AE V A^Ë» AE^L
Effort qui correspond à V allongement maximum, — L'effort P, qui serait capable de produire et de maintenir, d'une manière statique ou permanente (312), le plus grand allongemenl du prisme, étant mesuré (236), par le produit AEI, en deçà de la limite oii Télasticité cesse de demeurer parfaite, il en résulte que Ton aura, en outre, pour calculer cet effort,
= Q -h y/ Q » -4- Q AE |a ::^ Q 4. Q y/ . + ___ ,
de sorte que l'excès de cet effort sur celui de la charge Q, aussi
bien que l'excès d'allongement \/ ^' "^ 77» ^"^* P^*" '® prisme
sous l'influence du mouvement acquis, croîtront, l'un et l'autre, a\ec la grandeur de la vitesse initiale, V,, mais croîtront d'une manière d'autant plus lente ou moins sensible que la longueur absolue, L, de ce prisme, sera, elle-même, plus considérable.
Rien ne sera plus facile d'ailleurs que de s'assurer, dans chaque cas, au moyen de ces différentes formules, si la limite d'élasticité n'a pas été atteinte ou entièrement dépassée.
Application numérique. — Prenant pour exemple les don-
nées du n° 317, où Ton a
• /' = o'",oo2, /»' = 2l 29 ~4qo4 5
0,002 -Ti7 77 »
on irouvera, en supposant seulement la vitesse initiale de la charge, V, := o™,2o, par seconde,
et, pour le plus grand allongement subi par le prisme,
BD'=o'",oo2 -h v'0,000012 i5 = o'",oo2 -f-o'^jOoSS = o",oo55;
ce qui répond, attendu qu'ici L = 10", à un allongement proportionnel ou par mètre, 1, de 7to"',oo55 = o"',ooo55, sous lequel l'élasticité serait, en effet, sensiblement altérée (292) pour certains fers, quoique ici la charge soit seulement de 4 kilogrammes par millimètre carré (310), et que la vitesse initiale V, =0™, 2, corresponde à une hauteur de chute qui surpasse à peine o™, 002* ou 2 millimètres.
On trouvera de même, pour TefFort P, qui serait capable de produire ce plus grand allongement,
P = AEÏ = Sooooooo'^^X 0,000 55 =■- 27500*'^
dont l'excès, 17500 kilogrammes sur le poids Q:= 10000 kilogrammes, de la charge, représente proprement la part qui doit être attribuée à Tinfluence de Tinertie ou du mouvement acquis par cette charge.
Maximum de contraction. — Revenons à nos premières considérations, et remarquons que la partie BB' de Toscillation en retour ou ascendante, de l'extrémité inférieure, B, du prisme, correspondra, dans l'hypothèse oii la charge Q lui serait invariablement attachée, à un véritable accourcissement, à une véritable contraction subis par ce prisme, et pourra à son tour être calculée par la formule
BB' := B' C - BC = CN — /' = Ji' -+- ^ - /',
qui, dans le cas parliculier ci-dessus, donnera simplemeni
BB' = o'",oo35 -— o'",oo2 = o*",ooi5,
ou un accourcissemenl de o",oooi5 par mètre de longueur seulement. Mais nous reviendrons, d'une manière plus particulière sur les réflexions que suggère ce résultat du calcul, quand nous aurons exposé quelques autres données essentielles de la question.
Énoncé et forme particulière des résultats. — Les formules qui précèdent sont susceptibles d'un énoncé très-simple en
langage ordinaire; car si Ton observe (313) que /t*= jj-t et si
Ton nomme H, la hauteur — î- due à la vitesse V,, il en résul-
tera, par exemple, pour le plus grand allongement que subil le prisme, sous l'influence de cette vitesse,
ce qui prouve que sa valeur surpasse celle de l'allongement de stabilité, /', relative à la charge Q, d'une quantité égale à la moyenne proportionnelle entre /' et sa valeur augmentée du double de U, : moyenne qui donne ainsi la mesure directe de l'influence exercée par l'inertie ou le mouvement de Q.
319. Formules relatives aux diverses circonstances du mouvement oscillatoire de la charge, — Pour être en mesure de discuter complètement ces circonstances, comme on Fa fait dans les précédents numéros, on nommera en général, atin d'abréger, r la demi-amplitude, ou le rayon CN=:CB' = CD' {PL tl,fg. 5i), du nouveau cercle, et ï' le temps que, dans ses oscillations périodiques, l'extrémité B de la tige meta parcourir l'intervalle BB'. Ce rayon et ce temps, qui sont déterminés par les relations de la figure, se calculeront directement au moyen des formules
4 /„. . V? „„ arcB'N angleB'CN
ilonl la dernière suppose qu'on ait préalablement calculé l'angle B'CN, à Taidc des Tables mentionnées au n® 314, et de Tune ou de l'autre des relations
BC ou /' =:rcosB'CN, BN = ^ = rsinB'CN,
qui donnent
cosB'CN ou cos/rT'i=-, sinB'CN ou sin/iT'=^.
/• kr
Expression du temps et des allongements variables. — Comme, en continuant de nommer T le temps que l'extrémité inférieure de la tige met à décrire l'espace quelconque, Bm = /, auquel correspond l'arc MN sur le cercle B'ND'B', on a pareillement
^ arcMN angleNCM . „. ,
T = —r = — ^^-r j ou angleNCM = /rT,
il en résultera, pour calculer à un instant donné cet espace qui représente l'allongement total alors subi par le prisme, la formule
Bm ou /=rBC — Cmi=/'— CM.cosB'CM
= /'-rcos/i(T-+-T'), puisqu'on a
anglcB'CM = angleB'CN -h angleNCM, et
angleB'CN = /rT', angleNCM = /.T.
Expression de la vitesse. — Quant à la vitesse dont la charge est animée au point quelconque, m, on la calculera, soit directement, au moyen de la formule
V — /r.mM=i /r v/mc' - mC =ksjr^ — (l'— l)\
soit par les Tables trigonométriques, au moyen de la formule (*)
V=/r.mM=r/. CM.sinB'CM = /rrsin/r(T-hT').
(') On peut mettre, sous une forme plus explicite, les expressions de V et
Enfin on aura toujours (316), pour calculer reffori moteur variable, P, qui agil à Texlrémiié inférieure, B, du prisme^ ainsi que rallongement proportionnel, /, qui en résulte, aux divers instants du mouvement
