r 27rV /' 27rV Q^ ' T

de sorte que ce nombre croîtra précisément dans le rapport inverse de celui qui précède, ou, pour nous énoncer d'une manière plus explicite : // croîtra directement comme la racine carrée de la résistance élastique naturelle, AE, du prisme, et inversement comâie la racine carrée du produit, QL, de sa longueur, par la charge qui lui est constamment appliquée. Enfin, la vitesse moyenne des oscillations de cette charge étant ici égale (49) au quotient du double de leur amplitude, 2 /',

4^8 XÊCA5IQUB INDUSTRIELLE.

par leur durée, ou au produit de 4^'» pstr le nombre N, celte vitesse sera également fournie par l'expression

toujours dans Thypothèse oit Télasticité demeurerait parfaite, et où le mouvement se conserverait, lui-même, indéÔniment et sans perte. Mais nous verrons par la suite que ces divers résultats sont indépendants de cette dernière circonstance, ou du décroissement plus ou moins rapide de la vitesse eifective et de l'amplitude des oscillations.

Notions directes sur la nature du mouvement, — On se formera une idée très-claire du mouvement oscillatoire, pour ainsi dire théorique, dont nous nous sommes jusqu'ici occupé, si Ton imagine que le point n, dont l'extrémité inférieure du prisme représente, à chaque instant, la projection sur le diamètre vertical, BD, du cercle, BnDxB {Pi.II,Jig.5i), chemine d'un mouvement rigoureusement uniforme, et avec

une vitesse mesurée (323) par /r/' = v/^'> sur le contour même de ce cercle, de manière à indiquer, par ses positions successives, comme le fait l'extrémité de l'aiguille d'une montre, la mesure, la marche régulière du temps. Le syslème d'une manivelle qui se meut circulairement et uniformément autour d'un axe sur lequel elle est implantée, et qui pousse un châssis de scie ou un tiroir de machine à vapeur, par l'intermédiaire d'une longue bielle, otfre encore une image du mouvement oscillatoire ou périodique qui nous occupe, et dont on acquerrait, à priori, une notion géométrique également précise, en construisant la courbe qui a pour abscisses les arcs servant de mesure aux temps écoulés, et pour ordonnées les allongements ou sinus-verses correspondants (314), courbe serpentante qui appartient au genre de celles qu'on nomme 5//ia5oïdes.

31 G. Recherches de la force motrice variHble qui sollicite le prisme pendant le mouvement. — Pour compléter les notions relatives au mouvement oscillatoire des prismes, dans le cas élémentaire qui nous occupe, il est nécessaire de montrer

comment on peut obtenir et calculer directcmenl les efforts qui s'exercent réellement à leur extrémité inférieure B ( PL II, fig. 5i), pendant la durée de chacune des périodes d'oscillation de la charge Q, efforts qui sont dus, évidemment (130 et suivants), à l'excès du poid^ de cette charge sur la force d'inertie — - ? à tous les instants où il y a accélération de mou-

vemenl, et à l'excès contraire de celle-ci sur le même poids, lorsqu'il y a simple ralentissement.

En nommant P, l'effort dont il s*agit, et que nous savons déjà (312) être égal à Q, aux instants où l'oscillation commence et finit, et devenir précisément nul quand l'extrémité B est arrivée au milieu, C, de sa course, BD, nous aurons, en particulier, pour calculer P, dans toute la partie BC de l'oscillation descendante où le mouvement s'accélère, et plus spécialement pour la position m de B,

Mais, comme nous savons aussi (3H) que le temps infini-

1 mn' , ,

ment petit, /, est mesure par le rapport ^^7-» et que la vitesse V,

de la charge supposée parvenue en m, est mesurée par le produit li.mn, ou son accroissement v, par k.n'py il en résulte Immédiatement

t-^ ^ nn! -^ nn'-^^ Cn " /' ^^'^^

attendu que ^* = ^/ (313), et que les triangles, semblables et

rectangles, nn'p, mC/ï, donnent n'p: nn' :: Cm: Cn = l\ Donc, enfin, la force cherchée,

ou bien, en adoptant (314) les notions de la Trigonométrie,

P = Q( I — cosAT) = Q — Q. cosAT;

43o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

ce qui prouve que Tintensiié de cette force suit la même loi de périodicité que les allongements mêmes du prisme, fait que nous eussions pu considérer comme évident à priori, puisque ces allongements doivent, d'après nos hypothèses, demeurer exactement proportionnels aux eiforis qui les produisent.

En effet, si on continue ici à nommer i, rallongement proportionnel ou par mètre que subissent les divers éléments du prisme, sous l'action variable de P, allongement qui, dans nos hypothèses encore (312 et 313), est le même pour tous, à un instant donné, et ne dépend uniquement que de l'intensité de P, on aura, pour le déterminer,

I r=r y = y (i — cosfrT);

ce qui donne immédiatement

P:=rAE/=^(i-cos*-T) = 0(i-cos*T),

attendu qu'ici (313) QL = \El'; mais nous avons été bien aise de montrer comment on pouvait arrivera cette expression par la voie directe.

