RAPPORT DE LA RÉSISTANCE

Du coin triangulaire à faces planes, à celle 1 » » .

. ° , ,. ,r , Jgo^Borda 0,718

de bà base rectangulaire, 1 angle au som- 1 X « nj . i

. ,^ . , I 60" (M.) o,5io

met étant de \ '

Du coin triangulaire à faces courbes, à celle de sa base rectangulaire (Borda) 0,390

Du demi-cylindre à base elliptique ù celle de sa base rectangulaire { Borda) o,43o

Du demi-cylindre circulaire à celle de sa base rectangulaire (Borda) o, 570

De la convexité du cône à celle de sa base ( ?^o /ij \ ^'??!

circulaire, l'angle au sommet étant de \ ^ ^ ,» /û .'.' • • • • • «» 4

l 6i''24'(Hutton;.. . o,433

De la demi-sphère à celle de la sphère entière (Borda et Hutton) 0,990

^ , , . ,. X „ , 1 r ( Mov'* d'après Borda o.ioS

De la demi-sphere a celle de son plan dia- ) „ ' ^ '^ ,

,. , *^ { lluUon o,4i3

metral : J ,r. , ^

( vince 0.403

4.25. Observations diverses sur ces résultats. — On doit regretter que les résistances de chaque espèce niaient point été comparées directement à celles de plans minces, de même forme et surface, que les bases des divers corps indiqués au tableau, car elles eussent mis à même d*apprécier l'influence comparative des poupes isolées. Tout ce qu'il est permis de conclure de Tensemble des résultats obtenus par Ilutton, dans des circonstances qui, malhcurousemcnt, ne peuvent pas être considérées comme absolument identiques, c'est que la pre-

DBS RÉSISTA!^CES. 667

mière de ces résisiances, celle des plans minces, eût été généralement trouvée un peu moindre que la seconde, celle des mêmes plans accompagnés de leurs poupes, et cela dans une proportion d'autant plus sensible que la saillie de cette poupe eût, elle-même, été plus grande par rapport aux dimensions transversales de sa base. C'est ainsi, par exemple, que, pour les bases de l'hémisphère et du cône soumis à l'expérience par Hutton, la résistance, dans l'air, et sous des vitesses de 3 à 4 mètres, a surpassé de o,oi et 0,02 environ, de sa valeur, celle du plan mince correspondant; ce qui est sensiblement d'accord avec le résultat qu'on déduirait des données d'expé^ riences et de la formule rapportées au n® k\k, d'après M. le colonel Duchemin, pour le cas des prismes, lorsque, dans la vue de découvrir spécialement la part d'influence due à la saillie d'une poupe adaptée à un plan mû perpendiculairement dans un fluide en repos, on a le soin de prendre cette saillie pour la valeur de L dans la formule.

On peut aussi remarquer, avec cet officier supérieur, que les nombres ofi'erts par les résultats des expériences de Borda et de Hutton, sur la résistance des prismes triangulaires et des cônes, suivent, à très-peu près, la loi du sinus des demiangles aux sommets ou des angles d'incidence, à cela près encore de l'influence particulière et ici très-faible, due à l'allongement même de chacun des corps. Ces différentes circon> stances, jointes à ce que le rapport des résistances doit, d'après les observations du n® 401, rester à peu près le même dans le mouvement reciiligne et le mouvement circulaire, permettraient de déterminer, par le calcul, la résistance absolue des corps indiqués au tableau ci-dessus, si celle des plans minces était exactement connue. Prenant, par exemple, avec M. Duchemin (414), /r = 1,254 pour les coefficients des plans minces, mus directement dans l'air ou dans l'eau, celui de la sphère entière serait moyennement (424)

ce qui s'écarte peu de la valeur la plus probable de ce coefficient, comme on le verra bientôt. La résistance du cylindre circonscrit à la sphère serait, dans ces mêmes hypothèses, >- X 0,5 16 = 1,29 a très-peu près.

658 MÊCÀlflQUE INDUSTBIELLB.

{{•26. Résultats des anciennes expériences relatives aux sphères, — Il convient toujours de distinguer entre eux les résultats des expériences qui ont concerné le mouvement circulaire et le mouvcnoent rectiligne.

Expériences de Borda et de Hutton^ relatives au mouvement circulaire. — Pour des sphères de 5 à 6 pouces de diannètre, mues circulairement dans Tair ou dans l'eau, à rextrémité d'un volant dont le rayon différait peu de i"',3o. Borda et Hutton ont trouvé, sous des vitesses médiocres,

R = A-/>AH et A* = o,56, /r = 0,594,

respectivement. Hutton prend exactement A- = o,6o, pour les vitesses de 1 mètres par seconde, dans l'air, et il fait remarquer que la résistance doit être augmentée de \ environ, quand on passe d'une sphère de o™,i2i de diamètre à une autre de o*", 162; circonstance qu'il faut toujours attribuer (391) à la nature particulière du mouvement (*); car, dans d'autres expériences relatives au mouvement rectiligne de sphères ou projectiles dont les diamètres ont varié entre a,oo et 3,55 pouces n glais, les valeurs de k n'ont elles-mêmes varié que de 77 à jj sous des vitesses d^ 36o à 5 10 mètres par secondé.

Anciennes expériences de Désaguilliers et de JVewlon sur la chute verticale de globes dans l'air et dans Veau (**). — Le résultat de ces expériences, où le mouvement était varié, a été soumis au calcul, par Dubual, en ayant égard (380 et 382) à l'influence de la proue et de la poupe fluides [Principes d'H)-^ draulique, S*' Partie, art. 59.9, 55o et 562). Pour les expériences

( * ; Pour le cas tics sphères, la formule de la >ote du n® 399 dcvipiit, d*apm M. Duchemiri,

dans laquelle r dési(;ne le rayon de la sphère, / la distance de son centr« a l'axe, 7v le nombre 3,i/|i(), A le coefficient de la résistance dans le mouvpmeat rectiligne, que l'Auteur suppose ici égal ù * X i .28 ou aux o,^ de celui du olindre circonscrit à la sphère (425), d'après les données d'une théorie partifiilièrc de la résistance des corps ronds.

(**) Livre II des Piincipes mathématiques de Ja philosophie naturelle.

DES RÉSI8TANCB8. 659

entreprises par Newton seul, sur la chute verticale, dans l'eau, de différents globes de 6 à i5 lignes de diamètre, la valeur de fr a varié depuis 0,4^7 jusqu'à 0,60, même en rejetant les expériences anomales, et l'on avait moyennement /r=:o,523 pour des vitesses inférieures à o™,8, par seconde; néanmoins Dubuat admet, d'après le résultat de ses vues théoriques et expérimentales, la valeur A' = o,5o, qui se rapproche beaucoup de la moyenne des résultats fournis par d'autres expériences de Désaguilliers, aidé de Newton, sur la chute, dans l'air, de globes de 5 pouces environ de diamètre, expériences pour lesquelles k n'a varié qu'entre 0,497 et o,5i6, sous des vitesses finales d'environ 4 mètres par seconde.

Mais ces dernières expériences, exécutées à l'aide de vessies rendues à peu près sphériques, lors de l'insufflation, présentent beaucoup d'incertitudes, et elles sont contredites par le résultat de celles entreprises antérieurement par Newton, sur la chute verticale, dans l'air, de globes en verre de même diamètre, expériences qui ont donné, toujours d'après les calculs de Dubuat, /r = 0,537 moyennement, sous des vitesses de 0 à g mètres par seconde. Si une pareille différence, dans les résultats, ne devait pas être purement rejetée sur la différence même de forme et de nature des globes, il faudrait nécessairement attribuer l'accroissement du coefficient k, dans les dernières expériences, à l'augmentation de la vitesse et aux incertitudes inhérentes à la détermination de la véritable densité de l'air.

Expériences de M, Beaufoy relatives au mouvement rectiligne uniforme. — Dans ces expériences, où une sphère de I pied environ de diamètre a été mue horizontalement sous la surface de niveau d'un bassin d'eau, on a eu, d'après les calculs de M. Morin, /r = 0,870; mais nous avons déjà fait remarquer (395) combien ces expériences offrent d'incertitudes.

427. Résultats des récentes expériences de MM, Piobert, Morin et Didion, — Une première série d'expériences, exécutées à Metz, en i836, par ces officiers, sur des globes de diverses dimensions, mus verticalement dans l'eau avec des

66o MÉCANIQUE INDUSTRIBLLB.

viiesses uniformes de o à 5 mètres par seconde, les oni conduits à représenter la résistance de ces globes par la formule

analogue à celle du n"* 403, et dans laquelle \t:€I* désigne la surface frottante ou antérieure de la sphère, et ^Trrf» l'aire de la section transversale de son grand cercle.

Pour des vitesses au-dessus de 3 mètres, on pourrait ainsi prendre, à moins de 777 près, en négligeant le terme relatif au frottement,

R = 22,05 ^V' = 22, o5AVs-

ce qui donne au coefficient de la formule R=:Ar/>AH, la valeur o,4^^> qui paraîtra bien faible en comparaison des précédentes.

Les expériences dont il s*agit ont été étendues d'ailleurs à des corps de formes très-variées, notamment à des cylindres armés ou non de cônes et d'hémisphères à leurs parties postérieure et antérieure; les résultats qu'elles offrent s'écartcDt généralement beaucoup de ceux jusque-là obtenus pour des corps de forme analogue. Ainsi, par exemple, la résistance des cylindres circonscriptibies à une sphère et mus suivant leur axe, y a été trouvée plus du quadruple de celle de la sphère inscriie, à vitesse égale; ce qui conduirait à la valeur /i=: 1,825, qu'il est impossible d'admettre. Ces motifs et ceux qui ont déjà clé déduits au n" 405, pour le cas des surfaces planes, nous d<'*terminenl à passer sous silence les résultats dont il s'agit, en attendant les vérifications ultérieures auxquelles MM. Pioberl, Morin et Didion ne manqueront pas de les soumettre.

Dans d'autres expériences sur la pénétration de projectiles en fonte, de divers diamètres et densités, au travers d'un bassin d'eau à peu près indéfini et parallèlement à sa surface de niveau, ces mêmes observateurs ont trouvé que, sous des vitesses initiales de 80 à 55o mètres par seconde, et des diamèircs d, qui ont varié entre 3 et 6 pouces, on parvenait à représenter, d'une manière suffisamment exacte, les portées

DES RÉSISTANCBS. 66 1

OU amplitudes des pénétrations, en prenant pour formule de la résistance

et négligeant» d'ailleurs, tant la considération du choc vif qui s'opère à Ventrée des projectiles dans le bassin, aux instants où le régime, la permanence des filets (379), ne sont point encore établis, que Tinfluence des masses liquides (380 et 382) qui accompagnent le corps dans le surplus de son mouvement (*). D'après cette formule, on aurait donc moyennement, A* = 0,452, nombre qui surpasse de très-peu le résultat cidessus, relatif aux faibles vitesses.

(*) M étant la masse et V, la vitesse initiale du projectile, M' la masse de la proue et de la poupe fluides qui raccompagnent après les premiers instants du choc, calculée comme on l'a dit au n® 380, U enfin la vitesse commune à ces masses à la fin de ce choc, il semble qu'en faisant d'ailleurs abstraction des effets de réaction occasionnés par l'inertie et l'élasticité de volume (17 et 18) des masses environnantes, qui, à ces premiers instants, jouent un très-grand rôle, il soit ici permis de supposer que le partage des quantités de mouvement entre M et M', s'opère comme dans le cas de deux corps libres (155 et 158), privés d'élasticité, et qui acquièrent ainsi, vers la fin du choc, une vitesse commune

en vertu de laquelle le mouvement retardé de la masse totale M H- M' a lieu suivant les lois ordinaires (382), et d'où résulte, d'ailleurs, une perte de Ibrce vive initiale mesurée (161) par l'expression

Ainsi, par exemple, le volume du liquide entraîné étant (380) les o,6 environ de celui du projectile, et la densité de ce dernier étant supposée (35) 7,3 ibis environ celle de l'eau, on aura. M : M';: 7,2:0,6 X 1 et partant

'«-7^« = ^"' U = iîv. = o,!).V.. jj^,MV; = -LvMÎ.

de sorte que la perte de force vive serait le ~j de la force vive initiale du projectile, et la vitesse qu'il conserve avec la proue iluide les || de celle qu'il possédait avant le choc. Dans la réalité, la perte de vitesse et de force vive doivent être plus grandes, à cause de la réaction des masses environnantes et du rejaillissement brusque du liquide, qui aurait lieu, en sens contraire du mouvement, dans le cas où le projectile serait introduit dans le milieu, normalement à sa surface libre ou de niveau.

