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Voulant, par exemple» trouver le temps que la résistance de Tair mettrait à réduire à loo mètres la vitesse initiale de Soo mètres supposée au boulet du calibre de 24, question dont nous nous sommes déjà occupés au n^ khk, on trouvera, dans les colonnes verticales qui répondent à 5oo et 100 mètres de vitesse et à la première des lignes horizontales relatives au boulet dont il s'agit, o",324 et 11'', 65 respectivement; ce qui donne pour le temps cherché i r',65 ~ o", 324 = i r'',326, dont la différence aux 11*^,77 obtenus dans le même numéro, provient essentiellement de la légère différence entre les lois de résistance admises dans les deux cas. En opérant d*une manière analogue pour les espaces, on trouvera que celui qui est décrit par le projectile dans l'intervalle dont il s'agit, est de 2321"" — 178*" = 2i43", au lieu des 2242 mètres obtenus dans le numéro déjà cité; mais il s'en faut de beaucoup que la différence des résultats demeure toujours circonscrite dans des limites aussi étroites pour d'autres hypothèses.

Enfin si, au lieu de supposer la vitesse réduite précisément à 100 mètres, comme dans la Table, on voulait la prendre égale i 120 mètres par exemple, il faudrait alors recourir aux courbes d'interpolation déjà mentionnées, et qu'il suffirait de tracer pour les abscisses ou vitesses, de 200, i5o, 100 et 5o mètres, voisines de 1 20 mètres ; on trouverait ainsi 9'',o4 et 2047 mètres respectivement, pour les valeurs cherchées et que nous avons effectivement obtenues au moyen d'un tableau de semblables courbes tracées, dans toute leur étendue, par M. Piobert, qui a bien voulu nous en donner communication. Les mémos procédés serviraient évidemment à faire découvrir l'espace relatif à un temps donné, ou réciproquement; c'est pourquoi il devient inutile d'insister.

Cas du mouvement vertical.

« W8. Faleur de la force dynamique, retardatrice ou accélératrice, dans le mouvement ascendant. -^ Pour les corps trèsdenses, ce mouvement sera évidemment à la fois retardé, et par la résistance R du milieu, et par l'action de la pesanteur sur le corps, dont le poids P = Qn (^40) devra d'ailleurs

70a MÉCàNIQUB industbibllb.

(M, 113 et suivants) être diminué de tout celui du volume Q de l'air qu'il déplace, poids que nous nommerons P' = Q^, et qu'il sera facile de calculer au moyen de la densité p du fluide (431). Nous aurons donc ici (^40)

F=R + P-P' ou L!L±L5£iQ^=R4.(n-;,)Q;

ce qui donne pour le rapport de i/ a /, dans le mouvement ascensionnel du corps, ou pour la force dynamique relative à l'unité de masse,

c R -f- P — p^ gR n — p

quelle que soit d'ailleurs la loi suivie par la résistance du milieu.

Pour les projectiles sphériques de l'artillerie lancés verticalement dans l'air, de bas en haut, on pourra négliger le terme /tp, relatif au fluide entraîné (440), et, comme leur poids P, même en les supposant creux, est au moins Sooofois celui P' du fluide déplacé, on pourra aussi ne point tenir compte de ce dernier dans les calculs; ce qui, pour les hypothèses des n"** 431 et 442, donnera simplement

1=e — p — =g^p "^«^^"nrf ^-9 >8o9,

formule qui met en évidence l'influence respective du diamètre rf, de la densité moyenne II du projectile, et de la gravité ou de gy sur le ralentissement plus ou moins rapide du mouvement ascendant.

