V» (P PM

P-F = R = */iA— , ou k\' = !ig^ S

si Ton continue à admettre la loi de résistance du n'' 382.

Ainsi, encore, le rapport de v» à /, variant désormais de quantités extrêmement petites, le mouvement tendra à devenir uniforme, et il le deviendrait rigoureusement, si le mobile pouvait effectivement acquérir la vitesse limite dont il s'agit Mais, comme le rapport inverse du temps / à raccélération correspondante v de la vitesse, converge, dès lors, vers l'infini, on se trouve ici dans des circonstances analogues à celles qui nous ont occupé au n" kk% circonstances dont nous renverrons la discussion approfondie à l'un des articles ci-après.

D'ailleurs ces mêmes circonstances supposent essentiellement que P — P' surpasse R, dès l'origine du mouvement, ou à l'instant de la descente du mobile; s'il en était autrement, si la vitesse initiale rendait R pluà grande que P — P', P continuant à surpasser P', comme on vient de le supposer, la vi* tesse, loin de s'accroître, serait évidemment diminuée ou re-

lardée par une force

elle serait continuellement jusqu'à Tinslant où la résistance R se trouverait assez amoindrie pour n'être plus égale simplement qu'à l'excès du poids absolu P du corps, dans le vide, sur le poids P' du volume de fluide qu'il déplace; ce qui arriverait précisément pour la vitesse fournie par l'une ou l'autre des équations de condition déjà posées ci-dessus.

Cette vitesse étant la même que celle du cas précédent, quand le corps et le milieu sont aussi les mêmes, on voit que, en général, quelle que soit V énergie avec laquelle un corps se~ rail lancé verticalement, de haut en bas, dans un fluide indéfini et homogène d'une densité moindre que la sienne propre^ la vitesse de ce corps convergerait j tendrait sans cesse vers une même limite y qu*il est possible de calculer à l'avance, mais qu*il n'atteindrait pour ainsi dire jamais.

Enfin si le poids spécifique du mobile élait inférieur à celui du fluide ou que P' surpassât P, la vitesse serait de plus en plus retardée, tant par l'action de P' qiie par celle de la résistance R; de sorte qu'on aurait alors, pour la force retardatrice efTeolive,

quelle que fût la valeur de celte résistance ou de la vitesse. La somme R -+- P' surpassant donc constamment P, il est clair que le mouvement finira par s'éteindre complètement; et, comme on aura à cet instant

force toujours dirigée de bas en haut, on voit que le corps tendra aussitôt à rebrousser chemin, ou à remonter en vertu de cette autre force, désormais accélératrice,

F=rP'-(P4-R):

il suivra donc dès lors absolument les mêmes lois que celles qui se rapportent à l'ascension des ballons (448 et 449); ce qui nous dispense de poursuivre davantage l'examen de son mou-

7IO MiCAinQUI CrBCSTUILLE.

vement. Ce même cas est d'ailleurs analogue à celui que présente un corps dense lancé, de bas en haut, avec une certaine vitesse, et qui, parvenu à sa plus grande élévatïbn, redescend ensuite par Tari ion prépondérante de son poids sur celle des pressions extérieures, ou du poids du volume d'air déplacé.

451. Exemples particuliers et faits généraux relatifs A la plus grande vitesse de chute des corps dans les fluides, — Dans le cas particulier du boulet de 24 ^u n** 438, dont le poids, dans l'air, P — F =: iq}-^, le mouvement, s'il était suffisamment prolongé, deviendrait uniforme à Tintant où l'on aurait

Or on voit de suite, d après la Table du numéro déjà cité, que cette condition est satisfaite par une vitesse d'environ 125 mètres par seconde, à laquelle correspond (425) une valeur du coefficient k de la résistance, qui doit peu différer de 0,7 14-7X0,06 = 0,725. Telle est donc aussi la plus grande vitesse qu'un boulet, de ce poids et de celte dimension, puisse acquérir en tombant verticalement dans l'air; et c'est aussi vers cette limite inférieure que tendrait la vitesse d'un boulet quelle que fût la rapidité de son mouvement initial de descente.

