R = 0, 06253 A^AV

DES RlSSlSTAlfCKS. 7o5

du n** 431, laquelle devient ici, à cause de A = 78"'!, 54,

R = 4,9II/rV^

Quant à la masse totale mise en mouvement parla force motrice ci-dessus, elle se composera à la fois (440) : 1° de celle du fluide entraîné dont le poids absolu a été trouvé égal à 385^«,5; 2® de celle du poids pareil du ballon et de son équipage, c'est-à-dire de 35o kilogrammes, augmenté du poids du volume d'air déplacé, puisque ces 35o kilogrammes ne sont pas censés avoir été ramenés au vide ; mais, à cause de la grande densité de ces objets, dont la résistance n'a point non plus été appréciée, nous ne tiendrons pas compté d'une pareille différence; 3" enfin de la masse de l'hydrogène enfermé dans le ballon, et qui pesant dans le vide 4^^S94' ^^^ pareillement soumis à la loi d'inertie. La somme de ces masses sera donc égale au quotient du poids

divisé par

g^ = 9^S8o9, oui 79,36;

et, par conséquent, on aura ici, pour calculer toutes les circonstances du mouvement,

F=249S56-4,9iiA-V% j=r -L^ =: 3, 1447 -0,061 76 A- V.

Le ballon partant de terre avec une vitesse V d'abord nulle, on voit que, tant que la résistance 4»9i i A* V' restera au-dessous de 249''', 56, cette vitesse augmentera de plus en plus, et de quantités qui, à la vérité, iront sans cesse en diminuant pour des instants égaux t. Mais si celte résistance pouvait devenir égale à ^^^^"^,56, ce qui exigerait que la vitesse atteignit ellemême la valeur fournie par la relation

?.49*'S56 = 4>9"'<*V», ou 3,1447 = o,o6i76A*VS

à laquelle on satisfait en prenant à la fois k = 0,64, d*après la Table du n<* 428, et V=:8™,9i par seconde, alors la force accéléralrice F deviendrait nulle, aussi bien que l'accroissement

7o6 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

correspondant v de la vitesse, et le mouvement cessant de varier, il se continuerait uniformément en venu de rinenîe(55) ou de la vitesse acquise par le ballon, si toutefois les circonstances restaient, dans les régions supérieures de Tatmosphère, les mêmes qu'à la surface de la terre.

La discussion de cette particularité remarquable du mouvement ascensionnel des ballons, étant fort délicate et se reproduisant dans d'autres questions qui reviendront plus loin, je n'insisterai pas en ce moment, et me contenterai de faire observer que, pour un fluide quelconque et un corps spéciGquement plus léger, dont la résistance, à Tascension, pourrait être exprimée par la formule du n® 382, la vitesse limite, dont il s'agit, serait généralement fournie par l'équation

F=P'-P-R=:F-P-A^pA — = o, ou V==v/^-?^'i

k et V devant avoir ici des valeurs qui se correspondent dans la Table du n*" 428, ne peuvent ainsi être obtenues que par la méthode des approximations successives, nommée règle de fausse position. Mais, il est évident que le phénomène dont il s'agit est indépendant de la nature particulière de la loi de résistance, et, dès que cette loi sera donnée, on pourra toujours trouver la vitesse limite du corps par une équation analogue à la précédente, que nous avons rapportée simplement pour fixer les idées.

Ce qui diminue d'ailleurs l'intérêt qui pourrait s'attacher à la question dans le cas particulier des ballons, c'est la nécessité où l'on est, comme on la vu, de négliger l'influence, assez grande, exercée par la résistance des parties accessoires, et de supposer les circonstances atmosphériques constantes à toutes les hauteurs; ce qu'il n'est pas permis d'admettre, même pour les ascensions les plus habituelles des voyages aériens. La hauteur de ces ascensions surpasse souvent, en efl'ei, 2000 a 3ooo mètres, et l'on a vu, dans un pareil voyage, entrepris uniquement pour le progrès des sciences, deux illustres physiciens français, MM. Biot et Gay-Lussac, s'élever verticalement dans les airs, à une hauteur de près de 4000 mètres; puis ce dernier, dans un second voyage, atteindre seul la hauteur

DBS RÉSISTANCES. 707

énorme de 7015 mètres au-dessus du niveau des mers, la plus grande de celles auxquelles se soienl jamais élevés les hommes, même en gravissani les montagnes (*)• Or ces courageuses expériences constatent, ainsi que des observations antérieures ou postérieures, dont les plus importantes sont dues à MM. A. de Humboldt et Boussingault, qu'à de telles hauteurs, la température, la pression et la densité de Tair éprouvent, ainsi que l'action de la gravité, une diminution très-sensible, et dont il serait nécessaire de tenir compte dans des calculs rigoureux; ce que les savantes recherches de M. Biot, sur la constitution de l'atmosphère [Connaissance des Temps pour 1841), rendrait possible d'une manière approximative, si la question qui nous occupe en valait la peine.