Plus spécialement encore, on aura pour le boulet de ^4* 4^^ nous a déjà occupés aux n°* 438, 442 et 444, les formules

F =:R-hP=o,ooio755A-V»-+-ia, ^ = 0,00088 *-V«-|-9*,8o9,

dans lesquelles il ne reste plus que k et V d'indéterminés, et qui montrent que le mouvement sera de plus en plus retardé comme pour les projectiles lancés horizontalement, mais d'une

DBS RtSISTAMCBS. 7o3

manière bien autrement rapide, et à peu près comme si ce projectile étant soutenu par un plan horizontal malénel(446), son frottement venait à se joindre à la résistance de Tair. On voit> en effet, que la force retardatrice F, conservant, à tous les instants, une valeur qui surpasse la kilogrammes, il faudra bien que le mouvement finisse par s'éteindre complètement, même en un temps fort court.

Si, au lieu de posséder une densité moyenne II, supérieure à celle /> de Tair, le corps en avait une beaucoup moindre, il ne serait évidemment plus permis d'agir et de raisonner comme on vient de le faire. Dans le cas, par exemple, d'un ballon en taffetas verni, gonflé par du gaz hydrogène dont la densité est environ le ti ^^ ceWe de l'air à circonstances atmosphériques égales (40), ou, plus exactement, 0,0688 x i^»,227 = o^«,o82 pour I mètre cube, le poids de l'enveloppe réuni à celui du gaz qu'elle renferme, c'est-à-dire P, loin de surpasser celui de l'air entraîné ou déplacé, en serait une fraction assez faible; et alors aussi, non-seulement il ne faudrait pas imprimer de vitesse initiale à ce ballon pour le faire partir, mais encore il tendrait, par lui-même, h s'élever avec une force mesurée par P' — P, et qui lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré (108), si la résistance R ne venait aussitôt le ralentir.

La même chose pouvant se dire, en général, de tous les corps qui sont spécifiquement plus légers ( 35 ) que le fluide qui les contient, on voit que la force dynamique ou accélératrice totale, dont ils sont animés, deviendrait alors

de sorte qu'on aurait généralement aussi

v jg — n ^ gR

formules qui ne diffèrent des précédentes que par l'inversion des signes. Mais, au lieu de raisonner dans ces hypothèses générales, il vaudra mieux revenir à l'exemple particulier des ballons, qui est assez intéressant en lui-même, pour que nous consacrions l'arlicle suivant, tout entier, à l'examen des particularités que son mouvement peut offrir.

7o4 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLE.

&>49. Exemple relatif à rcLscension verticale des ballons, limite de leur vitesse, — Supposons (P/. ///, fig. ^5) un ballon sphérique de lo mèlres de diamètre, son volume sera, à trèspeu de chose près, de 523™^ 6; par conséquent le poids du volume d'air qu'il déplace dans les circonstances atmosphériques indiquées au n® 431, aura pour valeur

celui du gaz hydrogène qu'il contient,

seulement ; et enGn le poids absolu du fluide qu'il entratne(4i2),

poids énorme comme on voit, et qui doit exercer une trèsgrande influence sur les lois du mouvement.

Ordinairement les ballons destinés aux voyages aériens portent, suspendue à un système de cordes, une nacelle ou gondole, en osier, très-légère et dans laquelle se placent lesaéronautes; nous supposerons que le poids de ces objets et de tout le surplus de l'équipage soit de 35o kilogrammes, mesuré dans l'air, ce qui est une charge considérable. Enfln, pour être parfaitement rigoureux, il conviendrait encore d'avoir égard à la résistance de l'air contre la gondole, les cordages» etc., ainsi qu'à la masse de fluide qu'ils entraînent; mais, comme ces quantités seraient impossibles à évaluer d'une manière précise, et qu'elles doivent être très-petites vis-à-vis de celles qui se rapportent au ballon, nous en ferons abstraction, sans perdre de vue néanmoins la faible part d'influence qu'elles peuvent exercer sur les lois du mouvement. D'après cela, le ballon serait enlevé avec une force constante

qui sera diminuée, à chacun des instants du mouvement ascensionnel, de toute la résistance opposée par l'air, et que nous continuerons à évaluer au moyen de la formule