Cette même vitesse limite diminuerait évidemment avec le poids spécifique du projectile par rapport au milieu. Par exemple, on la trouverait respectivement de 207, 46 et 43 mètres par seconde environ, pour des boules de même grosseur, en platine, en glace ou eau congelée et en bois d'orme, dont les poids seraient à très-peu près, de 36 kilogrammes, 7^*,! et i''S36. Elle diminuerait pareillement avec la grosseur ouïe diamètre, quoique dans une moindre proportion : ainsi, pour des globes de même densité, mais dont le diamètre serait seulement de y7Xo'",i48 ou 5'""*, 9, elle se trouverait réduite à 7 environ des valeurs ci-dessus, et plus particulièrement, à jX 4^"* = 9"*» 2 POU'' tjne bille de glace dont la grosseur serait à un peu près celle des grêlons ordinaires, lesquels, en réalité, doivent acquérir des vitesses de chute beaucoup moindres, à cause de l'excédant de résistance occasionné par leur forme anguleuse et la rotation qui peut en résulter.

Au surplus, rînHucnce du diamètre el de la densité devient tout à fait explicite et manifeste quand, dans la relation générale

P-P' = R=:A7?A— , ou ^V'=:2g'îi-— ^S

on remplace, comme on Ta fait au n" W2, pour une autre circonstance, P, P' et A, par leurs valeurs analytiques dans l'hypothèse où le mobile serait sphérique. Elle devient, en effet, si Ton conserve aux lettres la même dénomination et qu'on suppose toujours, pour le lieu où nous sommes, 5^ = 9"! 809,

ce qui montre que, dans les exemples ci-dessus, où le rapport deU k p n'est pas descendu au-dessous de 600, les vitesses limites V sont, à très-peu près, proportionnelles à la racine carrée du diamètre du mobile et du rapport de sa densité à celle du milieu.

Ceci explique pourquoi (7) les poussières extrêmement ténues tombent dans Tair, et à plus forte raison dans Teau, avec une si grande lenteur, quoique leur densité surpasse notablement celle du fluide qui les renferme; et des considérations analogues, fondées sur les formules générales des n"' H2 et 448, relatives au mouvement horizontal ou vertical, servirdient également à expliquer comment il arrive (7) que les courants d'air ou d'eau entraînent les débrfs des corps solides d'autant plus loin qu'ils sont plus ténus, moins denses, tandis que ces mêmes parties sont, à l'inverse, celles qui parcourent le moins d'espace quand on les lance, dans un air en repos, avec une certaine vitesse horizontale ou ascensionnelle. Mais la diversité de la forme des corps n'influe pas moins, comme on va le voir, sur la limite de leur vitesse, que leur densité spécifîque et leurs dimensions absolues.

452. Calcul de la plus grande vitesse de descente des parachutes dans Vair, — On sait que les parachutes à l'aide desquels les aéronautes peuvent abandonner leurs ballons et descendre sans danger, des régions supérieures de l'atmosphère.

712 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLE.

sont à peu près disposés comme les parapluies ordinaires (PL III^Jig.'^&)^ si ce n'est qu'ils reçoivent des dimensions beaucoup plus grandes, et qu'ils portent, à l'extrémité inférieure de leur tige verticale, une petite gondole en osier, propre à recevoir le voyageur. 11 devient intéressant de se demander quelle sera la limite de vitesse qu'un pareil système pourra atteindre sous des dimensions données, dans sa descente verticale, ou quelles devraient être ces dimensions pour que la vitesse eifective demeurât inférieure à une limite également assignée, et qui serait reconnue n'offrir aucun péril pour le voyageur; question analogue à celle que Dubuat avait déjà traitée dans le tome II de sç,s Principes d'Hydraulique (n'^SSî et 557), longtemps avant que Garnerin ait eu la hardiesse de tenter, pour la première fois, sa dangereuse expérience.