Quant aux élévations de 4^^ ^ ^^o mètres, par exemple, il serait peu nécessaire de s'en inquiéter pour les ballons, et encore moins s'il s'agissait des projectiles très-denses de l'artil-lerie, et qui, tels que les bombes, sont élevés dans l'air, parla force de la poudre, à des hauteurs généralement médiocres.

450. Valeur de la force dynamique , accélératrice ou r«tardatrice dans le mouvement vertical descendant, — Cette force tend nécessairement à accélérer le mouvement des corps ou devient accélératrice toutes les fois que la densité moyenne 11(440) de ceux-ci surpasse celle du fluide, comme cela a lieu, par exemple, pour les projectiles de l'artillerie : elle se compose évidemment alors du poids absolu P du mobile dans le vide, poids qui mesure proprement l'action de la

(*) Nous saisissons cette occasion de rappeler que les ballons aérostatiquet furent découverts en 1783, par le célèbre Montgoifler, d'Annonay, et que Pilastre Des Rosiers, physicien distingué, né à Mets, périt en 17S5, TictimA de son zèla pour les progrès d'un art qui était encore dans son enfance, lorsqu'il tenta de franchir le détroit qui sépare la France de l'Angleterre. Il fut aussi le premier qui, au mois d'octobre 1 783, c'est-à-dire quelques mois seulement après l'époque où les frères Montgolfier firent leur brillante expérience d'Annonay, eut le courage de se frayer une nouTelle route dans les airs, à l'aide des ballons. La ville de Boulogne-sur-Mer, près de laquelle eut lieu la chute de Des Rosiers, a fait élever, à sa mémoire, un monument modeste, naguère en ruine, et que la Société académique de cette même ville vient généreusement de restaurer, en honorant ainsi, une seconde fois, le courage malheureux d'un savant qui lui fut étranger. {Note de V édition de 1829.)

6^8 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

la langue des géomètres. Mais, en réalilé, M. Piobert esl arrivé aux résultats de sa Table par une voie purement analytique ( * ) fondée sur la formule déjà citée du n*" 429, et sans l'établissement de laquelle cette recherche eût été impossible, tandis que la méthode précédente reste applicable, au moyen d'une courbe d'interpolation ou d'une Table analogue à celle du n® k2S, quelle que soit la complication de la loi expérimentale suivie par la résistance.

( " ) En po&ant, pour abréger, dans la formule du n* 429,

q = o,oo3 A,

elle prend la forme très-simple

R = inV«-H/iV«-i-y.

Pour les mouvements rapides des projectiles de Tartillerie, c'est-à-dire pour des vitesses supérieures à 5 mètres par seconde, on pourra négli(;er le dernier terme de la formule, et l'on calculera, d'après M. Piobert, en mètres et secondes sexagésimales, l'espace E décrit et le temps T écoulé pendant que la vite&se V du mobile se réduit à V, au moyen des formules

où le» logarithmes sont h perboiiqueSy comme dans la Xole du n® 444, cl P

désigne le poids, on kilogrammes, du projectile, 1 la fraction — = 588,2335

qui, ici, comme on voit, joue un très-grand r6l<», et niéritorait d'èlrc'; déterminée avec le plus grand soin, d'ai)rès les données de Texpérienco.

Pour les mouvements très-lents, au contraire, ou au-dessous de .'> métrés par seconde, on peut négliger le terme m V de la résistance, par rappoit aux deu\ autres, et alors on a

formules dans les(i».iulles encore, r exprime en nombre le rapport de </ à «, «'l l'abréviation arc tang^ l'arc du cercle dont le rayon, t?gal ii l'unité abstmiU\ a pour tjingente trigonométrique, la valeur numérique du rapport qui la suit, et <lont1a connaissance entraine celle de Tare au moyen des Tables trigonometriques connues.

Telles sont d'ailleurs les formules \yAv les(iuelles M. Piobert a calcule I»"* nombres inscrits dans le tableau du texte.

