R = 0,06253 A- AV

DES RÉSISTANCES. 7o5

du n^Wl, laquelle devient ici, à cause de A = 78'»*i,54,

Rr=4,9ii/rV^

Quanta la masse totale mise en mouvement parla force motrice ci-dessus, elle se composera à la fois (440) : i*» de celle du fluide entraîné dont le poids absolu a été trouvé égal à 385^S5; 2^ de.celle du poids pareil du ballon et de son équipage, c'est-à-dire de 35o kilogrammes, augmenté du poids du volume d'air déplacé, puisque ces 35o kilogrammes ne sont pas censés avoir été ramenés au vide ; mais, à cause de la grande densité de ces objets, dont la résistance n'a point non plus été appréciée, nous ne tiendrons pas compté d'une pareille différence; 3° enfin de la masse de l'hydrogène enfermé dans le ballon, et qui pesant dans le vide ^1^*,^/^, est pareillement soumis à la loi d'inertie. La somme de ces masses sera donc égale au quotient du poids

aSSi^SS -h 35o»^« H- 42''S64 m 7 78^», 44

divisé par

g^ = 9^S8o9, ou à 79,36;

et, par conséquent, on aura ici,- pour calculer toutes les circonstances du mouvement,

Le ballon partant de terre avec une vitesse V d'abord nulle, on voit que, tant que la résistance 4»9i i A" V' restera au-dessous de 249^', 56, cette vitesse augmentera de plus en plus, et de quantités qui, à la vérité, iront sans cesse en diminuant pour des instants égaux t. Mais si cette résistance pouvait devenir égale à 249^', 56, ce qui exigerait que la vitesse atteignit ellemême la valeur fournie par la relation

249>'«,56 = 4,9iiArV», ou 3,1447 = 0,061 76 A- V»,

à laquelle on satisfait en prenant à la fois k = o,64> d*après la Table du n*> 428, et V=8",9i par seconde, alors la force accélératrice F deviendrait nulle, aussi bien que l'accroissement

7o6 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

correspondant v de la vitesse, et le mouvement cessant de varier, il se continuerait uniformément en vertu de rinertie{55) ou de la vitesse acquise par le ballon, si toutefois les circonstances restaient, dans les régions supérieures de l'atmosphère, les mêmes qu'à la surface de la terre.

La discussion de cette particularité remarquable du mouvement ascensionnel des ballons, étant fort délicate et se reproduisant dans d'autres questions qui reviendront plus loin, je n'insisterai pas en ce moment, et me contenterai de faire observer que, pour un fluide quelconque et un corps spécifiquement plus léger, dont la résistance, à l'ascension, pourrait être exprimée par la formule du n"" 382, la vitesse limite, dont il s'agit, serait gén(''ralenient fournie par l'équation

F=n:P'-P-R==P'-P-/roA — = 0, ou \=\/ , . ,

k et V devant avoir ici des valeurs qui se correspondent dans la Table du n** 428, ne peuvent ainsi être obtenues que par la méthode des approximations successives, nommée règle de fausse position. Mais, il est évident que le phénomène dont il s'agit est indépendant de la nature particulière de la loi de résistance, et, dès que cette loi sera donnée, on pourra toujours trouver la vitesse limite du corps par une équation analogues la précédente, que nous avons rapportée simplement pour fixer les idées.

Ce qui diminue d'ailleurs l'intérêt qui pourrait s'attacher à la question dans le cas particulier des ballons, c'est la nécessité où Ton est, comme on Ta vu, de négliger l'influence, assez grande, exercée par la résistance des parties accessoires, et de supposer les circonstances atmosphériques constantes à toutes les hauteurs; ce qu'il n'est pas permis d'admettre, même pour les ascensions les plus habituelles des voyages aériens. La hauteur de ces ascensions surpasse souvent, en effet, 2000 i 3ooo mètres, et l'on a vu, dans un pareil voyage, entrepris uniquement pour le progrès des sciences, deux illustres physiciens français, MM, Blot et Gay-Lussac, s'élever verticalement dans les airs, à une hauteur de près de4ooo mètres; puis ce dernier, dans un second voyage, atteindre seul la hauteur

DBS RfiSISTANGBS. 707

énorme de 7015 mètres au-dessus du niveau des mers, la plus grande de celles auxquelles se soient jamais élevés les hommes, même en gravissant les montagnes (*). Or ces courageuses expériences constatent, ainsi que des observations antérieures ou postérieures, dont les plus importantes sont dues à MM. A. de Humboldt et Boussingault, qu'à de telles hauteurs, la température, la pression et la densité de Tair éprouvent, ainsi que l'action de la gravité, une diminution très-sensible, et dont il serait nécessaire de tenir compte dans des calculs rigoureux ; ce que les savantes recherches de M. Biot, sur la constitution de l'atmosphère (Connaissance des Temps pour 1841), rendrait possible d'une manière approximative, si la question qui nous occupe en valait la peine.