Considérant, à cet effet, un plan mince circulaire et hori* zontal, pour lequel il suppose (^05) /r = i,43, il trouve que, sous un diamètre de i8 pieds, la limite de la vitesse serait d'environ 19 pieds ou 6 mètres par seconde, qui répond sensiblement à la hauteur de 6 pieds ou 2 mètres, de laquelle un homme exercé pourrait se laisser choir sans trop de danger; mais il sera plus prudent de réduire cette même vitesse à 4 mètres, ce qui exigera simplement d'agrandir un peu la surface du parachute.

On peut juger, d'après le résultat des expériences de M. Thibault, rapportées aux n**» 409 et 410, que, pour une llèche comprise entre le 7 et le y de l'envergure ou diamètre moyen du parachute, la résistance serait, tout au plus, i,i5 fois celle d'un plan mince qui aurait pour aire la projection A, de sa surface, sur un plan perpendiculaire à son axe vertical. D'un autre côté, nous avons vu (407) que la valeur la plus probable de A, pour ces derniers plans, était de i,3; on aurait donc, dans le

cas actuel,

en nombre rond; de sorte qu'en supposant au parachute un diamètre moyen de 8 mètres, ce qui donne

Ar= 3,1416x4'" X 4"» = S*"*!, ^656,

on pourrait calculer sa résistance, dans les circonstances or-

DBS RÉ8ISTANGBS. 7l3

dinaires, par la formule

R = o,o6253XI,5AV^ = o,o938AV' = 4,7I5V^

Si Ton s'en référait, au contraire, au résultat des expériences spéciales de M. Didion, qui se trouvent consignées au n** ^ll» on obtiendrait, en supposant sensiblement p=zp\ et négligeant, à cause de leur faible influence, le terme constant et celui qui provient de la masse d'air entraîné, puisque le mouvement est censé parvenu à sa limite ou à l'uniformité (^48), on obtiendrait, dis-je,

R = o,i63AV^=:8,i9V%

résultat presque double du précédent auquel il nous semble convenable d'accorder la préférence dans une question de cette espèce. •

D'après cela, supposant que le poids P — P' du voyageur et de tout le surplus de l'équipage, mesuré dans l'air, soit de 85 kilogrammes, la plus grande vitesse que puisse acquérir le parachute dans sa descente, sera donnée par la condition

4,7i5V'=85, ou V = v^i8,o297x4>25l

par seconde. Une telle vitesse, en supposant même qu'elle pût être atteinte, serait assez faible pour prévenir tout accident à Tinstant où la gondole toucherait terre : un procédé inverse et tout aussi simple d'ailleurs, servirait à trouver la valeur de l'aire A, propre à satisfaire à toute autre condition.

Nous venons d'ajouter : en supposant qu 'elle pût être atteinte; car nous n'avons pas tenu compte de la résistance de la gondole, des tiges du parachute, etc., et les calculs ne se rapportent qu'à la plus grande vitesse que puisse acquérir le système, à celle qui répond à l'instant où le mouvement serait devenu entièrement uniforme (449 et suivants). Or il est aisé de se convaincre que, dans la réalité, les corps qui tombent ou s'élèvent verticalement dans l'air, ne peuvent, comme on Ta déjà insinué au n^ 450, jamais parvenir rigoureusement à cet état de mouvement, quoiqu'ils en approchent sans cesse, et que, dans certains cas où la masse du corps et du fluide entraîné est

7l4 MÊCÀlflQUB INDUSTMILLB.

très-peiite, ils puissent en approcher de fort près, même au bout d'un intervalle de temps médiocre, comme le prouve la relation (45o) qui donne le rapport de vk t.

