes du quotient de P par g-F, le temps T, écoulé entre deux instants quelconques pour lesquels la vitesse devient Ob et 0/ou lib et hf, par exemple, sera évidemment donné par l'aire bb'f'f^ comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les ordonnées extrêmes bb' eiff^f relatives à ces vitesses. En appliquant donc ici le théorème des quadratures de Simpson (180), il sera possible de calculer le temps T, dont il s'agit, à un degré d'approximation aussi grand qu'on le voudra, en subdivisant l'intervalle bf, compris entre ces ordonnées extrêmes, en un nombre pair et suffisamment grand de parties égaies.

Comme on a, d'ailleurs (hS et 53), en représentant par ^

l'élément de chemin correspondant à / ou à <>

V, MV PV

on voit que la même méthode pourra servir à trouver la longueur du chemin parcouru dans Tintervalle dont il s'agit, par la considération d'une nouvelle courbe Oa^b^c"., .g', construite sur les mêmes abscisses, mesurées, suivant les cas, â partir du point 0, ou du point /<, mais ayant pour ordonnées les valeurs correspondantes du quotient de PV par g^F.

Quant à la question où il s'agirait de trouver immédiatement les espaces parcourus au moyen des temps écoulés, il est évident qu'elle ne saurait être résolue par les mêmes procédés, c'est-à-dire par une marche directe, puisque F ne peut se calculer que si l'on connaît V; on sera alors obligé de recourir à une sorte de tâtonnement dont nous aurons soin d'offrir ua exemple dans ce qui suit.

Cas du mouvement horizontal,

442. Faleur de la force dynamique ou retardatrice; équations fondamentales du mouvement. — Les effets de la pesanteur sur le mobile étant censés négligeables ou détruits par une cause quelconque, et les forces étrangères à l'inertie se réduisant ici uniquement à la résistance R du milieu, qui peut être calculée pour chacune des vitesses V, possédées par le mobile aux divers instants, on aura simplement (440)

F ou ^ ^lZ2f - = R ;

et} par conséquant, le corps ayant été lancé horizontalement avec une certaine vitesse initiale, cette vitesse sera de plus en plus diminuée et le mouvement ralenti dans chacun des instants égaux à /, suivant une loi donnée par la formule

DSS RÉSISTANCES. 687

qui exprime véritablement la force dynamique relative à Vanité de masse supposée entièrement libre (132), ou qui serait ca** pable de lui imprimer, dans le vide absolu, le mouvement effectif du corps. Mais attendu que la résistance H décroît très-rapidement avec la vitesse V du projectile, le mouvement ne sera pas uniformément retardé (107 et 117), comme cela arrive (365) dans le cas où la résistance se réduit à un simple frottement exercé par le mobile, sur un plan solide horizontal ; il le sera de moins en moins pour des intervalles de temps /, égaux et infiniment petits, comme le démontre la formule cidessus, qui donne la diminution de vitesse ^^ pour chacun de ces instants.

D*un autre côté, cette même formule, dans laquelle Taire A de la projection du corps sur un plan perpendiculaire à la direction rectiligne du mouvement, entre comme facteur de R (381)» d*après les résultats les plus concluants et les plus universellement admis sur la résistance des fluides, cette formule, disons* nous, montre que la diminution instantanée v, de la vitesse, est d'autant moindre, toutes choses égales d'ailleurs, que la densité moyenne U du corps (&40) est plus grande aussi bien que le rapport de son volume Q à Taire A, qui se réduit aux j du diamètre pour les sphères, à la hauteur de l'axe pour les cylindres et les prismes droits mus parallèlement à cet axe, etc.; de sorte que, pour les corps spliériques en particulier^ par exemple pour les projectiles de V artillerie^ le ralen-tissement de la vitesse initiale est d'autant plus rapide que leur densité moyenne ou réduite et leur diamètre sont moindres : (ïiit confirmé par Tcxpérience, et que démontre plus spécialement encore la formule

^ gR 0,0938 Xff, y, ArV^