Quant aux élévations de 4^0 à 5oo mètres, par exemple, Il serait peu nécessaire de s'en inquiéter pour les ballons, et en* core moins s'il s'agissait des projectiles irès-denses -de l'artillerie, et qui, tels que les bombes, sont élevés dans l'air, parla force de la poudre, à des hauteurs généralement médiocres.

450. Valeur de la force dynamique^' accélé fat rice on relardatrice dans le mouvement vertical descendant. — Cette force tend nécessairement à accélérer le mouvement des corps ou devient accélératrice toutes les fois que la densité moyennen(HO) de ceux-ci surpasse celle du fluide, comme cela a lieu, par exemple, pour les projectiles de l'artillerie : elle se compose évidemment alors du poids absolu P du mobile dans le vide, poids qui mesure proprement l'action de la

(*) Nous saisissons cette occasion de rappeler que les ballons aérostatiques furent découverts en 1783, par le célèbre Montgolfler, d'Annonay, et que Pilastre Des Rosiers, physicien distingué, né à Metz, périt en 1786, Tictimi* de son zèle pour les progrès d'un art qui était encore dans son enfance, lorsqu'il tenta de franchir 1c détroit qui sépare la France de l'Angleterre. \\ fut aussi le premier •qui, au mois d'octobre 1783, c'est-à-dire quelques mois seulement après l'époque où les frères Montgoifler firent flur brillante expérience d'Annonay, eut le courage de se frayer une nouvelle route dans les airs, à l'aide des ballons. La Tille de Boulogne-sur-Mer, près de laquelle eut lieu la chute de Des Rosiers, a fait élever, à sa mémoire, un monument modeste, naguère en ruine, et que la Société académique de cette même ville vient généreusement de restaurer, en honorant ainsi, une «econdc fois, le courage malheureux d'un savant qui lui fut étranger. {Note de l'édition de 1829.)

gravité sur ses différentes parties, diminué et du poids du volume de fldide qu'il déplace, et de la résistance B, qu'il éprouve, à chaque instant, de la part de ce fluide. On a donc, dans de telles hypothèses,

ce qui donne (HO]

i; P-PjZ^— n — P gR

/ '~^^{1I'hnp)Q'^^H-^np (n-^np)Q'

et le mouvement de descente s'accélérera continuellemeoi tant que le poids F — P' du corps, dans le fluide, surpasse» la résistance R, opposée par ce dernier. Mais, de même que pour le cas ci-dessus des ballons, il s'accélérera de moins eo moins, attendu que R croit très-rapidement avec la vitesse V du corps; il arrivera même bientôt un instant où il ne s accélérera, pour ainsi dire, plus du tout, quand R approchera d'être égale à P — P', ou que V différera très-peu de la valeur fournie par l'égalité

P~P' = R = frDA — , ou .k\' = !ig^ /S

si l'on continue à admettre la loi de résistance du n^^BSi.

Ainsi, encore, le rapport de t' à /, variant désormais de quantités extrêmement petites, le mouvement tendra à devenir uniforme, et ii le deviendrait rigoureusement, si le mobile pouvait effectivement acquérir la vitesse limite dont il s'agit* Mais, comme le rapport inverse du temps / à raccéléralion correspondante v de la vitesse, converge, dès lors, vers l'infini, on se trouve ici dans des circonstances analogues à celles qui nous ont occupé au n*» 44.2, circonstances dont nous renverrons la discussion approfondie à l'un des articles ci-après.