662 MfiCANIQOB 1NDU8TB1BLL1.

Ces dernières expériences ont, de plus, donné lieu à diverses remarques fort curieuses sur la nature des mouvements. excités, soit à la surface, soit à l'intérieur du milieu, dont l'ineompressibilité presque parfaite a, ici, occasionné des effets de réaction très-puissants, sur les parois solides et libres du bassin. En ce qui concerne particulièrement les effets subis par les projectiles, les Auteurs ont trouvé qu'à la vitesse de 3oo à 4oo mètres, par seconde, pour les obus creux de 12, et à celle de 25o mètres environ pour les obus de 6 pouces, ils étaient presque tous brisés dans leur choc contre le liquide. EnGn ces expériences ont montré clairement l'influence de la masse liquide qui accompagne les projectiles dans leur mouvement, ou plutôt celle du courant postérieur qui constitue leur sillage : ce courant les a entraînés bien au delà de la position qu'ils eussent naturellement atteinte, et, parfois, il les faisait dévier latéralement et dans une direction presque perpendiculaire à celle de la vitesse initiale, vers la fin de leur course.

Lois de la résistance de Cair à de grandes vitesses.

428. Recherches de Robins et de Hutton. — Les résultats jusqu'ici exposés pour l'air, ne concernent que de médiocres vitesses, comprises depuis i jusqu'à 7 ou 8 mètres, par seconde; mais nous avons averti (389) que la loi de la résistance changeait, d'une manière sensible, pour des vitesses beaucoup plus grandes, telles que celles des projectiles sphériques de l'artillerie. Robins et, surtout, son continuateur, Hutton ont entrepris des expériences suivies dans la vue de découvrir cette loi. D'après ce dernier Auteur, les valeurs du coefficient /r de la formule

R = A7>AH = A-;>A— , seraient données approximativement, par cette Table :

4oo

5oo

aoo

Hutton a aussi essayé de représenter le résultat de ses expériences par une formule empirique, mais cette formule, de même que les nombres ci-dessus, a été obtenue à l'aide de méthodes d'interpolation qui laissent beaucoup à désirer, et dont les résultats ne s'accordent pas exactement avec les effets naturels, surtout lors des faibles et des grandes vitesses. Pour celles-ci, comme Ta remarqué M. Piobert, le coefficient k a principalement été déterminé par les plus faibles des résultats de l'expérience et non par leur moyenne, de sorte que l'existence du maximum de k n'est rien moins que démontrée. Quant aux petites vitesses, on peut juger, par ce qui précède (^•SG), que les valeurs de A*, indiquées au tableau ci-dessus, par cela même qu'elles ont été obtenues au moyen d'une machine de rotation, sont sensiblement trop fortes quand il s'agit du mouvement rectiligne. Enfin ces données ne mettent point en mesure de tenir compte de l'influence qui, d'après les expériences assez peu certaines de Hutton ( 426), pourrait être due à l'agrandissement du diamètre des projectiles.

Sous ces différents points de vue, et pour l'avantagQ des personnes qui s'occupent de balistique, nous croyons utile de mentionner les résultats des recherches spéciales entreprises par MM. Piobert et Duchemin sur cette matière, résultats qui se trouvent consignés dans les Mémoires qu'ils ont présentés au concours de i836, pour le grand Prix de Mathématiques de l'Académie des Sciences.

429. Recherches de M. Piobert, — La discussion approndie et comparative des résultats fournis directement par les expériences de Robins et de Hutton,. sur les projectiles d'un petit calibre, lancés dans l'air à de grandes vitesses, et par celles de Newton, Désaguilliers, Borda, sur les sphères d'un plus grand diamètre, mues circulairement à de petites vitesses, cette discussion a conduit M. Piobert à représenter leur ensemble avec une approximation très-sufOsante pour les applications pratiques, parla formule

Rz=o,oo3A-|- A(i -f- o,ooi7V)V* VojOiîA -h 0,00121,

sous la température et la pression atmosphérique ordinaires ou moyennes, pour lesquelles la densité p de l'air est sup-

posée de —y X I ooo^«, ou i''Si76 environ, V représeniani toujours la vitesse par seconde, et A la surface d'un grand cercle du projectile, évaluées en mèlres linéaires ou carrés.

Le premier terme, le terme indépendant de la vitesse dans cette formule, proviendrait essentiellement du frottement ou de l'adhérence du mobile et de l'air; il varierait essentiellement avec la nature de la substance et le degré de poli de ce

mobile; le facteur v'o,oi2A + 0,001*21, également indépendant de la vitesse, serait relatif à l'accroissement de la résistance, par rapport à l'étendue des surfaces frottantes (&26); enfin le facteur 14- 0,0017 V devrait, conformément à ce qui a été exposé au n*" 389, provenir spécialement de l'accroissement de densité subi par le fluide, en avant du boulet.

Nous ne nous permettrons qu'une seule remarque sur cette formule; c*est qu'en y faisant entrer la considération des résultats de Borda et de Hutton, relatifs à la résistance dans les mouvements circulaires, il est à craindre qu'elle n'attribue une influence, tantôt trop grande et tantôt trop faible, aux dimensions transversales des projectiles. L'Auteur, au surplus, a reconnu par lui-même, que cette formule donnait des résultats un peu trop forts pour les plus gros calibres de l'artillerie et les petites vitesses; il pense qu'en attendant la fin des nouvelles expériences entreprises, à Metz, par la Commission du tir des bouches à feu, on pourra s'en servir avantageusement pour les calibres en usage, toutes les fois qu'il s'agira de grandes vitesses initiales.

430. Recherches de M. Duchemin, — Cet officier supérieur, qui n'admet nullement, comme on l'a vu (391), l'influence des dimensions absolues des projectiles, est arriva?, à l'aide de considérations fondées en partie sur le raisonnement, en partie sur les données de Texpérience, à la formule

applicable également aux projectiles spliériques de rartillerie, et dans Ia(|uelle h, A, p, V ont les significations que nous leur avons constamment attribuées, et V'=4'^'">M représente la vitesse de rentrée de l'air dans le vide absolu, pour les circon-

Stances atmosphériques ordinaires (Note du n" 389). Mais ce

résultat, dans lequel le facteur f i H- ^ J porte principalement

sur la densité p de Tair, n'aurait lieu que pour les vitesses V inférieures à V'; et, passé ce terme, il conviendrait de remplacer ce facteur variable par le nombre constant 2, attendu que M. Duchcmin suppose, avec Robins, Euler, Hutton et Lombard, que la densité du fluide cesse elle-même de croître à Tinstant dont il s'agit. Les résultats ci-dessus de Hutton semblent indiquer, en effet, qu'aux environs de cette même vitesse y = 416", 34, les valeurs du coefficient k atteignent leur limite supérieure; mais, en admettant l'existence de celte limite, qui n'est nullement démontrée comme on l'a vu, il répugne mathématiquement de supposer que les valeurs de k demeurent ensuite constantes au lieu de décroître pour des vitesses de plus en plus grandes, conformément aux hypothèses de Hutton; il est évident que la continuité ne peut être ainsi rompue, et que, sous ce point de vue tout au moins, l'hypothèse de M. Duchemin demanderait à être soumise à des vérifications ultérieures, aussi bien que la formule ci-dessus de M. Piobert, où le facteur (i-h 0,0017V) est censé croître indéfiniment avec la vitesse du projectile. Les expériences délicates et précises commencées depuis plusieurs années, à Metz, sous la direction spéciale de ce savant officier et de M. Morin, expériences continuées avec la même persévérance et le même succès par M. Didion, aidé principalement de MM. Ferronnier, Boileau et Virlet, ces expériences viendront bientôt, sans doute, dissiper toutes les incertitudes relatives à Ja véritable loi de la résistance des projectiles dans les mouvements rapides (*).

(*) M. le Général Didion (Traité Je Balistique; Paris, 1860), en interpolant les résultats obtenus à Metz par la Commission des principes du tir (1839 à i8^|o}, a été conduit à la formule suivante, pour des vitesses comprises entre 3oo et joo mètres :

R = Ax 0,027 V'(i-+- 0,0033 V).

M. Hélie ( Traité de Balistique expérimentale^ propose les deux formes suivantes :

• R= A X 0.039V* (i -+-o,ooooo':»o3V*)

et

666 MÊCÀMIQUS IMDUSTAIILLS.

Questions concernant la résistance et le mouvement uni^ formes des corps dans l'eau et dans l'air.

431. Préparation de la formule ^ calcul de la densité des gaz. — Les applications les plus ordinaires des règles du n** 382 concernent l'air et l'eau; il est donc nécessaire de déterminer d'abord la valeur de la densité p qui leur correspond. Nous avons vu (34) que, pour l'eau, on a sensiblement p == I ooo^< dans les cas ordinaires; quant au poids du mètre cube d'air, il varie (^•O) avec la température et la pression barométrique, et il devient nécessaire de le calculer dans chaque cas particulier, comme il suit.

Supposons que la température actuelle de l'air soit de 12 degrés centigrades, et que la colonne de mercure qui, dans le baromètre, mesure la tension de cet air, suit de 76 centimètres, ce qui est, à peu près, la température et la pression moyennes qui répondent à l'automne et au printemps dans notre climat. Suivant la Table du n<* &0, la densité ou le poids du mètre cube d'air à zéro de température et 76 centimètres de pression est de i^Saggi; cherchant donc, d'après la loi de Mariotte (16 et 87), et celle de Gay-Lussac (26), quel volume occuperait cette même quantité d'air à la pression et à la température ci-dessus, nous en conclurons aisément sa densité, son poids sous l'unité de volume. Supposons d'abord que la pression o™, 76 restant la même, la température s'élève

d'après les résultats, de nouvelles expériences, faites par la Commission du tir (i856 à iSâ;), à Tuide de l'appareil électro- balistique, on aurait

R = A xo,oooi.'|i6 V.

Des recherches expérimentales, entreprises de 1859 à i8(m par la Commission de la Marine, sur des boulets allongés, ont conduit ii la Formule R = AKV*, A représentant la section de la partie cylindrique; le cœflicient K Tarie un peu avec la forme du projectile {Traité de Balistique de M. Hélie).

M. Le howUmQé {Études de Balistique expérimentale; Bruxelles, i8(>8) pr»>-

pose la formule

R = Axo.oooo6',68V».

M. Ma(;nus (Berlin, i8.3'i), M. Rutzky (Vienne, 1861), et le Général rwsse Magesski {Revue technologique militaire; i865) ont étudié l'influence de la résistance de l'air sur la déviation des projectiles. (K.)

DBS RÉSISTANCBS. 667

à 12 degrés, le volume» à zéro, deviendra (26 ), puisqu'ici le gaz est libre de se détendre sous celte pression,

12 X o%oo375 = i»«H-o"«,o45 = i"%o45.

me

Cherchant, de même, ce que ce dernier volume devient à la pression de o"", 75, on aura, d'après la première des lois citées, la proportion

75* : 76* :: i"So45 : x = i«'«,o45 x ^ = i^soSg.