Ces résultats permettent d'ailleurs de calculer et de discuter, à priori, les diverses valeurs que prennent P et / aux instants successivement écoulés depuis Torigine du mouvement; mais cette discussion est trop facile pour qu'il devienne nécessaire de s'y arrêter. Nous ferons seulement remarquer que ces valeurs oscillent périodiquement autour de leurs moyennes respectives, en changeant de sens ou de signe, absolument comme le fait, lui-même, rallongement, /ou.mB, du prisme, aux divers instants du mouvement (314).

317. application à un exemple particulier, — Considérant notamment la barre de fer mentionnée au n" 310, et pour laquelle on a

L — lo"*, A =o"'*i,oo25, Q-ioooo^»,

on trouvera, en vertu des formules exposées dans les trois précédents numéros, oii l'on suppose la charge Q, simplement

suspendue à rextrcmité inférieure de la tige AB, sans vitesse antérieurement acquise :

i** Pour rallongement de stabilité, i', lequel se rapporte à un simple effort agissant sans vitesse appréciable,

Q loooo

r = -TTT = ? ^= 0,0002 ;

Ahé 0,0025 X 20000000000

2"* Pour le plus grand allongement proportionnel, acquis sous l'influence de la vitesse Q,

3® Pour les allongements absolus correspondants, BC et BD,

4** Pour la valeur du nombre k (313), attendu (117) que «r=9",8o9.

5® Pour celle de la vitesse maximum, V, acquise à Tinstant où rallongement /, est précisément égal (314) à l' ou BC,

V— kl' = 70,082 X o'",oo2 = o™,i4oo6;

&> Enfin, pour la durée d'une oscillation entière du prisme, ou de la charge Q,

27r 4/QL 2x3,i4i6 „ o T= -f- = 2^\/"^^ = T^ — = o",o8972,

ce qui donne par seconde, —, — tt — i i,t45 oscillations entières seulement, ou 22,2g demi-oscillations descendantes et ascendantes.

Mais, d'après la formule du n* 315, qui donne, en général, le nombre N, des oscillations entières par seconde, si Q, au lieu d'être de 10 000 kilogrammes, n'était que de 626 kilo-

grammes, ou le ^i de la valeur qui vienl de lui être attribuée, el qu'en même temps la longueur de L se trouvât réduite à I io"*=:i",iii, le nombre dont il s*agit serait augmenté dans le rapport de l'unité à la racine carrée du produit de i6 par 9, ou de I à 4x 3 = 12; de sorte qu'il s'élèverait à

ou i34 environ par seconde, le nombre des demi-oscillations étant lui-même porté à 267,48, dans le même temps.

Lois du mouvement oscillatoire des prismes dans le cas oà la charge possède une vitesse initiale.

318. Données fondamentales de la question, — Dans ce qui précède, nous avons, supposé que la charge Q était posée à l'extrémité du prisme AB (PL Ilyfig. 5i), avec beaucoup de douceur ou sans vitesse acquise; mais, s'il en était autrement, il est évident que l'étendue des excursions ou des oscillations du poids Q, serait augmentée, de sorte que l'élasticité naturelle pourrait être forcée.* Afin de s'en assurer directement, il faudra être en état (312) de calculer le plus grand allongement subi, par ce prisme, à l'instant où la vitesse de la charge se trouvera éteinte dans la première période du mouvement.

Équation du maximum d'allongement, — Pour l'obtenir, il suffira d'exprimer, toujours d'après le principe du n° 136, que

la moilié de la force vive initiale, possédée par la masse —de

la charge, augmentée de la quantité de travail Q.IL qui correspond (312) à la descente de son poids Q, de la hauteur V =^ IL, relative à ce plus grand allongement, est précisément égale à la quantité de travail ~ ALEP, développée, en sens contraire (247), par la force élastique du prisme, ou que

Qp4-QIL = |ALEI%

V, étant la vitesse initiale dont il s'agit. Cette relation, comme on voit, permettra toujours de cal-

culer I ou IL, par les mélhodes connues, quand on se sera donné les diverses aulres quantités qui y entrent; mais on y parviendra plus directement en remarquant que, si la limite d'élasticité ne se trouve effectivement pas dépassée, la charge, après avoir atteint sa position extrême ou la plus basse D', reviendra en arrière, pour exécuter une série d'oscillations entièrement semblables à celles qui ont été considérées dans le cas précédent, et qui seront d'ailleurs assujetties à la même loi, si ce n'est que l'étendue CD' ou CB' des excursions du point d'application B, de cette charge, de part et d'autre du pointe, qui en demeurera le milieu ou centre, se trouvera augmentée.

Considérations géométriques. — Sans recommencer la série des raisonnements et des démonstrations relatives au cas particulier où la vitesse initiale V, est nulle, on peut remarquer qu'on a toujours (312), pour déterminer l'allongement BC ou /', à l'instanrt où la plus grande vitesse est acquise, la relation

Q=:AEi', qui donne BC ou l=i'L=^^,