DBS lÉSlSTÀNCKS. 699

Malgré les reproches .adressés dans le n"" 429 à la fornuile doni il vient d'être parlé, et qui portent principalement sur les faibles vitesses et les gros calibres de projectiles, la Table dressée par M. Piobert, pouvant fournir des indications souvent précieuses comme moyelns d'approximation, dans les questions qui concernent le mouvement horizontal de ces cor.ps, nous avons cru faire une chose utile, en la rapportant ici d'après l'autorisation qu'a bien voulu nous en donner l'Auteur. L'usage en est d'ailleurs si facile que nous ne croyons pas nécessaire de nous étendre longuement sur son contenu; il nous sufOra de remarquer qu'elle ne donne pas seulement les temps écoulés et les espaces parcourus pour la vitesse initiale de 600 mètres par seconde, mais bien pour toutes celles qui se trouvent rapportées dans la ligne horizontale supérieure de la Table, et, par suite, pour les vitesses intermédiaires quelconques, au moyen de l'interpolation, ou du tracé continu des courbes mentionnées ci-dessus; méthode qui, sous le rapport de l'exactitude, aura surtout l'avantage dans l'intervalle correspondant aux vitesses de 100 à 200 mètres, et pour lequel les ordonnées ou valeurs du temps et de l'espace éprouvent des variations très-sensibles.

MtC&IflQUZ IinilISTtllLLK.

|Jjil=..j. = ..4

S, S S 8, a 4 2 sait'

IflfiîliliU.ilih.îl

rir fiiiiiridiii f r

o.co.o„.o.oo....o.o.o.

- o — o -— c o — o — ô — b — ô — fa ~È

sïasi.siï's n rs Sz Siï.i.s-c'8

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Voulant, par exemple, trouver le temps que la résistance de l'air mettrait à réduire à loo mètres la vitesse initiale de 5oo mètres supposée au boulet du calibre de 24, question dont nous nous sommes déjà occupés au n** 444^ on trouvera, dans les colonnes verticales qui répondent à 5oo et 100 mètres de vitesse et à la première des lignes horizontales relatives au boulet dont il s'agit, o",324 et 11", 65 respectivement; ce qui donne pour le temps cherché 1 1",65 — o",324 = 1 1", 326, dont la différence aux 11'', 77 obtenus dans le même numéro, provient essentiellement de la légère différence entre les lois de résistance admises dans les deux cas. En opérant d'une manière analogue pour les espaces, on trouvera que celui qui est décrit par le projectile dans l'intervalle dont il s'agit, est de 2321™— .178" = 2i43", au lieu des 2242 mètres obtenus dans le numéro déjà cité; mais il s'en faut de beaucoup que la différence des résultats demeure toujours circonscrite dans des limites aussi étroites pour d'autres hypothèses.

Enfîn si, au lieu de supposer la vitesse réduite précisément à 100 mètres, comme dans la Table, on voulait la prendre égale à lao mètres par exemple, il faudrait alors recourir aux courbes d'interpolation déjà mentionnées, et qu'il suffirait de tracer pour les abscisses ou vitesses, de 200, iSo, 100 et 5o mètres, voisines de 120 mètres; on trouverait ainsi 9'',o4 et 2047 mètres respectivement, pour les valeurs cherchées et que nous avons effectivement obtenues au moyen d'un tableau de semblables courbes tracées, dans toute leur étendue, par M. Piobert, qui a bien voulu nous en donner communication. Les mêmes procédés serviraient évidemment à faire découvrir l'espace relatif à un temps donné, ou réciproquement; c'est pourquoi il de-vient inutile d'insister.

Ccu du mouvement vertical.

448. Valeur de la force dynamique, retardatrice ou accélératrice, dans le mouvement ascendant. — Pour les corps trèsdenses, ce mouvement sera évidemment à la fois i<etardé, et par la résistance R du milieu, et par l'action de la pesanteur sur le corps, dont le poids P = QII (440) devra d'ailleurs

(M, 113 et suivants) être diminué de tout celui du volume Q de l'air qu'il déplace, poids que nous nommerons P'=:Qp, et qu'il sera facile de calculer au moyen de la densité p da fluide (^31). Nous aurons donc ici (HO)

F=R-4-P~F ou (^-±-^'q^ =R^(n— /i)Q;

ce qui donne pour le rapport de (^ à /, dans le mouvement ascensionnel du corps, ou pour la force dynamique relative i l'unité de masse,

v R -4- P — F grR U — p

1 ~^(n-f-/i/i)Q"" :n-hnp)Q"^^n-+-/i/i'

quelle que soit d'ailleurs la loi suivie par la résistance du milieu.

Pour les projectiles sphériques de l'artillerie lancés verticalement dans l'air, de bas en haut, on pourra négliger le terme /ip, relatif au fluide entraîné (HO), et, comme leur poids P, même en les supposant creux, est au moins Sooofois celui P' du fluide déplacé, on pourra aussi ne point tenir compte de ce dernier dans les calculs; ce qui, pour les hypothèses des n*»» Wl et kk% donnera simplement

V (R-hP) R 0,02/, V

formule qui met en évidence l'influence respective du diamètre d, de la densité moyenne II du projectile, et de la gravité ou de g-, sur le ralentissement plus ou moins rapide du nionvement ascendant.