Mais ce volume d*air pèse i^>,299i; donc i mètre cube

d*air pareil pèsera — ' ^ = i^«,2267, et par conséquent,

c'est là aussi la densité de Tair à la température de 12 degrés et sous une pression barométrique de 76 centimètres; celle de l'eau étant 1000 kilogrammes, on voit que la première est environ les -^^^ = 0,0012:1'], ou 777 de la seconde, tandis qu'à zéro et sous 76 centimètres de pression elle en est les -'^•^' = -j-i^ à très-peu près, d'après le résultat des pesées

rigoureuses de MM. Biot*et Arago.

La plupart des Auteurs qui se sont occupés de balistique, ont pris la densité moyenne de Tair égale à 77; de celle de Feau, comme on peut le voir par l'exemple du n® &29; ce qui suppose la température un peu plus forte et la tension barométrique un peu moindre que 12 degrés et 76 centimètres.

En général, si nous nommons n le nombre des degrés centigrades qui indiquent, à un certain instant, la température de Tair, et h la hauteur barométrique, en centimètresy qui répond à sa tension, on trouvera, en raisonnant absolument comme on vient de le faire dans un cas particulier, que la densité py ou le poids du mètre cube de cet air, aura pour valeur la quantité

formule qui donnera de suite celte densité sans passer par la série des raisonnements ci-dessus, et qui permettra aussi de calculer la densité d'un autre gaz quelconque, en y rempla-

668 MÉCANIQUE INDCSTAIBLLE.

çani le poids i^^aggi de l'air à zéro ei 75 centimètres de pression, par celui qui, dans la Table du n" &0, répond au gaz dont il s'agit. Il est d'ailleurs entendu, relativement aux vapeurs (3 et 5], que leur quantité est supposée rester la même (16); c'est-à-dire, que cette quantité n'est ni augmentée par la vaporisation d'une nouvelle portion de liquide, ni diminuée parla condensation d'une portion même de la vapeur.

D'après ces données, la formule générale du n** 382, qui sert à calculer la résistance uniforme des fluides, Reviendra pour l'eau ordinaire, V étant toujours la vitesse relative et H la hauteur qui correspond,

R = 1 000 /r AH = ^-^^-ôô A- AV^ = 5 1 A-AV%

à très- peu près. Pour l'air considéré dans les circonstances atmosphériques ci-dessus, c'est-à-dire à 12 degrés centigrades de température et 'j5 centimètres de pression barométrique, on aura

R = i,2267/rAH=:-^-4r^*^A,V» = o,o6253AAV';

ce qui diminuera le nombre des opérations à effectuer dans chaque cas particulier.

432. Exemples concernant la navigation des bateaux sur les canaux et les rivières à grande section. — Considérons un des grands bateaux qui naviguent sur la Moselle, et dont la forme, assez avantageuse, est à peu près telle que l'indijque la fig. 74, PI- III, en plan, coupe et élévation. Supposons que sa plus grande largeur, prise extérieurement et au niveau de l'eau ou de la flottaison, soit de 3 mètres; que la profondeur du fond au-dessous de ce niveau, ou le tirant d'eau, soit de o"*,7o; l'aire A, de la section plongée dans le fluide, sera un peu moindre que 3'" x 0'", 7 =z 2™*i, 10; soit i^^^jôo la valeur exacte de celte aire, qu'il sera toujours facile de calculer, dans chaque cas (190) rigoureusement. Les bateaux dont il s'agit ont une longueur qui surpasse notablement six fois leur plus grande largeur; s'ils étaient sans proue ni poupe, ou que ce fussent de véritables prismes terminés par des plags perpendiculaires à leur âxe, la valeur du multiplicateur k serait (^i^lo) au plus

DBS bésistàncbs. 66g

i,io, attendu qu'ici le bateau est censé se mouvoir dans un fluide eiî repos. Mais, comme il y a une poupe, on doit d'abord (M6) diminuer ce nombre de tî de sa valeur, c'est-àdire de o,ii, ce qui donne A* = 0,99. En outre, le bateau a une proue dont les faces latérales sont raccordées, par des arcs de cercle, avec les flancs, et dont le dessous est un plan incliné d'environ y d'angle droit, raccordé pareillement avec le fond; on peut donc croire que la résistance ou la valeur de h se trouve réduite (ibid.), au nnfbins à j de 0,99 ou à o,33, nombre qui paraîtra, en effet, bien fort, si on le compare à celui (4-22) que M. Morin a obtenu pour des bateaux d'une forme analogue. Prenant néanmoins A* = o ,33, pour les bateaux dont il s'agit, la résistance aura ici pour valeur particulière

R = 1 000 X 0,35 X i'"S6H =528H, ou R = 26,93V^;

le canal étant censé offrir une largeur et une profondeur telles qu'il devienne inutile {kiS) de s'ocuper de l'influence de la proximité de ses parois par rapport à celles du bateau.

Supposant donc que celui-ci se meuve dans une eau tranquille, avec la vitesse uniforme de i mètre, par seconde, on aura, parle calcul direct, ici très-facile, V'= 1" x i" =1*' et R = 26^», 93 : par la Table des hauteurs dues aux vitesses, placée à la fin de ce volume, on trouverait H = o",o5i, et par conséquent, R = 528 X o,o5i = 26*'«, 93; valeur qui coïncide exactement avec la précédente, mais qui aurait pu en différer d'une très-petite fraction, attendu que les coefficients des formules ci-dessus et les nombres de la Table n'offrent que des valeurs purement approximatives.

La quantité de travail que devraient dépenser directement des hommes employés à haler le bateau avec la vitesse uniforme de I mètre, serait donc de 26^^,93 Xi" = 26^»™, 93, qui, d'après le tableau de la page 252, ne réclamerait guère moins de quatre hommes si le mouvement devait être continué une journée entière à cette vitesse : à la vitesse de o™,6 seulement qui est celle (205) de l'allure ordinaire des hommes tirant horizontameni, la résistance se réduirait à o,36x 26^S93 = 9^«,695, et le travail à o"",6x 9,695 = 5^«"*,82, quantités dont la dernière n'est que le j de sa correspondante ci-dessus, et pourrait être facilement donnée par un seul homme.

670 MÉCANIQUE IND08TBULLB.

Ces circonstances auraient Heu, à peu près, dans les canaux intérieurs de la ville de Metz, oii la Moselle n'a qu'une vitesse insensible ; mais s'il s'agissait de remonter la rivière dans des endroits où la vitesse de Teau atteint i^^s par exemple, en faisant toujours avancer régulièrement le bateau, de 1 mèlre à chaque seconde, par rapport aux rives, ce bateau étant alors choqué (382) avec une vitesse relative V, de i",2 -4- 1" = 2*,ao, la résistance deviendrait 26,98 x (2,2)*= i3o^«,34, et la dépense de travail, pendant le nlême temps, i3o kilogrammètres, en nombre rond, ce qui réclamerait (vox^z la Table du n^9M déjà cité) deux chevaux, au moins, si la marche devait être soutenue de huit à dix heures par jour.

Supposant, au contraire, que le bateau descende le même courant avec la vitesse de i"*,2 propre à ce dernier, il n'y aurait point de travail à dépenser, car la vitesse relative V serait nulle aussi bien que R; mais s'il devait descendre avec une vitesse de 2"^, 2 par seconde, la vitesse relative étant de 2",2 — i»,2 = i"», la résistance absolue serait, comme dans le premier cas, égale à 26^', 93, tandis que le travail aurait pour valeur aô^SgS X 2'»,2 = 59^«", 25, ^^ *® supposant directement effectué des rives où le moteur devait prendre b vitesse absolue de 2°^, 2.

La difTérencc de ce résultat avec les précédents, montre bien toute l'influence exercée par la vitesse relative du corps, du fluide et des rives, sur la dépense du travail moteur, qui, dans les hypothèses du n*» 382, est généralement exprimée par le produit ;>A(V±V')'XV; V étant la vitesse absolue du bateau ou du moteur et V celle du fluide. Ainsi, par exemple, on voit que, même pour une eau stagnante, ou V'=ro, le travail dont il s'agit, représenté par/iAV», croît ou décroît comme le cube de la vitesse, c'est-à-dire d'une manière bien plus rapide encore que la résistance simple.

433. Bemarques concernant Veffet utile du transport par bateaux, — Cet effet se déduit aisément de la connaissance du tirant d'eau, que nous avons supposé ici de o",7 et de celle des dimensions du bateau d'où dépend le volume de l'eau déplacée, et, par suite, la charge totale, qui, d'après le principe d'Archimède, doit être égale au poids de ce volume. Suppo-

DBS RÉSISTANCES. 67 1

sant, par exemple, que, pour le bateau ci-dessus, à forme sensiblement prismatique ou cylindrique, la longueur réduite de la carène, prise du milieu de la partie plongée, soit de 25 mètres, sa section d'eau A, étant d'ailleurs de i°^,6 environ, le volume du fluide déplacé sera de aS™ X i"**i,6 = 4o"% et son poids 4o ooo kilogrammes ou 4o tonnes ( 31 ). Supposant, d'un autre côté, que, par un calcul analogue effectué pour le cas où le bateau est déchargé , on ait trouvé, d'après le tirant d'eau que le poids du volume de liquide déplacé soit de 16000 kilogrammes, il en résultera que la charge utile, le tonnage, sera de 40—16 = 24 tonnes ou 24000 kilogrammes, poids qu'il faudrait d'ailleurs (212) multiplier par la distance parcourue pour obtenir l'effet utile ou pratique. Cet effet ne dépend nullement, comme on voit, de la vitesse du transport non plus que de la dépense de travail moteur, qui peut être indéfiniment amoindrie, ainsi qu'on l'a dit au n"" 93, pourvu qu'on réduise convenablement la vitesse relative du bateau et du fluide, et cela, quels que soient d'ailleurs la charge, le tirant d'eau et les dimensions du bateau. Ces données n'exer-» cent, en réalité, d'influence que sur le facteur A, de l'expression de la résistance, et le moteur n'ayant, par hypothèse, à vaincre que l'inertie du fluide et du bateau, il peut toujours produire son effet dans un temps sufflsamment long, quelque faible que soit d'ailleurs l'énergie de son action; mais cela n'aurait plus lieu évidemment si le système se trouvait soumis à des résistances, à des frottements, indépendants de la vitesse du mouvement, comme sembleraient l'indiquer quelques-uns des résultats d'expériences rapportés dans ce Chapitre.

Au surplus, nous avons admis jusqu'à présent que le bateau se mouvait dans un canal à peu prèsindéGni, en largeur et en profondeur, par rapport à ses dimensions transversales; il nous reste à montrer, par un exemple emprunté à l'excellent Traité d'Hydraulique de M. d'Aubuisson (p. 820), comment on peut tenir compte, dans les calculs, de l'influence respective de ces dimensions.

434. Exemple concernant la navigation sur les canaux étroits. — MM. d'Aubuisson et Maguès ont fait, sur le canal du Midi ou canal de Languedoc, près de Toulouse, des expé-

67 a MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

riences qui tendent à rectiGer, en quelques points, l'application des formules de Dubuat exposées dans le n*" 418.

La positiou du canal dont il s'agit offrait moyennement une section de ^26™% 55; une barque marchande, traînée par deux chevaux, chargée de 108 tonneaux, et dont la section transversale d'immersion, au repos, avait 6"^, 84 de surface, a parcouru uniformément, avec une vitesse moyenne de o^jBiy par seconde, un espace de 36-6 mètres; on avait donc (VIS)

Cette dernière valeur moindre que 6,46, montre qu'il serait ici nécessaire d'avoir égard à l'influence de la proximité des parois du canal sur l'intensité de la résistance.