tô3. Démonstration géométrique de Vimpossibilité que le mouvement continu atteigne rigoureusement sa limite uniforme. — D'après les discussions des n*** 442 et 443, ce fait peut être considéré comme une conséquence évidente de la rapidité avec laquelle le rapport de c' à / (450), tend, dans le cas actuel, à décroître, et le rapport inverse de i k u k croître avec la vitesse V, possédée aux divers instants par le mobile; mais il ne sera pas superflu de le démontrer directement, sans calculs et par les seules considérations de la géométrie, d'autant plus que le principe est important, et s'applique indistinctement à tous les cas où le mouvement tend, sans cesse, à se régulariser par l'action d'une force dynamique décroissante et dont l'intensité, uniquement variable avec la vitesse, suit une loi exactement continue et mathématique.

Traçons ( PI. III, fig. 77 et 78) une courbe ABC dont les abscisses 0/', or, 0/f',. . ., représentent (50) les temps successivement écoulés depuis l'origine du mouvement, qui, ici, répond au point 0, et dont les ordonnées /V, t^v"^ f^v",... correspondantes, représentent, au bout de ces temps respectifs, les vitesses acquises par le point du corps où est censée appliquée la force accélératrice ou retardatrice ; il est clair que, quand sous rinlluencc de cette même force, la vitesse augmentera (PI, III, /ig. 77 ), ou diminuera {PL III, ^g. 78), constamment, par succession insensible ou suivant une loi rigoureusement continue, la courbe s'éloignera ou s'approchera aussi continuellement de l'axe des abscisses OT. Si donc la vitesse doit devenir, à la fin, constante ou uniforme, la courbe devra également, dès lors, se confondre avec une parallèle à ce même axe; mais, comme une courbe continue diffère essentiellement, dans sa nature, d'une simple ligne droite, comme son tracé géométrique, sa loi mathématique sont essentiellement distincts du tracé et de la loi de celle-ci, elle ne saurait, rigoureusement parlant, jamais dégénérer en une telle ligne, bien qu'elle puisse en approcher de plus en plus et indéfiniment, de sorte, par exemple, qu'au bout d'un temps

DBS RÉSISTANCES. 7l5

excessivement long, ou à une dislance excessivement grande de l'origine 0, les vitesses ou ordonnées diffèrent aussi extrêmement peu de celles qui appartiennent à une droite DE, parallèle à Taxe OT, des temps ou des abscisses. Or ce)te droite est ce qu'on nomme une asymptote dans la géométrie des courbes, et c'est la valeur constante OE, TD, de ses ordonnées, que nous avons, tout à l'heure, déterminée pour le cas du mouvement vertical des corps dans l'air.

Telle est l'interprétation géométrique fort simple du fait qui nous a d'abord été révélé par le calcul et le raisonnement, fait qui se reproduit dans une infinité de circonstances, parce qu'il existe aussi une infinité de lois, une infinité de courbes qui donnent lieu à des asymptotes, dont le caractère général esl, comme on voit, de s'approcher continuellement et indéji^ ni ment d'une certaine branche de ces courbes, sans néanmoins pouvoir jamais l'atteindre , droites que l'on considère aussi quelquefois, comme de véritables tangentes au point situé à l'infini sur une telle branche (*).

Les hyperboles, entre autres, dont nous avons rencontré des exemples dans divers numéros de cet Ouvrage, possèdent deux asymptotes pareilles, quand on les trace dans toutes leurs parties, car elles ont aussi deux branches infmies; mois toutes les courbes qui ont de telles branches n'ont pas pour cela des asymptotes : la parabole entre autres est dans ce cas. En général, on doit voir, par là, combien l'étude des courbes géométriques est utile pour la mécanique, puisque chacune de leurs propriétés répond essentiellement à quelqu'une des propriétés relatives aux lois du mouvement des corps ou de faction des forces qui les sollicitent.