Plus spécialement encore, on aura pour le boulet de 1^4» €["* nous a déjà occupés aux n**' 438, 442 et 4W, les formules

F = R H-P 1=0,00 10755 /rV'-î- 12, - ::ir 0,00088 AV' + 9", 809,

dans lesquelles il ne reste plus que /r et V d'indéterminés, et qui montrent que le mouvement sera de plus en plus retardé comme pour les projectiles lancés horizontalement, mais d'une

DBS RÉSISTANCES. ^o3

manière bien autrement rapide, et à peu près comme si ce projectile étant soutenu par un plan horizontal matériel (U6), son frottement venait à se joindre à la résistance de Tair. On voit, en effet, que la force retardatrice F, conservant, à tous les instants, une valeur qui surpasse 12 kilogrammes, il faudra bien que le mouvement finisse par s'éteindre complètement, même en un temps fort court.

Si, au lieu de posséder une densité moyenne H, supérieure à celle/? de l'air, le corps en avait une beaucoup moindre, il ne serait évidemment plus permis d'agir et de raisonner comme on vient de le faire. Dans le cas, par exemple, d'un ballon en taffetas verni, gonflé par du gaz hydrogène dont la densité est environ le -^ de celle de l'air à circonstances atmosphériques égales (40), ou, plus exactement, 0,0688 x i*"», 227 = o*'»,o82 pour I mètre cube, le poids de l'enveloppe réuni à celui du gaz qu'elle renferme, c'est-à-dire P, loin de surpasser celui de l'air entraîné ou déplacé, en serait une fraction assez faible; et alors aussi, non-seulement il ne faudrait pas imprimer de vitesse initiale à ce ballon pour le faire partir, mais encore il tendrait, par lui-même, à s'élever avec une force mesurée par P' — P, et qui lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré (108), si la résistance R ne venait aussitôt le ralentir.

La même chose pouvant se dire, en général, de tous les corpsquisontspécifiquementpluslégers(35) que le fluide qui les contient, on voit que la force dynamique ou accélératrice totale, dont ils sont animés, deviendrait alors

FrzF-P — Rr=z(p — n)Q->R;

de sorte qu'on aurait généralement aussi

(; p — IL gR

/ ""^ii-r/i/? (n-f/ip)Q'

formules qui ne diffèrent des précédentes que par l'inversion des signes. Mais, au lieu de raisonner dans ces hypothèses générales, il vaudra mieux revenir à l'exemple particulier des ballons, qui est assez intéressant en lui-même, pour que nous consacrions l'article suivant, tout entier, à l'examen des particularités que son mouvement peut offrir.

^o4 MÉCâHIQUB INDU8TE1BLLE.

1^9. Exemple relatif à V ascension verticale des ballons, limite de leur vitesse. — Supposons ( PL III y fig. 'jS ) un ballon sphérîque de lo mètres de diamètre, son volume sera, à trèspeu de chose près, de 523""% 6; par conséquent le poids du volume d'air qu'il déplace dans les circonstances atmosphériques Indiquées au n"" k3i, aura pour valeur

523"*^, 6 X I ^', 227 = 642^», 5 ; celui du gaz hydrogène qu'il contient,

seulement; et enOn le poids absolu du fluide qu'il entraîne(i42),

poids énorme comme on voit, et qui doit exercer une trèsgrande influence sur les lois du mouvement.

Ordinairement les ballons destinés aux voyages aériens portent, suspendue à un système de cordes, une nacelle ou gondole, en osier, très-légère et dans laquelle se placent lesaéronautes ; nous supposerons que le poids de ces objets et de tout le surplus de l'équipage soit de 35o kilogrammes, mesuré dans l'air, ce qui est une charge considérable. Enfin, pour être parfaitement rigoureux, il conviendrait encore d'avoir égard à la résistance de l'air contre la gondole, les cordages, etc., ainsi qu'à la masse de fluide qu'ils entraînent; mais^ comme ces quantités seraient impossibles à évaluer d'une manière précise, et qu'elles doivent être très-petites vis-à-vis de celles qui se rapportent au ballon, nous en ferons abstraction, sans perdre de vue néanmoins la faible part d'influence qu'elles peuvent exercer sur les lois du mouvement. D'après cela, le ballon serait enlevé avec une force constante

qui sera diminuée, à chacun des instants du mouvement ascensionnel, de toute la résistance opposée par l'air, et que nous continuerons à évaluer au moyen de la formule