Conformément au résultat des expériences de Bossut (&15), M. d'Aubuisson prend A'=:i,oo pour le coefflcient de la résistance d'un bateau sans proue, mû dans un fluide indéflni; ce qui donne (428) R = 5ifrAV» = 5ix6««!,84(o,8i7)» = a33^ pour la valeur de cette résistance, et, par la première des formules du n"" 418,

R' = T-?^!^ R = 1 , 44 X 233^1 = sas»^».

pour la résistance qu'éprouverait le même bateau, sans proue, s'il était mû dans le canal ci-dessus avec les circonstances indiquées. Enfin, M. d'Aubuissdn prend, pour l'introduire dans la dernière des formules du n** 418, ^ = 0,4, à cause de la forme obtuse et pou favorable de la proue et de la poupe des baieaux soumis à rcxpéricnce; ce qui lui donne

L'clTori moyen exercé par les deux chevaux et mesuré directement à l'aide d'un dynamomèlre (60) soumis à d'assez faibles oscillations, col etrorl, ramené h la direction du rbemin parcouru parle bateau ayant été de 120 kilogrammes ou les o, 52 seirfemcnl de celui que fournit la formule de Dubuat, M. d'Aubuisson en conclut que celte formule n'est point applicable aux grosses barques marchandes qui naviguent sur le canal de Languedoc, et ce fait lui parait confirmé par l'observation

DBS RÉSISTANCES. 673

journalière de la marche de ces mêmes bateaux : il pense que rexagéralion du résultat donné par la formule, doit principalemenl porter sur la valeur du facteur o,i83{i — 9) qui}' eYitre, et qu'il propose de porter, en conséquence, à 0,26 pour les bateaux en question; ce qui revient à remplacer le coefficient numérique 0,1 83 par o,44 environ.

Quant à l'explication d*une aussi énorme différence, elle peut, suivant nous, se trouver dans les faits déjà exposés au n"* 415, ou, plus spécialement, dans la différence du mode de balage, dans la difficulté que les bateaux, soumis à l'expérience par Bossut, et qui ont été l'objet des calculs de Dubual, éprouvaient à céder à faction des forces qui tendaient à les soulever, etc. Le même motif donne lieu de croire que les valeurs assignées, par la formule de Dubuat, à la résistance H' (418), sont également exagérées, et peut-être même, si Ton en juge par le résultat (422) des expériences de M. Morin, sur des bateaux d'une forme plus ou moins analogue, devrait-on rejeter une partie de la difTcrence sur f exagération de la valeur 0,4» attribuée, par M. d'Aubuisson, au rapport q. Quelle que soit, au surplus, l'opinion qu'on adopte, on voit combien 41 serait utile que de pareilles expériences fussent répétées sur des bateaux de la forme ordinaire, mus alternativement dans un canal à très-petite ou à très-grande section.

435. Exemples concernant les volants à ailettes. — Les lournebroches et les horloges qui reçoivent le mouvement par la descente de contre-poids, sont armés, comme on sait, de volants à ailettes planes et minces, fixées à l'extrémité de tiges ou de bras montés sur des axes de rotation : ces ailettes, en se mouvant circulairement dans l'air, éprouvent, de sa part, une résistance qui croît rapidement avec la vitesse que leur imprime le poids moteur, par l'intermédiaire de rouages, et elles servent ainsi à régulariser le mouvement ou à empêcher qu'il ne s'accélère indéfiniment, comme cela aurait lieu (113 et suivants), si aucune résistance ne s'opposait à la descente du contre-poids, ou si celle que lui opposent directement la broche, les rouages, etc., était constamment au-dessous de l'action qu'il éprouve de la part de la gravité.

Soit A = o'",o5Xo™,o6 — o""*i,oo3, l'aire de l'une des pa-

lettes censées perpendiculaires à la direeiion du chemin qu'elles décrivent circulaircment autour de Taxe; on prendr.) moyennenient, d'après les expériences de Borda, de Hullon et de M. Thibault (MO), /<- :- i,4 pour des vitesses comprises depuis zéro jus(|u'à 5 mètres par seconde; mais il faudra augmenter ce nombre (^2S) dans le rapport de 0,60 à 0,64 environ, pour des vitesses comprises depuis 5 jusqu'à 10 mètres; de 0.60 à 0,68 pour des vitesses de 25 à 5o mètres, etc. Supposons, par exemple, le rayon moyen du volant de i pied ou o™, 3^5, ce qui donne o™,(i5 :?< 3,i4«fi = 2'",o4 pour la circonférence décrite par le centre de la palette à chacune des révolutions, dont le nombre observé directement sera, en outre, supposé régulièrement de 1 14 à la minute, ou de 1,9 par seconde; on aura ainsi, à très-peu près :

et (431)

R = 0,06253 X 1,4 X o"'«ï,oo3x (3,88)» = o^SooBgS,

pour les circonstances atmosphériques ordinaires, résistance en elle-même assez faible, mais qui deviendrait

18 fois plus grande si la vitesse était quadruple ou de i5",5jt par seconde, et qu'il faudrait doubler s'il y avait deux ailettes de même surface, octupler au moins (400) si, en outre, les dimensions, les côtés de ces ailettes étaient eux-mêmes doublés, etc. Multipliant ensuite ces résultats par les vitesses cor respondantes, on obtiendrait les quantités de travail détruites par les résistances dans chaque seconde.

Ainsi , par exemjde, à la vitesse de 3", 88, 2 tours environ par seconde, et pour 2 ailettes de o"'*ï,oo3 de surface chacune, la résistance élantdeo^»,oo3()5 >c 2=0*^», 0079, '^ travail détruit par la résisiance serait de o*'»,oo79 >^ ^*">88 =: o'^«'",o3o65 dans le même temps. Admettant que le contre-poids qui mei en mouvement la machine, décrive uniformément un chemin de o'",oG par minute ou o'",ooi par seconde, et divisant les o^«'°,o3oG5, obtenus ci-dessus, par cette dernière vitesse, il

viendra So^^jôS pour la portion du conlre-poids(71) qui serait employée à vaincre celte seule résistance, dont la valeur devrait, en outre, être augmentée d'une quantité proportionnelle due au frottement des rouages intermédiaires, etc.

Ces résultats suggèrent d'ailleurs plusieurs réflexions qui n'échapperont pas aux esprits attentifs, et sur lesquelles il deviendrait peu nécessaire d'insister. D'un autre coté, il est bon de faire observer que, dans presque tous les mécanismes du genre de celui qui nou» occupe, et qui servent de régulateur ou de modérateur^ on se réserve, par un dispositif très-simple, la faculté de diminuer la résistance, pour ainsi dire à volonté, en donnant aux ailettes, par rapport à la direction du mouvement, diverses inclinaisons dont la Table du n" 402 permettrait de déterminer assez exactement l'influence; mais nous nous dispenserons également d'offrir un exemple d'un pareil calcul qui n'a rien de difllclle.

436; Calcul du travail absorbé par la résistance de l'air sur les roues hydrauliques. — Dans le n* 363, nous avons donné une idée de l'influence qui peut être exercée par le seul frottement des tourillons de ces roues ou des volants qui servent à régulariser le mouvement; afin de la comparer à celle quL provient de la résistance de l'air, nous considérerons une roue verticale armée de 5o ailettes planes et rectangulaires ayant 3 mètres de longueur dans le sens parallèle de l'axe, o"»,4 de largeur dans le sens des rayons, et dont le centre est situé à 3 mètres de distance de l'axe; ce qui donne

de circonférence moyenne à la roue, dont le dispositif est censé analogue à celui des roues qu'on rencontre fréquemment dans certaines usines hydrauliques. En supposant que le nombre régulier des révolutions ail été ici trouvé de dix-neuf en trois minutes, la vitesse à la circonférence moyenne dont il s'agit, sera, à très-peu près, de a mètres par seconde, et l'on calculera la résistance correspondante de l'air sur la circonférence moyenne décrite par les ailes, au moyen de la deuxième des formules du n** 404, dans laquelle on devra prendre ainsi

V = 2"», n = 5o, a = 3'"Xo'",4 = i"'ï,2,

ce qui donnera, abstraction faite de la résistance des bras, etc.,

Ri=o^«,ioo -+-(0,00684- o,ii8x5oX i,a)x4 = 3t8'^«,45,

pour la résistance rapportée au centre des ailettes planes, et

pour le travail correspondant par seconde, quantité assez faible si on la compare (363) à celle qui pourrait être détruite parle frottement des tourillons d'une roue d'aussi grande dimension, supposée exécutée en fer ou en fonte, mais qui acquerrait une influence prépondérante si la vitesse venait à être doublée, comme il arrive dans quelques cas. £n effet, la formule dont il s'agit donnerait alors, pour la résistance toujours rapportée à ta circonférence moyenne ou du centre des ailes, R = ii3*'»,5 environ, ce qui entraîne une perte de travail de ii3*'«,5x4'"-=454*''"* — 6 chevaux-vapeur de 75 kîlogrammètres par seconde, perte qui se réduirait à un peu moins de la moitié, comme le montre la formule, si la largeur horizontalc des ailes était elle-même réduite à cette proportion, et au *, à peu de chose près, si le nombre des révolutions restant le même, celui des ailes et le diamètre de la roue étaient également réduits de moitié. Cette application démontre suffisamment l'inconvénient attaché à lagrandisscment de la vitesse et des dimensions des roues à ailes planes, inconvénient qui, probablement, n'a pas lieu, à beaucoup près, au même degré pour les roues à aubes cylindriquesy emboîtées ialéralemcnl dans des couronnes parallèles, et raccordées à peu près langentiellcment avec la circonférence extérieure de ces roues, de manière à éviier le choc direct ou normal contre la convexité ou la concavité des aubes.

437. Divers exemples relatifs aux moteurs animés ^ etc. — La surface (ju'un homme de taille ordinaire présente à l'action du vent, ou l'aire A de sa projcclion verticale sur un plan perpendiculaire à la direclion du mouvement, soit qu'il chemine ou qu'il reste en repos, colle surface peut être évalué mojennemcni à o,35x i"',7 -- o"'*i , (>o ; mais à cause de l'inclinaison que prend naturellement lout son corps, il conviendrait, sans

doute de la supposer un peu moindre lors des courses ou des venis irès-rapIdes; de plus, celle surface et la résistance seraienl sensiblement accrues si ses vêtements se trouvaient mal ajustés au corps. Le coefficient /r, de cette résistance, pour un prisme droit d'une faible épaisseur, étant d'au moins i,5 dans le cas de Timmobilité (iti^) et de 1,2 dans celui du mouvement (4-14), on conclura des expériences de Borda, citées au n° k2h, et qui concernent les surfaces cylindriques à base circulaire ou elliptique, opposées directement à Faction du vent, que la valeur de le doit différer assez peu de o, 5 >< 1,5::^ 0,75 pour l'homme en repos, choqué en face par Tair en mouvement, ou de 0,5 X 1,2 = 0,6 pour l'homme en mouvement dans l'air en repos. l.a pression ou résistance éprouvée par cet homme serait donc : dans le premier cas,

et, dans le deuxième,

A la vitesse de i"»,5 par seconde, qui est celle d'un bon marcheur (214), on voit que cette résistance s'élèverait à 0^0224(1,6)*^= o^«,o5ô4, et la dépense de travail moteur, par seconde, à o^«,o5o4 X i"*,6= o^»"",o756, quantité qui n'est pas le Y% ^^ celle qu'un homme de force ordinaire pourrait développer, d'une manière soutenue, en tirant ou poussant horizontalement (205, p. 252), et dont la petitesse justifie ainsi l'observation du n** 90. Mais, si la vitesse était de 6 mètres par seconde, ce qui est à peu près la plus grande de celles que puisse s'imprimer un coureur, d'une manière un peu soutenue, la résistance de l'air s'élèverait à 0,0224 X6' = o*'»,8o64, et le travail par seconde, à 4*"™>^4 environ; ce qui est déjà une fraction considérable du travail que peut développer continuellement un homme même robuste. Aussi l'exemple des courses les plus célèbres démontre-t-il qu'une pareille vitesse pourrait difficilement se prolonger au delà de vingt ou trente secondes.

La vitesse des plus forts ouragans dans notre climat ne peut guère être évaluée au-dessous de 40 mètres par seconde.