454. Réflexions sur la manière dont les moteurs communi'^ quent le mouvement aux machines, — Quand un moteur animé ou inanimé est appliqué à une machine industrielle quel-

(* ) On peiit^ici justiHer directement cette notion en se rappelant (53) que le rapport de c à r, qui représente, en (>énéra], l'inclinaison des tangentes de la courbe sur l'axe des abscisses ou des temps, devient nul avec la force dynamique, ou pour l'ordonnée qui répond à la vitesse limite, caractère qui appartient à une parallèle à Taxe dont il s'agit.

7l6 MÉGAlflQUB INDUSTIIBLLE.

conque, il commence par la mettre en mouvement, avec un effort qui d'abord est très-grand (148), il détruit à la fois, aa point où il opère immédiatement, et la réaction provenant de l'inertie des pièces de la machine et celle des diverses résistances nuisibles ou utiles; la force dynamique F, qui accélère le mouvement, est donc alors égale à l'excès de l'effort total du moteur sur l'effort que lui opposent directement celles des résistances dont il s'agit, qui sont indépendantes de l'inertie. Or, comme ces résistances, ou restent sensiblement les mêmes à chaque instant, ou augmentent de plus en plus avec la vitesse, et que l'effort du moteur décroît au contraire (148) constamment, il en résulte que le mouvement s'accélère de moins en moins, à peu près comme dans les cas qui précèdent, de sorte qu'il tend sans cesse à se régulariser ou à devenir uniforme; mais ce n'est qu'au bout d'un temps, souvent fort long, que la vitesse atteint sensiblement la limite de sa valeur, à laquelle elle ne parvient même jamais, mathématiquement parlant, dans beaucoup de circonstances.

Toutefois les moteurs animés différant essentiellement des autres en ce qu'ils ont la faculté de maintenir, pendant un certain temps, l'intensité entière de leur effort primitif, malgré l'augmentation de la vitesse, puis de le diminuer tout à coup, et de le réduire à celui qui est strictement nécessaire pour vaincre les résistances étrangères à l'inertie, ou pour entretenir la vitesse du mouvement au point où elle est parvenue à un certain instant, on voit que la proposition ci-dessus n'est plus exactement applicable, et que la machine peut atteindre, au bout de très-peu de temps, l'état moyen du mouvement qu'elle doit conserver. Or, la même chose aura lieu (241) toutes les fois que la force motrice ou les résistances suivront une loi discontinue, arbitraire, et qui ne dépendra pas uniquement de la vitesse.

455. Question particulière relative à la chute des corps dans l'air, — r^es méthodes de calculs dont nous avons offert un exemple dans le n° 444, pouvant tout aussi bien s'appliquera la recherche des lois du mouvement vertical, ascendant ou descendant des corps, qu'à leur mouvement horizontal, puisqu'il ne s'agirait que de modifier, d'après ce qui a été dit aux

DBS RÉSISTANCES. 717

n^ kkS et 4^50, les valeurs de la force dynamique, H serait peu nécessaire de revenir ici sur de semblables calculs; mais, attendu que, jusqu'à présent, nous n'avons point offert d'exemple de la manière dont on doit s'y prendre pour trouver l'espace décrit par le mobile, quand le temps est donné ou réciproquement, nous terminerons ce Chapitre par la question suivante» en elle-même assez digne d'intérêt.

Ayant observé expérimentalement , à l'aide d'une montre ou chronomètre, le temps, qu'un corps a mis à tomber verti^ calement , d'une certaine hauteur, dans l'air, trouver cette hauteur.