D'ailleurs ces niêmes circonstancee supposent essentiellement queP— P' surpasse R, dès l'origine du mouvement, ou à l'instant de la descente du mobile; s'il en était autrement, si la vitesse initiale rendait R plus grande que P— P', P c^^' tinuant à surpasser F, comme on vient dele supposer, la ^^' tesse, loin de s'accrottre, serait évidemment diminuée ou re-

DES RfiSISTÀNCBS. 709

tardée par une force

et le serait continuellement jusqu'à l'instant où la résistance R ^e trouverait assez amoindrie pour n'être plus égale simplement qu'à l'excès du poids absolu P du corps, dans le vide, sur le poids P' du volume de fluide qu'il déplace; ce qui arriverait précisément pour la vitesse fournie par Tune ou l'autre des équations de condition déjà posées ci-dessus.. * Cette vitesse étant la même que celle du cas précédent, quand le corps et le milieu sont aussi les mêmes, on voit que, en général, quelle que soit r énergie avec laquelle un corps serait lancé verticalement^ de haut en bas, dans un fluide indéfini et homogène d'une densité moindre que la sienne propre ^ la vite'ssé de ce corps convergerait , tendrait sans cesse vers une même limite y qu'il est possible de calculer à V avance ^ mais qu'il n'atteindrait pour ainsi dire jamais.

Enfin si le poids spécifique du mobile était inférieur à celui du fluide ou que P' surpassât P, la vitesse serait de plus en plus retardée, tant par l'action de P' que par celle de la résistance R; de sorte qu'on aurait alors, pour la force retardatrice eflFective, ^

quelle que fût la valeur de cette résistance ou de la vitesse. La somme R,-+-P' surpassant donc constamment P, il est clair que le mouvement finira par s'éteindre complètement; et, comme on aura à cet instant

V=0, R=i:0, FrrzP'- P,

force toujours dirigée de bas en haut, on voit que le corps tendra aussitôt à rebrousser chemin, ou à remonter en vertu de cette autre force, désormais accélératrice,

H suivra donc dès lors absolument les mêmes lois que celles qui se rapportent à l'ascension des ballons (448 et 449); ce qui nous dispense de poursuivre davantage l'examen de son mou-

vement. Ce même cas est d'ailleurs analogue à celui que pré* sente un corps dense lancé, de bas en haut, avec une certaine vitesse, et qui, parvenu à sa plus grande élévation, redescend ensuite par l'action prépondérante de son poids sur celle des pressions extérieures, ou du poids du volume d'air déplacé.

k&i. Exemples particuliers et faits généraux relatifs à la plus^ grande vitesse de chute des corps dans les fluides, — Dans le cas particulier du boulet de 24 du n"* ^38, dont le poids, dans l'air, P — P' = 12*^*, le mouvement, s'il était suffisamment prolongé, deviendrait uniforme à Tintant où l'on aurait

12>»rr: OjOOIO^SSAf V*.

Or on voit de suite, d après la Table du numéro déjà cité, que cette condition est satisfaite par une vitesse d'environ 125 mètres par seconde, à laquelle correspond (&2o) une valeur du coefGcient k de la résistance, qui doit peu différer de 0,7 1-4- 7X0,06 =0,725. Telle est donc aussi la plus grande vitesse qu'un boulet, de ce poids et de cette dimension, puisse acquérir en tombant verticalement dans l'air; et c'est aussi vers cette limite inférieure que tendrait la vitesse d'un boulet quelleque fût la rapidité de son mouvement initial de descente.

Cette même vitesse limite diminuerait évidemment avec le poids spécifique du projectile par rapport au milieu. Par exemple, on la trouverait respectivement de 207, 4^ et 43 mètres par seconde environ, pour des boules de même grosseur, en platine, en glace ou eau congelée et en bois d'orme, dont les poids seraient à très-peu près, de 36 kilogrammes, 7^Si et i''<,36. Elle diminuerait pareillement avec la grosseur ou le diamètre, quoique dans une moindre proportion : ainsi, pour des globes de même densité, mais dont le diamètre serait seulement de yjXo"»,i48 ou 5""», 9, elle se trouverait réduite à 7 environ des valeurs ci-dessus, et plus particulièrement, à jX 4^'" = 9"» ^ pour wï^G t>î*'6 dô glace dont la grosseur serait à un peu près celle des grêlons ordinaires, lesquels, en réalité, doivent acquérir des vitesses de chute beaucoup moindres, à cause de l'excédant de résistance occasionné par leur forme anguleuse et la rotation qui peut en résulter.

Au surplus, l'influence du diamètre et delà densité devient tout à fait explicite et manifeste quand, dans la relation générale