678 MÉCANIQUE IKDrSTBIBLLB.

et il résulte de la première des formules ci-dessus, que la pression supportée par un homme debout et immobile, qui serait frappé directement par un pareil vent, peut être évaluéeà o,o28><(^o)'z=44''*»8, effort considérable cl auquel cet homme ne résisterait qu'en inclinant fortement son corps en avant, de manière à se dérober en partie à Taction de Tair, tout en faisant intervenir celle qui est due à son poids. Au surplus, on ne pourra être surpris de voir que de pareils ouragiins soient capables de renverser des arbres et des maisons, qui offrent une si grande surface à Taciion du vent; car, pour un mur de 4 mètres de hauteur sur 12 mètres de longueur, choqué directement par l'air, avec la vitesse de 4o mètres dont il s'agit, la pression ne serait pas au-dessous (1^06 et 431 ) de

1,86 X 0,06253 X 48™^ X (4o)» = BgSa"^»;

ce mur pouvant être ici considéré, sans trop d'erreur, comme un plan mince entièrement isolé.

Ces différents résultats devant être multipliés par 8i5 environ (431 ) si l'air se trouvait remplacé par l'eau, on voit quelle énorme pression doivent supporter, dans quelques cas, les corps exposés aux torrents de ce liquide. Considérant, par exemple, un bloc cubique de marbre de i mètre de côté, posé sur un sol de niveau oii il n'est retenu que par son seul frottement, et qui serait choqué par un courant d'eau perpendiculairement à l'une de ses faces, la pression qu'il supporte étant donnée (413 et 431 ) par la formule

tandis que celle du frottement peut être représentée (330) par

N étant le poids du bloc diminué de la perle qu'il éprouve dans l'eau (41), /= 0.75 le coefficient maximum de son frottement, il arrivera que le bloc sera entraîné par le courant, toutes les fois qu'on aura

75,46V»>o,75N, ou V>o,ioo4>/N.

Supposant, par exemple (35),

N=i2 6qo''»— IOOo''«=:i6oo''« OU ^=4^;

on voit que cela aura lieu pour loule vitesse V, supérieure à o,ioo4 >< 4o =^ 4"*» 02 psr seconde, limite qui, certainement, est souvent atteinte ou surpassée par celle de certains torrents produits par les écluses ou les lames de la mer.

Les chevaux employés à la course ne présentent pas, à Taetion directe de l'air, une surface beaucoup plus grande que celle de Thomme, et, comme leur forme est plus allongée, mieux disposée en tous points, la résistance qu'ils éprouvent est, au plus, égale à 0,02V*; mais, à cause de récuser q«i les monte, on peut la supposer de o,o3VS tout compris; ce qui, à la vitesse de 16 mètres par seconde environ limite de celle qui est atteinte dans les courses de Newmarket, en Angleterre, et du Champ de Mars à Paris, donne lieu à une résistance de 7''',68, et suppose, de la part de l'animal, en chaque seconde, l'énorme dépense de travail de 122^»™, 88, presque double de celle {205) que fournissent les chevaux de roulîer ordinaires, lesquels, à la vérité, cheminent pendant huit à dix heures par jour, tandis que c'est à peine si les coursiers les plus fins, les mieux exercés, peuvent soutenir leur allure pendant quatre ou cinq minutes, et renouveler une deuxième fois leur carrière après un certain temps de repos.

Nous avons donc eu raison de dire (90 et 148) que le travail extérieur dont les animaux sont susceptibles, quand ils s'impriment la plus grande vitesse possible, doit être négligé visà-vis de celui qu'ils développeraient si la vitesse était moindre. Quand on réfléchit, en outre, à l'énorme influence que peuvent ici exercer, sur ces vitesses excessives, la délicatesse, je dirais presque la débilité des formes de l'animal, son ajustement et celui du maigre écuyer ou du léger groom qui le monte, enfin l'adresse de celui-ci à se dérober à l'action de l'air, on demeurera convaincu que ces prix, ces encouragements accordés à un exercice où l'art, objet d'un vain luxe, triomphe bien plus qu'une vigoureuse nature, on demeurera, dis-je, convaincu que de pareilles joutes, de pareils amusements sont bien peu propres à perfectionner la race chevaline dans nos contrées, où le Gouvernement devrait, avant tout.

68o MÉCAI>(IQUE INDUSTRIELLE.

tenir à se procurer des animaux assez robustes pour soutenir les plus rudes fatigues de la guerre, sous une charge qui dépasse quelquefois 120 kilogrammes.

438. Calcul de la résistance de l'air contre les boulets de canon, — Pour dernier exemple et afin de donner une idée précise de la progression que suit la résistance opposée par Tair aux mouvements plus ou moins rapides des corps, nous considérerons un boulet sphérique de 24» c" fc fondu, donl le diamètre rf est très-approximatîvement de o"*,i48, la surface de projection h ou d*un grand cercle,

jr.d^= j X3,i4i59X(o™,48)* = o™«i,oi72,

le volume

|Axrf= |xo«*i,oi7axo»,i48 = o«%ooi697,

et le poids de

7065^» X o"S 001697 = i2^« environ;

la densité de la fonte étant ici, d'après le résultat moyen d'un grand nombre de pesées directes, de 7065 kilogrammes seulement (*). D'après ces données, la résistance du boulet, dans l'air, à 12 degrés de température et 76 centimètres de pression (Wl), a pour valeur générale

Rzz:o,o6253x 0^^,0172 X ^V* = o,ooio755Z'V%

où l'on doit attribuer à k les différcnles valeurs indiquées par l'expérience, et que nous supposerons fournies par la Table du n" 428, quoiqu'il soit bien démontré que ces valeurs sont un peu trop fortes pour les vitesses au-dessous de 20 mèlres par seconde, et trop faibles pour celles au-dessous de 5oo mètres.

Supposant, par exemple, la vitesse de i mètre par seconde.

(*) D'après une Note qui nous a été transmise par M. Pioherl, la densité des boulets anglais serait supérieure, ou «le 721S kilogrammes environ le mètre cube; ce qui doit tenir, eu partie, uu mode de coulajc et de fabrication.

DES EÉSISTAKCES. 68 1

on aura

k = 0,59 el R = 0,0010755 X 0,59 X 1' = o*'», 000635

seulemenl. Pour V = 3"», on aurait

/c = Of6i, R = 0,0010755 X 0,61 X 9 = o*'«,oo59,

soil o^«,oo6 approximativement. Continuant ainsi, en évaluant, s'il le faut, par les parties proportionnelles, les valeurs de If qui répondent à des vitesses intermédiaires entre celles de la Table du n"" 428, on pourra former cette nouvelle Table :

VitetsM.

Résistaneet.

VitesMs.

RéfllfUincM.

kir

lO

3oo 5oo

On voit, par ces résultats, qu'à i25 mètres de vitesse, l'efTort de Tair contre le boulet de 24 est à peu près égal au poids de celui-ci; qu*à 200 mètres, il en est près du triple, qu'à 5oo mètres de vitesse, la résistance surpasse 23 fois ce même poids; el, comme ces résultats devraient être multipliés par 8i5 environ (431), quand il s'agit de l'eau, on peut juger de l'énorme résistance qu'ont dû éprouver les boulets, dans les expériences de MM. Piobert, Morin et Didion, citées au n® 427, indépendamment du choc qui s'est opéré à l'instant de leur entrée dans le bassin d'eau où ils étaient lancés.

Si le diamètre du boulet n'était que le y de o"',i48 ou 4S9 environ, la surface A qu'il présente à l'action de l'air serait réduite au neuvième de la valeur qu'on lui attribue ci-dessus, et par conséquent, à égalité de vitesse, la résistance serait ellemême réduite au neuvième de la valeur indiquée parla Table. Pour un diamètre de ^x o'",i48 ou 2^,96, la résistance n'en serait plus que le y%. Mais le poids des boulets supposés toujours en fonte, diminuerait dans une progression bien plus rapide : il serait seulement de

— Xi2*'« = o»^»,445

pour le diamètre de ^^yC) et de

pour celui de 2*^,96; circonstances qui tiennent à ce que les volumes et les poids des sphères homogènes ( 33 ) croissent comme les cubes des diamètres, et les surfaces de leurs grands cercles, représeniées par A, simplement comme les carrés ûe ces mêmes diamètres. ËnOn si, au lieu de projectiles en fonte, 11 s'agissait de boules de bois ou d'autres substances moins denses encore, leurs poids et par conséquent leurs masses diminueraient de quantités proportionnelles, mais la résis^ tance de Tair resterait la même pour un même diamètre, parce qu'elle ne dépend que de la forme et de l'étendue de la sur^ face du corps, ce qui permet, dès à présent, de pressentir le rôle de ces données essentielles sur les circonstances du mouvement dont nous nous occuperons plus spécialement dans le Chapitre suivant.

Toutefois, il est nécessaire de le rappeler avant de passera un autre sujet, les différents exemples de calculs qui viennent d'être présentés sur la résistance des milieux supposent essentiellement que les corps ne tournent pas, ou présentent toujours la même face à l'action de ce milieu, et que leur mouvement soit sensiblement parvenu à l'uniformité; car s'il variait sans cesse, comme dans la chute des corps, il conviendrait d'avoir égard à l'influence de la proue et de la poupe fluides qui les accompagnent, conformément aux observations des n*»» 380 et 382.

EXAMEN DES PRINCIPALES CIRCONSTANCES DU MOUVEMENT HORIZONTAL ET VERTICAL DES CORPS DANS LES FLUIDES ET PLUS SPÉCIALEME.VT DANS l'air.

439. Consû/i^rafions prr/rminafres, — Nous n'avons jusqu'ici donné que de simples aperçus (113 et suivants) sur la manière dont l'air agit contre les corps, pour modifier, ralentir leur mouvement; les données [)récédentcs jointes aux principes fondamentaux exposés au commencement de cet Ouvrage

nous permelleni de mieux étudier, de calculer même, les lois de ce mouvement, pour deux circonstances importantes : I** celle où le corps serait lancé, avec une certaine vitesse et sans tourner, dans la direction d'un plan horizontal solide, où il serait soutenu sans frottement, ce qui est aussi, à peu près, le cas des projectiles de Tartillerie, animés d'une grande vitesse horizontale, et qui, dans une portion assez considérable de leur course rapide, n'ont pas éprouvé, de la part de la gravité, une action assez prolongée pour sortir sensiblement de la direction initiale de cette vitesse; 2" celle où le corps ayant été lancé dans une direction verticale, de bas en haut ou de haut en bas, serait ensuite abandonné librement à l'action de la gravité et de la résistance de l'air, toujours dans l'hypothèse où il ne viendrait pas à tourner par suite d'un défaut de symétrie dans sa forme extérieure, etc. Ce que nous dirons, d'ailleurs, pour l'air en particulier, s'appliquera aisément à toute espèce de fluide, à l'eau, par exemple, en introduisant dans les données de la question les modifications relatives à la densité de ce fluide et au coefflcient h de sa résistance.

440. Expression de la force dynamique totale des corps soumis à l'action des fluides, — Pour étudier les lois du mouvement dans les cas très-simples dont il s'agit ici, il sera nécessaire de rechercher, à chaque fois, la valeur très-différente de la force F (130), qui accélère ou retarde ce mouvement, et doit être perpétuellement égale et contraire à la force d'inertie

- - =M-» P étant toujours le poids, M la masse, et v l'accélération ou la diminution de vitesse pendant le temps infiniment petit /. Mais, comme en réalité le corps est toujours accompagné (380) d*un certain volume de fluide ambiant, que nous avons appris, par quelques cas, à calculer, il sera nécessaire d'avoir égard aux considérations exposées à la fin du n° 382, c'est-à-dire qu'il faudra ajouter la masse M,, de ce volume, à celle M du corps, pour obtenir la force d'inertie totale. En représentant toujours, comme aux endroits cités, par Q le volume apparent ou extérieur de ce corps, par /iQ celui du fluide entraîné à la densité /?, et désignant, de plus, par II la densité moyenne ou réduite que Ton obtiendrait en divisant le

poids P, du corps, par son volume extérieur Q, on aura

et

pour la force dynamique ou d'inertie totale; ce qui monire qu'en raison du fluide entraîné, la densité moyenne du mobile doit simplement être augmentée de la fraction n, de celle de ce fluide.