Pour faire une telle expérience dans la vue, par exemple, d'obtenir la hauteur d'un édifî#e ou la profondeur d'un puits, il conviendrait, si Ton avait en sa possession un moyen trèsprécis de mesurer le temps, de choisir un corps sphérique exactement calibré, très-dense et d'un assez fort diamètre, afin de diminuer l'influence de la résistance de l'air et les incertitudes relatives à sa mesure. Dans le cas où, au contraire, il deviendrait, par exemple, impossible d'apprécier le temps à un dixième de seconde près, on se servirait d'une boule assez légère afin d'augmenter la durée de sa chute, et c'est aussi ce que nous supposerons pour mettre le rôle de la résistance de l'air en complète évidence. Nous supposerons qu'ayant laissé tomber d'une certaine hauteur, une boule en bois d'orme de o™,o3 de diamètre, et dont le poids P, mesuré directement dans l'air, aurait été trouvé exactement de o^«,ooii3, l'observation directe du temps ait donné 2^,5 pour la durée effective de sa chute, et nous prendrons k = o,5i pour la valeur moyenne ou constante, la plus probable (i25 et suivants], du coefficient de la résistance qu'éprouve une pareille boule, sous des vitesses qui, dans le cas actuel, ne sauraient dépasser celle de 22 à 23 mètres par seconde, comme on va s'en assurer, à posteriori, au moyen de calculs analogues à ceux du n" 451 {*).

{*) Dans cette hypothèse particulière de A constant, qui est toujours permise pour une faible étendue des variations de la vitesse V du corps (428), c'est-àdire quand on suppose la résistance exactement proportionnelle au carré de cette vitesse, on peut immédiatement calculer les lois du mouvement vertical et parallèle du corps par les formules ci-dessous, généralement connues et

7i8 mécâhiqui ikdustuillb.

Dans ces hypothèses et en supposant, de piul, les circoBstances atmosphériques semblables à celles qui ont servi de base t l'éublissement de la formule R = o,o6253Ar AV> du n* 431, on

aura

R = o*, 00001298 V% à cause de

ce qui donnera {kki et USO), pour calculer les lois du mome-

qu'il terait facile de justifier encore à l'aide de considérations purement géoiaétriques.

Pour le mouvement Tertical retardé, qui peut être aussi bien descendaat qu'ascendant (450), même sous l'influence d'une vitesse iniUale Y% on a géneralement ^

relation dans laquelle a et ^ ont les valeurs numériques qui se déduisent des eonsidcratioos des n**' 448 et 450, et l'on pourra calculer directement la vitesK V et l'espace E, relatifs à un nombre quelconque T de secondes écoulées, aa moyen des formules

iV'cosrT — sinrT , , „, . ^ '^=.V'rinrT-H«o,rT' «E = Iog(.V'..nrT-H cotT),

où les 1of;arithmes sont toujours ( 445, note) censés hyperboliques, tandis que/ désigne la racine carrée du rapport numérique de a à ^, et r celle de lear produit ^a^. Si l'on veut calculer directement le temps et l'espace qui ré' pondent à une vitesse V donnée, on se servira de ces autres formules

rT = aretanc^^.,^,^, a aE = Ioq j-^-r^ .

Quand, au contraire, il s'agira de trouver la vitesse V et le temps T qui correspondent à une hauteur donnée E, on recherchera dans les Tables hyperboliques, le nombre \ dont le logarithme a pour valeur le produit aE, qui est ausAÎ un nombre, et l'on calculera la valeur de V, au moyen de la formule

d'où l'on déduira finalement celle de T par Tavant-dernière des formules qui précèdent.

Dans le mouvement vertical accéléré, descendant ou ascendant, la première des équations ci-dessus deviendra

actb prenant de nouvelles valeurs numériques également faciles à calculer, et

DBS BÉ6ISTÀIIGB8. 719

ment, puisqu'il devient ici permis de négliger la considération du poids de Tair entraîné par la boule,

^ ^F I - o,oo2o336 V» '

en prenant ^ = g^jSog et divisant, haut et bas, la valeur de /, par celle de P.

l'on aura, en supposant la vitesse initiale V nulle, comme cela arrive ordinairement,

2'-T = loB ;j— r^, aaE = logy--^rvî, y^^——,

rT = log(X-v^}F37). «E = logl±J^\ /v = ^^,

a, I, r, X ayant les mêmes significations que ci-dessus, et Y désignant, de plus, le nombre qui, dans les Tables hyperboliques, a pour logarithme le produit

rT ou yJabT, quand on se do mie T à priori.