La densité dont il s'agit étant, même pour les projectiles creux de l'artillerie, au moins 5ooo fois la quantité

/ip = 0,6 Xi'^S 227 = 0^», 7362 (380et&.31)

pour le cas de l'air, il est évident que, dans la recherche des lois de leur mouvement, il deviendra permis de négliger la masse de l'air entraîné: mais il pourrait n'en plus être ainsi dans d'autres cas, par exemple si le milieu résistant était l'eaa ou s'il s'agissait de surfaces minces (380, 405 et 4i-il ), de corps creux tels que les ballons, etc.; circonstances dans lesquelles l'influence de la proue et de la poupe fluides se sont précisément manifestées lors des expériences. Toutefois, à moins d'^n avertissement contraire, nous conviendrons, pour la simplicité, de désigner, en général, parP et M le poids et la masse* réunis du corps et du fluide entraîné, en considérant ainsi ce dernier comme formant une partie intégrante de ce corps.

4il. Marche à suivre dans la recherche des lois du mouvement. -— Ainsi qu'on l'a expliqué aux n°» 129 et suivants, l'équation

F=r M-, d'où l'on tire V=:^ ^ /.

peut servir à faire découvrir toutes les circonstances du mouvement, et elle en coniient implicitement la loi; mais la méthode géométrique indiquée spécialement au n** 13ii., bonne comme moyen de démonstration et pour faire comprendre la liaison étroite qui subsiste entre le temps, la vitesse, la force dynamique V, et l'espace décrit à chaque instant par le mobile, cesse de l'être dans le cas présent où l'on n'est plus censé

connaître les valeurs de celle force à la fin des différents temps écoulés. Ces valeurs qui dépendent ici essentiellement de la résistance du fluide et de l'action de la graviié, s'il s'agit du mouvement vertical, seront simplement données au moyen des vitesses successivement attribuées au mobile dans les différents points de sa course, en s'appuyanl, à cet effet, du résultat des expériences et des formules exposées dans le Chapitre précédent.

On pourra donc aussi calculer la valeur de chacun des accroissements infiniment petits /, du temps, correspondant à une diminution ou un accroissement donnés (% de la vitesse, pour l'instant où celle-ci a une valeur assignée V, à l'aide de la formule générale

dans laquelle M et P représentent toujours, si cela est nécessaire, là masse et le poids total du corps et du fluide entraîné.

Or, en raisonnant ici comme on l'a fait aux n*'» 72, 181, etc., à l'égard de la détente des gaz et des vapeurs, c'est-à-dire si l'on construit une courbe O'a'6' & , . .f^g'/t' (Pi. Illy^s- 79)» dont les abscisses Oa, 06,..., 0/, Ogy O/i, prises par rapport au point 0, comme origine, si le mouvement s'accélère, ou ^les abscisses AO, /la, /ift,..., A/*, Agf, prises par rapport au point A, si le mouvement se ralentit, représentent, à une certaine échelle, les valeurs équidistanles successivement attribuées à la vitesse V, tandis que les ordonnées 00', ra!, bb\...^ ff' , gg' représentent les valeurs correspondantes du quotient de P par gV, le temps T, écoulé entre deux instants quelcon- " ques pour lesquels la vitesse devient 06 et 0/ou lib et A/, par exemple, sera évidemment donné par l'aire bb'j''j\ comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les ordonnées extrêmes bb' ^iff'j relatives à ces vitesses. En appliquant donc ici le théorème des quadratures de Simpson (180), il sera possible de calculer le temps T, dont il s'agit, à un degré d'ap[)ro\imation aussi grand qu'on le voudra, en subdivisant l'intervalle A/, compris entre ces ordonnées extrêmes, en un nombre pair et suffisamment grand de parties égales.

Comme on a, d'ailleurs (48 et 53), en représentant par «

l'élément de chemin correspondani al oakv

V, MV PV

e = V/ = -jr- <' = p: «',

on voit que la même méthode pourra servir à trouver la longueur du chemin parcouru dans l'intervalle dont il s*agit» par la considération d'une nouvelle courbe Oa^ù^c" . , . g", construite sur les mêmes abscisses, mesurées, suivant les cas, à partir du point O, ou du point A, mais ayant pour ordonnées les valeurs correspondantes du quotient de PV par g-F.

Quant à la question où il s'agirait de trouver immédiatement les espaces parcourus au moyen des temps écoulés, il est évident qu'elle ne saurait être résolue par les mêmes procédés, c'est-à-dire par une marche directe, puisque 1'* ne peut se calculer que si l'on connaît V ; on sera alors obligé de recourir à une sorte de tâtonnement dont nous aurons soin d'offrir un exemple dans ce qui suit.

Cas du mouvement horizontah

4.4.2. Faleur de la force dynamique ou retardatrice; équations fondamentales du mouvement, — Les effets de la pesanteur sur le mobile étant censés négligeables ou détruits par une , cause quelconque, et les forces étrangères à l'inertie se réduisant ici uniquement à la résistance H du milieu, qui peut être calculée pour chacune des vitesses V, possédées par le mobile aux divers instants, on aura simplement (440)

„ (n-:-/ip)Q V ^ r ou ^^ ^-^ T = R ;

et, par conséquant, le corps ayant été lancé horizontalement avec une certaine vitesse initiale, celle vitesse sera de plus en plus dinûnuée et le mouvement ralenti dans chacun des instants égaux à t, suivant une loi donnée par la formule

t (ll-\np)Q

qui exprime véritablement la force dynamique relative à Vunité de masse supposée cnlièrement libre (132), ou qui serait capable de lui imprimer, dans le vide absolu, le mouvement effectif du corps. Mais attendu que; la résistance \\ décroît très-rapidement avec la vitesse V du projectile, le mouvement ne sera pas uniformément retardé (107 et JJT), comme cela arrive (365) dans le cas où la résistance se réduit à un simple frottement exercé par ie mobile, sur un plan solide horizonlal ; il le sera de moins en moins pour des intervalles de temps /, égaux et intiniment petits, comme le démontre la formule cidessus, qui donne la diminution de vitesse v pour chacun de ces instants.

D'un autre côté, cette même formule, dans laquelle l'aire A de la projection du corps sur un plan perpendiculaire a la direction rectiligne du mouvement, entre comme facteur de \\ (381), d'après les résultats les plus concluants et les plus universellement admis sur la résistance des fluides, cette formule, disonsnous, montre que la diminution instantanée v, de la vitesse, est d'autant moindre, toutes choses égales d'ailleurs, que la densité moyenne 11 du corps (WO) est plus grande aussi bien que le rapport de son volume Q à Taire A, qui se réduit aux I du rf/tf/wè/re pour les sphères, à la hauteur ûe l'are pour les cylindres et les prismes droits mus parallèlement à cet axe, etc.; de sorte que, pour les corps sp/iériques en par lieulier, par exemple pour les projectiles de l'aitil^erie, le ralentissement de la vitesse initiale est d'autant plus rapide que leur densité moyenne ou réduite et leur diamètre sont moindres : fait confirmé par l'expérience, et que démontre plus spécialement encore la formule

<'gn o,o9^Xg k\'

/- p ~ nrf ' ~ '9 nrf'

relative au mouvement de ces projectiles dans l'air, pour lequel

on a pris (431), R = o,o67-53/< A V% en négligeant d'ailleurs le terme np relatif au fluide entraîné; prenant g = çf\boS8{ii7) pour le lieu oii nous sommes; puis remplaçant Q et A. par leurs valeurs { r.d^ \ T^d\ dans lesquelles d est le diamètre et TT — 3,i4i6 son rapport inverse à là circonférence.

688 HÊCA51QCB INDCSTBIKLLK.

Considérant pour exemple le boulet de 34» dont on a recherché, à l'avance, la résistance dans l'air au n** h3S, on aura immédiatement, pour calculer toutes les circonstances de son mouvement horizontal , «

F ou - - = R=:o, 0010755 A^V, 7 = 0,00088 A^V%-

ce qui montre tout à la fois, d'une part, l'énorme influence exercée par cette résistance aux premiers instants du mouvement où la vitesse V atteint quelquefois 5oo mètres, et ou par conséquent sa diminution instantanée c^ devient (4â8j o,oooiS8Xi-oi X (5oo)' =: 222 fois au moins, la durée correspondante /, du temps; d'une autre part, l'extrême faiblesse de cette même influence» dans les derniers instants du mouvement, 011 la vitesse étant supposée réduite à o"yOoi, par exemple, en une seconde, celle de v devient, au plus, les 0,00088 X 0,59 X (0,001)* = 0,00000000062 de /, ou / près de deux milliards de /ois plus grand que i^; ce qui montre l'excessive lenteur avec laquelle le mouvement devrait s'éteindre dans les hypothèses actuelles sur la loi de la résistance.

443. Le mouvement ne s'éteindrait jamais si la résistance décroissait plus rapidement que la vitesse, — Pour démontrer ce principe d'une manière positive, et qui s'applique géiiéralemenl à tous les cas où la force retardatrice tend a s'affaiblir rapidement et indéfiniment avec la vitesse, sans jamais changer le sens de son action, nous remarquerons tout d'abord que la formule générale (442)

M JP^

dans laquelle M et P peuvent, comprendre la masse et le poids du fluide entraîné, montre que la valeur du quotient de M par F, ou de P par «^U, croissant indéfiniment à mesure que la vitesse V du corps diminue, il faut bien aussi que le temps /, nécessaire pour détruire, dans ce corps, un degré donné de vitesse v, devienne de plus en plus grand et finisse par acquérir i^e valeur comparativement infinie dans les dernières périodes

DES EfiSISTANCSS. 689

du mouvement; de sorte qu'il peut bien arriver que la somme des valeurs de laccroissement /, du temps, devienne ellemême excessivement grande ou infinie, quoique celle des valeurs correspondantes de v ne puisse dépasser la valeur attribuée à la vitesse initiale quelle qu'en soit la petitesse. Mais on peut établir cette proposition d'une manière plus rigoureuse et plus sensible encore, par la considération de la courbe 0'a'b\..f' g' (PL Illyfig, 79), dont on s'est occupé au n« 441

ci-dessus, et qui a h pour origine des abscisses ou vitesses.

En effet, la valeur de la fraction —rri se trouvant représentée

par la hauteur des ordonnées correspondantes aux diverses valeurs de Y, on voit que ces ordonnées doivent croître indéfiniment à mesure qu'elles se rapprochent de l'axe parallèle qui répond à l'origine A; de sorte que l'espace compris entre cet axe et la courbe est réellement illimité, à peu près comme cela a lieu pour V hyperbole équilatère de \^ Jig* 4^» ^^- ^A considérée aux n**' 181 et 198, ou celle que l'on construirait

en prenant simplement / = r^ v par exemple. Mais, comme

on suppose ici que F ou R diminue plus rapidement que V, il en résulte que la courbe O'a'b'. -•f g' se rapproche bien moins rapidement encore de Taxe des ordonnées et beaucoup plus, au contraire, de celui des abscisses que dans cette dernière hyperbole.

D'un autre côté, on sait par la géométrie des courbes et la théorie des logarithmes (198), que les aires hyperboliques comprises entre une ordonnée fixe quelconque et une autre ordonnée qui s'approche sans cesse de Vaxe correspondant relatif à l'origine A, des abscisses, croissent indéfiniment, de manière à devenir plus grandes que toute quantité assignée; donc il en sera de même, à fortiori ^ des aires analogues de la courbe O'a'6'.. ./'gf', qui donnent les valeurs du temps dans le mouvement retardé dont on s'occupe, et, par conséquent, quelque paradoxal que cela paraisse au premier aperçu, il peut exister de tels mouvements qui ne s'éteindraient pour ainsi dire jamais y quoiquà la fin ils fussent extrêmement ralentis: c'est ce qui aurait précisément lieu dans l'hypothèse de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse.