Nous avons réuni ici ces diflférentes formules pour la facilité des applications ; mais il ne faut pas oublier que les logarithmes étant hyperboliques, X et Y ne

sont autre chose que les nombres ou exponentielles e" , e^*^ , dans lesquelles la lettre e représente la base 3,718282 de ces logarithmes; de sorte que, si Ton fait usage de Tables ordinaires dont les logarithmes doivent être multipliés par 2,3o3585 pour reproduire les précédents, les valeurs X et Y, X* et Y* seront données par les nombres qui y ont pour logarithmes respectifs les produits

de aE, sfâbT, laE, i^ahT, multipliés par le logarithme ordinaire de 1,718289, ou par 0,4342945.

Pour la question particulière traitée dans le texte,

* = ^=9"*,8o88, a = o,ooQo336^ = 0,01995, 1 = i/^ =6,o45i,

r = \/âi = 0,44^33, T = a", 5, rT = 1 , lo583, logY = 0, 4342946. rT;

ce qui donne Y = 3,02173, et, par la cinquième et la sixième des formules cidessus, relatives au mouvement accéléré,

aE= 2, 302585 X log 1,676325 = o,5i66i, E = a5™,899, V = 17™, 796.

Dans le texte, nous avons trouvé, par une méthode de calcul qui n'est guère plus pénible et demeure applicable à une loi de résistance quelconque, E = 25*", 976, V = 17^,75 ; résultats dont la différence avec les précédents est à peine de quelques millièmes de leurs valeurs, etqu*il eût été facile d'obtenir à un plus grand degré d'approximation encore, sans compliquer beaucoup plus les calculs. 4

720 MÉCANIQUE 1NDU8T1IBLLE .

La limite de la vitesse que pourrait acquérir la boule dans sa chute indéfinie, devant satisfaire à la condition F = o, on obtiendra pour sa valeur

vitesse en dessous de laquelle devra se trouver sensiblement celle de la boule à l'instant où elle touche terre. D'un autre côté, si la chute se faisait dans le vide, la vitesse acquise au bout des a'', 5, serait (118)

V = grT = 9-,8o9 X :i^5 = 24«,52,

quantité supérieure à la précédente, et qui, par ce motif, ne saurait être prise ici pour limite encore plus rapprochée de la vitesse effective ou de celles qui doivent entrer dans les calculs (kki)f quoiqu'il puisse en être autrement dans le cas des fortes densités ou des petites chutes. Enfin la hauteur de chute dans le vide absolu ayant pour valeur

E = i g-T' = i VT = i2",26 X a",5 = 36'»,i8,

on est assuré, à l'avance, que la véritable lui demeurera inférieure d'une certaine quantité.

Cela posé, on commencera par rechercher, à l'aide d'un tâtonnement plus long qu'il n'est difficile, la vitesse tinale qui, dans l'air, répond efTeciivemeni à la durée de ^^^S; car on en déduira ensuite sans hésitation (441) celle de E. A cet effet, on supposera arbitrairement celle vitesse finale de i6 mètres par seconde, c'est-à-dire plutôt trop faible que trop forte, et partageant ensuite l'intervalle de o à i6 mètres, en quatre parties égales, d'après la marche déjà employée au n**. 444, on dressera la Table suivante des valeurs du quotient de P parg^F, facteur de t' dans / :

Vitesse. Valeorsde— =•

«F tu

iG 0,21265

DES BÉSISTANGBS. 7^1

<;e qui donnera pour le temps que le mobile mel à acquérir la vitesse de i6 mètres dont il s'agit,

valeur un peu forte, mais qui probablement est exacte à o^,oi près, puisque la division en deux parties égales seulement, •donnerait 2^^,0893 pour première approximation.