690 VtCAXlQUE IXBCSTBIELLE.

Par conire, il doit exister aussi des mouvements qui sVcelèrent indéfiniment sans jamais atteindre la limite de leur vitesse, quand la force dynamique F tend à décroître trèsrapidement à mesure que cette vitesse s'approche, elle-même, de sa limite; muis, comme la chute des graves dans l'air nous offrira bientôt un exemple de ce phénomène de mouvement, nous n'insisterons pas quant à présent.

Enfin il ne sera pas inutile de faire observer que, puisqu'on a également (U1 et 4tô)

MV PV

des considérations analogues pourront s'appliquer aux espaces parcourus par le corps dans le mouvement qui nous a occupé précédemment : ces espaces tendront à devenir infinis si le quotient de MV par F croissait, lui-même, plus rapidement que la vitesse V ne diminue. C'est, au surplus, ce que nous tâcherons de rendre plus manifeste encore par la discussion du cas particulier qui suit.

4V4-. Exemple numérique relatif au mouvement horizontal des projectiles dans l'air. — Soit le boulet du n® 438, lancé horizontalement, dans Tair, avec une vitesse Initiale, hO ou \' (PLIIIyJi^. 79 , de 5oo mètres par seconde, je suppose, et demandons-nous d'abord au bout de quel temps sa vitesse hd ou V sera réduite à ^oa mètres, en admettant toujours que la loi de la résistance soit celle adoptée dans cet endroit.

En supposant seulement l'intervalle de Od ou V' — Vi=ioo». divisé en quatre parties éjjales aux points a, b et c, on poum former la Table suivante des diverses grandeurs relatives à la question (438 et 442), dans laquelle on a centuplé les valeurs de P, pour éviter l'écriture d'un trop grand nombre de chiffres décimaux :

PoioU

Valwr* d«

de

imfrus

Viie»»es

100 P Ii37«36

8ubdlTi»ion.

ordre.

rorrespondanlf s.

5oo

DBS RÉSISTANCES. 69 1

Par conséquent on aura, en se servant de la méthode du n° 180,

Somme des valeurs extrêmes de - ^-••" 0,4374 -f- 0,7180 = 1,1 554

2 fois celle des valeurs d'ordre impair 2 x o,556i = i , 1 122

4 fois celle des valeurs d*ordre pair 4(0,4894-^-0,6297) = 4,4764

Total 6,7440

Celle somme divisée par 100 el multipliée par le y de l'intervalle, 25 mètres, entre les vitesses successives, donne

pour la durée du temps pendant lequel la vitesse du boulet est réduite de 5oo à 400 mètres, attendu que fi'=9",8o9 répond (117) à une secontle sexagésimale, qui est ici l'unité de temps.

Les différences consécutives de chacune des valeurs, fournies par la Table ci-dessus, du quotient de P par g-R, à la suivante, allant progressivement en croissant, on en conclut, à priori, que la courbe est convexe vers Taxe des abscisses comme l'indique la^gf. 79, et le résultat qui vient d'être obtenu est par conséquent un peu trop fort (180). Mais, comme ces mêmes différences croissent assez lentement, le résultat, quoiqu'un peii faible, doit néanmoins s'approcher beaucoup du véritable; et c'est ce dont on peut s'assurer directement en supposant seulement l'intervalle Od, de 5oo à 400 mètres, divisé en deux parties égales, au point b : on trouve, en effet, par la méthode déjà employée,

- X 5o(o,oi i554 -t- 4 X o,oo556i) = o^jSôSS,

résultat qui ne surpasse le précédent que de -—7 ^^ ^ valeur. D'après ce grand degré d'approximation de la méthode pour l'intervalle de 5oo à 4^0 mètres, on pourrait, sans risquer de commettre des erreurs appréciables, se contenter de diviser pareillement en deux parties égales l'intervalle de 4oo à 3oo mètres, pour en conclure la durée correspondante du temps. Et, comme les valeurs du quotient de P par gfR, relatives aux vitesses de 35o et 3oo mètres, sont respectivemet de 0,01000

692 HÉCANIQCB INDUSTRIELLE.

et b, 01436, on en conclut, pour la valeur de cette durée, - X 50(0,007 18 4- 0,01436 + 4 X 0,01000) = i'',o266;

nftais il serait, sans doute, peu exact d'étendre cette règle aux intervalles égaux suivants, de 3oo à 200 mètres et de 200 a 100 mètres, parce qu'on pourrait tombef alors, dans les régions où la courbure par trop prononcée de la courbe, donnerait liea à des différences d'ordonnées consécutives très-variables, ec, à plus forte raison, ne conviendrait-il pas d'étendre cette méthode à de très-grands intervalles de vitesses.

Ainsi, par exemple, si l'on se contentait de partager en quatre parties égales l'intervalle compris depuis 5oo jusqu'à 100 mètres, ou de 100 e)) 100 mètres, on trouverait, pour le temps nécessaire à un pareil ralentissement de vitesse, 12', 33, qui, inévitablement, surpasserait d'une quantité notable la véritable valeur de ce temps^ .Giependant telle est l'excelIeDce de la méthode pour le cas ac(uel, que si l'on divise ce même intervalle en huit parties égales, on trouve le nombre i',77, dont la différence avec le précédent n'est pas le —- de sa valeur, et qui, par cela même, ne dçit surpasser que de très-peu la véritable durée du temps.

445. Extrême lenteur avec laquelle le mouvement s'éteint dans cet exemple. — Afin de mettre la chose 'dans tout son jour, nous rechercherons le temps nécessaire pour que la vitesse, supposée réduite à 10 mètres, ne soit plus que de 2 mètres par seconde; mais, au lieu des valeurs du coefficient Â', fournies par la Table du n° 428, nous adopterons, pour ces faibles vitesses, la moyenne /r = 0,52 (425) qui doit s'écarter assez peu (426) de la véritable, dans le cas du mouvement rectiligne des globes dans l'air. D'après cela, si l'on divise seulement en quatre parties égales l'intervalle de 10 à 2 mètres, on formera le tableau qui suit :

Naméros

Vitessef

Valears de

d'ordre.

correspondante», m

fR V«

DBS BÉSISTÀlfCES. 693

ce qui donne pour la durée du temps écoulé, ix2"[2i, 87 + 546,81 + 2x60, 76 H- 4(34, 184-136,70)] = ôX '373,72 = 915*^,82.

Si Ton se fût borné à diviser riniervalle de lo à 2 mètres en deux parties égales, on eût trouvé 1082", 28, nombre qui diffère beaucoup du précédent, et prouve que la sub-^ division en quatre parties peut ne pas suftlre; en la portant à huit, on obtient Hnaiement 880", 2, pour le temps que la vitesse du mobile met à passer de 10 à 2 mètres: la différence 35", 6, entre ce nombre et le premier des précédents étant assez forte, on voit qu'il y aurait lieu de multiplier davantage encore les subdivisions, si Ton tenait à une trèsgrande exactitude, mais, pour Tobjet que nous avons ici en vue, il serait inutile de pousser plus loin les calculs.

Tel est d'ailleurs l'esprit dans lequel on devra constamment appliquer le théorème (180) des quadratures de Simpson.

Les résultats obtenus en dernier lieu montrent, conformément à ce qui a été annoncé au numéro précédent, d'après des considérations générales et purement géométriques, que la vitesse diminue ici avec une lenteur extrême, et l'on peut juger que cette lenteur serait infiniment plus grande encore pour les derniers instants du mouvement. Ainsi, par exemple, on voit sans qu'il soit nécessaire de recommencer sur de nouveaux frais les calculs, que le temps au bout duquel la vitesse serait réduite de 10 à 2 millimètres par seconde s'élèverait, au moins, à (1000)'= i million de fois 880*^, ou bien près de 28 ans, etc.

Pour obtenir les espaces successivement parcourus dans le même mouvement, il suffira (443) de recommencer les calculs en y remplaçant chacune des valeurs de P sur g^R, par son produit avec la valeur correspondante de V. C'est ainsi qu'on trou« vera, pour l'intervalle de 5oo à 400 mètres de vitesse, l'espace

694 MÉCÀlflQCE IIIDOSTBIBLLS.

avec un degré d'approximation encore plus grand que dans le précédent exenrjple.

En divisant pareillement l'intervalle de 5oo à 100 mètres, eo huit parties égales, on obtiendrait 2242 mètres pour l'espace correspondant décrit par le projectile. Enfin, pour Tintervalle pendant lequel la vitesse se réduirait de 10 a 2 mètres, l'espace décrit par le boulet s'éloignerait fort peu de 3523 mètres, et il serait environ 1000 fois plus grand dans l'intervalle de 10 à 1 millimètre, etc.^ ce qui sufDt bien pour faire sentir que le chemin entier parcouru par le mobile n'aurait, de même que * le temps, aucune limite assignable (*).

Quant à la manière de découvrir le chemin relatif à un temps donné, comme elle peut être avantageusement suppléée, dans

( * ) On remarquera que pouf cette dernière période du mourement où Fob suppose  invariable, les équations dn n^ 441 prenant la fornae trèa-aioipi^,

où C représente une constante facile àj calculer dans chaque cas, on en tire, par les procédés connus de l'analyse, qui ici, pourraient être facilement suppléés par les considérations directes de la Géométrie,

E reprcscntint, en outre, rcspace décrit et T le temps écoulé depuis TorigiDe du mouvement, où la vitesse V, relative à ce temps, était V; enfin le sigse abréviatif iog^ se rapportant aux logarithmes hyperboliques ou népériens f V^) qui, on se le rappellera, peuvent être également obtenus au moyen des Tablai de logarithmes ordinaires, en multipliant ceux-ci par le nombre constant 2,3o2585. Ces dernières formules montrent bien d'ailleurs que E et T deviennent infinis en même temps que V =r o; mais déjà il n'en serait plus ainsi de l'espace £, si la résistance était simplement proportionnelle à la vitesse; car U cause dee = Cf, on aurait E = C(V — V), et par conséquent, E = CV' pour V = o, quoique T reste infini ou que le mouvement ne s'éteigne jamais. Ainsi l'espace décrit parle corps grandirait constamment sans néanmoins pouvoir atteindre la limite E = CV': à fortiori ^ cet espace conserverait- il une valeur finie dans 1c cas où la résistance croîtrait moins rapidement encore que

la vitesse, par exemple comme sa racine carrée yjy . On aurait alors, en eflet,

T = 3C(v/V-v^v), E=iC(vVr-Vv^);

de sorte que le mouvement s'éteindrait complètement au bout du temp< T = aCv/V, et de l'espace E = J C\'\J\^.

DES RÉSISTANCES. 6gS

le cas actuel, par la Table du n° 447, elle serait sans intérêt, et nous renverrons nos lecteurs à Texemple ci-après, qui concerne la chute verticale des corps dans Tair.

446. Idée de la manière dont le mouvement horizontal des corps peut s'anéantir, même en un temps fort court, — Lorsqu'un projectile est lancé horizontalement à la surface de notre globe, il y est continuellement soUicilo à descendre en vertu de la pesanteur, s'il n'est point soutenu sur un plan fixe; bientôt, en effet, il atteint la surface du sol, où il s'enterre si le choc ne lui permet pas de rebondir, ricocher^ un nombre plus ou moins grand de fois, à chacune desquelles il perd des portions très-appréciables de sa force vive initiale, que les frottements et obstacles quelconques, dont sa route est parsemée, finissent promptement par lui enlever. Ces frottements, comme on l'a vu au n** 366, sont tels que, même pour des surfaces "horizontales aussi polies que la glace, quelques secondes suffisent pour éteindre complètement une vitesse initiale de 4 mètres dans un corps de masse quelconque, indépendamment de la résistance de l'air, à laquelle le, frottement devrait être ajouté dans les équations fondamentales du n"442.