La durée des 2*^,0633 étant surpassée par les 2^,50 données, d'une quantité moindre que le \ de sa valeur, el les différences consécutives des quotients fournis par la Table ci-dessus, ne pouvant i^kk), à cause de leur marche croissante, appartenir qu'à une courbe qui s'écarte rapidement de l'axe des abscisses auquel elle tourne sa convexité, il en résulte que la vitesse cherchée sera de beaucoup inférieure à i6""-f- jX 16 ou 20 mètres, et qu'il deviendra nécessaire de resserrer davantage les .intervalles d'abscisses. On formera donc cette nouvelle Table :

iS 0,29887

où l'intervalle de 16 à 20 mètres se trouve divisé en quatre parties égales; ce qui donne 1^,2966 pour le temps écoulé dans cet intervalle, ou i'',3o3o, si l'on se borne à la jii vision en deux parties égales; résultat qui montre que la première valeur doit être exacte jusque dans la troisième décimale au moins.

Cette même valeur, ajoutée à celle 2",o633, déjà trouvée, donnant, en somme, 3'',36oo, on voit qu'en effet elle est beaucoup trop forte; et, comme elle correspond à une vitesse de no mètres, fort voisine de la vitesse limite 22"*, 18, on doit en conclure que, bien que celle-ci ne puisse jamais être atteinte par le mobile, cependant il faut à ce dernier assez peu de temps pour en acquérir une qui en diffère peu. D'un autre côté, si J'on considère l'intervalle de 16 à 18 mètres, on trouve

•iXi"(o,2i265 H- 0,29887 4-4Xo,24726) = o%5oo2;

^22 MfiCAKIQCB I5B0ST1IBLLB.

ce qui donne 2''y5635 |>our le temps que la boule met à al* teindre la vitesse de i8 mètres. Ainsi cette vitesse, encore trop forte, doit différer très-peu de la véritable, qu'on découvrira en observant que, si Fintervalie de 2 mètres entre les 16 et 18 mètres de vitesse, donne un accroissement de temps de o''y5oo2, l'intervalle qui répond à la différence o',o635 entre les temps 2''y5635 et 2'',5ooo, doit différer fort peu de

que nous réduirons à o"", 25 puisqu'en substituant ici la cordée l'arc (447), nous devons trouver une valeur un peu trop forte. Finalement donc, la vitesse correspondante aux 2'', 5 données, est, à une petite fraction près,

Maintenant que cette vitesse est connue, on trouvera l'espace qui lui correspond, en multipliant, comme on l'a fait au n^ 445, les valeurs déjà trouvées du quotient de P sur^F, par les valeurs respectives de V, afin d'obtenir celles des (acteurs de V dans l'expression de e {kki ), etc. En procédant à ces nouveaux calculs, dans l'ordre qui a été précédemment suivi, ou trouvera : 1® i8'",5iipour la hauteur de chute relative aux 16 premiers mètres de vitesse acquise; 2"* 8"*,532 pourcellequi répond à rintervalle compris entre la vitesse de 16 à 18 mètres; 3** Y X 0,25x8"*, 532= i"»,o67 pour celle que décrit le mobile pendant qu'il passe de la vitesse de 17", 76 à celle de 18 mètres; ce qui oonne, pour la hauteur de chute effective,

i8",5ii -h 8", 532 — i™,o67 = 25",976,

valeur qui ne doit supasser la véritable que de quelques centimètres. On trouverait, par une marche exactement inverse, la durée relative à une hauteur de chute donnée, et il va sans dire que des calculs absolument semblables serviraient à faire découvrir toutes les particularités du mouvement ascensionnel des corps dans l'air ou dans des fluides quelconques.

DBS RÉ818TÂ1ICES. 7^3