Ainsi, par exemple, /étant la valeur particulière du coefficient de ce frottement, on aura, en général,

V R-+-/P R4-/nQ V l A-V» A

s'il s'agit spécialement [ibid.) des projectiles de l'artillerie, mus dans l'air; ce qui montre que c'est surtout pour les faibles vitesses que le frottement exerce de rinfiuence, tandis que l'inverse a lieu pour la résistance du milieu qui exerce principalement la sienne à l'origine du mouvement. Or, il en résulte que ces deux seules causes réunies doivent, quelle que soit l'intensité de sa vitesse initiale, arrêter le corps en un temps généralement très-court, comme on l'observe, en effet, dans tous les cas analogues.

Il est pourtant une circonstance physique où le mouvement horizontal pourrait se perpétuer sans fin, si les lois de la résistance des fluides étaient telles qu'on vient de le supposer dans ce qui précède : c'est celle où un corps flottant à la surface

6ç|^> VtCiXlQCE IH1ICST1IILLE.

de niveau d'un liquide immobile, tel que Teau d'un bassio soustrait à l'action des courants d*air, viendrait à t être lancé horizontalement, sans tourner, avec une certaine vitesse; car le corps étant ici soumis uniquement à la résistance de ceue eau et de l'air, il n'existerait plus aucune force retardatrice constante étrangère aux deux fluides, et capable de détruire des portions de la vitesse initiale qui, étant proportionnelles aux temps écoulés, amèneraient promptement le corps au repos absolu. Une expérience de celte espèce, exécutée dans les circonstances les plus favorables et en observant, avec toute l'exactitude qu'il serait facile d'y apporter, la loi du mouvement aux derniers instants, une telle expérience serait peutêtre plus propre qu'aucune autre à faire découvrir l'existence d'une pareille force retardatrice, admise par les uns et repoussée par d'autres (388), sans que les motifs ou les faits d'expériences qui servent d'appui à ces opinions contradictoires puissent être considérés comme rigoureusement établis. Mais, à cause de l'influence qui, dans ces derniers instants du mouvement du corps, pourrait être exercée par le sillage ou courant postérieur (37^), ei tend à l'entraîner au delà de la position qu'il devrait naturellement atteindre, il serait peutêtre encore plus exact de chercher à constater l'existence du terme constant, en observant avec soin le mouvement de descente vertical, dans l'air, d'un ballon vide ou rempli d'un gaz îisscz léger pour que son poids, dans cet air, constaté par une pesée directe, fût réduit à un degré de petitesse comparable au frottement dont il s'agit d'apprécier Tinfluence, et dont les effets ne sauraient manquer de se manifester, si le globe éiaii abandonné, sans aucune entrave, à raclion de la pesanteur, comme le firent Newton et Dcsaguilliers (426), lors de leurb premières expériences dans l'église de Sainl-Paul à Londres. Au surplus, quelle que soit l'opinion qui triomphe définitivement, il n'en est pas moins vrai de dire que les obstacles accidentels dont est parsemée la roule des corps en niouve- . ment dans les lluides, les particules solides qui y nagent et donnent lieu à de véritables frottements, enfin l'influence des tourbillonnements et remous qui s'y produisent, la rotation môme que tendent, presque toujours, à prendre les corps non parfaitement symétriques, sont autant de causes qui parvien-

DES BtSISTAIfCES. 697

nent à anéantir leur vitesse, dans des temps infiniment plus courts que ne l'indique le calcul. Et, comme tous les mouvements sont, ici-bas, nécessairement soumis à l'influence de pareils frottements, de forces retardatrices variables ou constantes, on voit qu'ils ne peuvent s'entretenir dans les corps, même les plus subtils, sans une dépense continuelle de travail ou d'action, à laquelle les combinaisons matérielles les plus ingénieuses ne sauraient suppléer (103); et voilà aussi pourquoi le mouvement perpétuel que rêvent des hommes privés des premières notions de la Mécanique, est une véritable chimère, quand on le recherche ailleurs que dans l'action immuable des forces de la nature, qui font mouvoir les corps célestes dans un espace vide ou privé de toute résistance, et qui, à la surface de la terre, servent par leur mouvement périodique, plus ou moins régulier, à faire fonctionner nos machines de diverses espèces.

4W. Résultats des calculs de Af. Piobert, relatifs au mouvement horizontal des projectiles dans l'air. — Dans un Chapitre intéressant du Mémoire (373) qu'il a présenté en commun, avec MM. Morin et Didion, au concours du prix de Mathématiques pour l'année i836, cet officier supérieur a calculé, avec beaucoup de soin, une Table qui permet au simple coup d'œil de se rendre compte de toutes les circonstances offertes par le mouvement des divers projectiles, en usage dans l'artillerie française, lancés horizontalement dans lair en repos et abstraction faite de l'action de la pesanteur (439). Elle a été dressée en prenant pour base des calculs la formule du n® 429, qui sert à représenter le résultat moyen des expériences relatives à la résistance de l'air sur les projectiles. Dans la formation d'une pareille Table, les méthodes directes indiquées aux n°* 440 et 444, présenteraient évidemment les plus grands avantages pour trouver successivement, par des opérations fort simples, les valeurs numériques des temps et des espaces qui correspondent à une série de vitesses équidistantes données et suffisamment rapprochées; ce qui permettrait, ensuite, de tracer de nouvelles courbes, au moyen desquelles on obtiendrait facilement toutes les valeurs intermédiaires de ces temps et de ces espaces; ce qu'on appelle en général, interpoler, dans

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la langue des géomètres. Mais, en réalité, M. Piobert est arrivé aux résultats de sa Table par une voie purement analytique (*) fondée sur la formule déjà citée du n"" ^29, et sans l'établissement de laquelle cette recherche eût été impossible, tandis que la méthode précédente reste applicable, au moyen d*une courbe d'interpolation ou d'une Table analogue à celle du n"* 428, quelle que soit la complication de la loi expérimentale suivie par la résistance.

( " ) En poMint, pour abréger, dans la formule du n* 429,

n =. 0,0017 AyojOiaA ■+- 0,00121, n = A^0,oi3A -H 0,00I3I,

q = o,oo3 A,

elle prend la forme très-simple

R = //iV'-t-/iV«H-y.

Pour les mouvements rapides des projcHStiles de l'artillerie, c'est-à-dire pour des vitesses supérieures à 5 mètres par seconde, on pourra oégliger le dernier terme de la formule, et l'on calculera, d'après M. Piobert, en mètres ot seconde» scxa{;csi maies, l'espace Ë décrit et le temps T écoulé pendant que la vitesse V du mobile se réduit à V, au moyen des formules

où le» l(>{;urithiiies sont hrperboiit/uex^ commo dans la Note du n® 444, <*t P

désigne le poids, en kiîo(jramme8, du projectile, * la fraction — = 5S8,'i!>V^'

qui, ici, comme on voit, joue un très-grand r<Me, et niérîtï'rait dVtro deU-rmînco avec l<» plus grand soin, d'après les données de l'expérience.

Pour les mouvements très-lents, au contraire, ou au-dessous de .'> ni«*tre> jwir seconde, on peut négliger le tt^rnic /« V de la résistance, par rapport aux dcuv autres, et alors on a

E= log — ,

= —-=. ( arc tang — — arc tang -^ ) ;

formules dans les<i'ielles encore, r exprime en nombre le rapport de r/ à «, «^l l'abréviation arc tanf^y l'arc du cercle dont le rayon, t»gal à l'unité abstraite, a pour tangente trigonométrique, la valeur numérique du rapport qui la suit, et dont la connaissance entraine celle de l'arc au moyen des Tables trigouomt.^ triques connues.

Telles sont d'ailleurs les formules par lescpielles M. Piobert a calculé l«> nombres inscrits dans le tableau du texte.

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Malgré les reproches .adressés dans le n"" 429 à la foriiuile donl il vient d'être parlé, et qui portent principalement sur les faibles vitesses et les gros calibres de projectiles, la Table dressée par M. Piobert, pouvant fournir des indications souvent précieuses comme moyeVis d'approximation, dans les questions qui concernent le mouvement horizontal de ces cor.ps, nous avons cru faire une chose utile, en la rapportant ici d'après l'autorisation qu'a bien voulu nous en donner l'Auteur. L'usage en est d'ailleurs si facile que nous ne croyons pas nécessaire de nous étendre longuement sur son contenu; il nous suffira de remarquer qu'elle ne donne pas seulement les temps écoulés et les espaces parcourus pour la vitesse initiale de 600 mètres par seconde, mais bien pour toutes celles qui se trouvent rapportées dans la ligne horizontale supérieure de la Table, et, par suite, pour les vitesses intermédiaires quelconques, au moyen de l'interpolation, ou du tracé continu des courbes mentionnées ci-dessus; méthode qui, sous le rapport de l'exactitude, aura surtout l'avantage dans l'intervalle correspondant aux vitesses de 100 à 200 mètres, et pour lequel les ordonnées ou valeurs du temps et de l'espace éprouvent des variations très-sensibles.

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Voulanl, par exemple, irouver le temps que la résistance de l'air mettrait à réduire à loo mètres la vitesse initiale de 5oo mètres supposée au boulet du calibre de 24, question dont nous nous sommes déjà occupés au n"* H4^ on trouvera, dans les colonnes verticales qui répondent à 5oo et loo mètres de vitesse et à la première des lignes horizontales relatives au boulet dont il s'agit, o",324 et ii",65 respectivement; ce qui donne pour le temps cherché n",65-~ o",324 = 1 1'', 826,. dont la différence aux ii",77 obtenus dans le même numéro, provient essentiellement de la légère différence entre les lois de résistance admises dans les deux cas. En opérant d'une manière analogue pour les espaces, on trouvera que celui qui est décrit par le projectile dans l'intervalle dont il s'agit, est de 2321™ — 178°» = 2i43", au lieu des 2242 mètres obtenus dans le numéro déjà cité; mais il s'en faut de beaucoup que la différence des résultats demeure toujours circonscrite dans des limites aussi étroites pour d'autres hypothèses.

Enfin si, au lieu de supposer la vitesse réduite précisément à 100 mètres, comme dans la Table, on voulait la prendre égale à lao mètres par exemple, il faudrait alors recourir aux courbes d'interpolation déjà mentionnées, et qu'il suffirait de tracer pour les abscisses ou vitesses, de 200, iSo, 100 et 5o mètres, voisines de 1 20 mètres ; on trouverait ainsi 9'',o4 et 2047 mètres respectivement, pour les valeurs cherchées et que nous avons effectivement obtenues au moyen d'pn tableau de semblables courbes tracées, dans toute leur étendue, par M. Pioberi, qui a bien voulu nous en donner communication. Les mêmes procédés serviraient évidemment à faire découvrir l'espace relatif à un temps donné, ou réciproquement; c'est pourquoi il devient inutile d'insister.

Cas du mouvement vertical.

448. Faleur de la force dynamique, retardatrice ou accélératrice y dans le mouvement ascendant. — Pour les corps trèsdenses, ce mouvement sera évidemment à la fois Retardé, et par la résistance R du milieu, et par l'action de la pesanteur sur le corps, dont le poids P^QII (440) devra d'ailleurs

(M, 113 et suivants) être diminué de tout celui du volume Q de l*air qu'il déplace, poids que nous nommerons P'=Qp, et qu*il sera facile de calculer au moyen de la densité p da fluide (^31). Nous aurons donc ici (HO)

F = R-hP~F ou ^°^^/^)Q^=R^(n —p)Q;

ce qui donne pour le rapport ûe v à /, dans le mouvement ascensionnel du corps, ou pour la force dynamique relative à l'unité de masse,

+ np)Q

np

quelle que soit d'ailleurs la loi suivie par la résistance du milieu.

Pour les projectiles sphériques de Tartillerie lancés verticalement dans l'air, de bas en haut, on pourra négliger le terme np, relatif au fluide entraîné (HO), et, comme leur poids P, même en les supposant creux, est au moins Sooofois celui F du fluide déplacé, on pourra aussi ne point tenir compte de ce dernier dans les calculs; ce qui, pour les hypothèses des n*»» 431 et H2, donnera simplement

V (R-hP) R o,û2AV'