A P AK

miner la Ioiif;ueur L, de ce prisme, tout le reste ct^nt connu, 1. = ^—- = o,G33 — - ;

AE étant la résistance élastique de ce même prisme, et Q le poids du support.

En efîecluant le calcul pour un exemple particulier, il sera facile de s'assurer que Tamplilude des oscillations du prisme irait continuellement en augmentant, mais d'une manière beaucoup moins rapide que dans les hypothèses de l'exemple précédent, où l'action motrice croissait elle-même sans cesse avec celte amplitude, tandis qu'ici elle en est supposée indépendante. Si Ton nomrhe, en effet, pour plus de généralité,

B' la valeur toute connue de la quantité ^û ^&'*"' = -^r^ qui

ne dépend que des dimensions et de l'élasticité du prisme, on trouvera par un raisonnement fort simple, mais dont le développement serait trop long à rapporter, que l'allongement /« subi par le prisme, au bout de n oscillations entières, est donné par la formule

/, = v^P-hnB»,

dans laquelle /' = td» représente (237 et suivants) l'allonge-

ment de stabilité que le prisme acquiert sous le poids seul de son support.

Le premier de ces allongements croît donc d'une manière d'autant moins rapide, que B' est plus petit vis-à-vis de /'*,

ou que le rapport de B' à l'^ égal à y^ - =z-L—- est lui-

môme moindre par rapport à l'unité; mais on voit aussi que la valeur de ce dernier allongement ne saurait, en aucun cas,

surpasser celle de v^«B% qui croît seulement comme la racine carrée du nombre n, des oscillations ou secousses successives de la puissance.

Cette accumulation du mouvement oscillatoire par la répétition des mêmes effets, est un autre moyen d'emmaj^asiner, dans les corps élastiques, le travail des forces motrices naturelles, et de produire, comme dans le cas du choc (179), des résultais dont elles seraient incapables par leur application directe à la résistance. C'est ainsi, par exemple, qu'en faisant osciller alternativement l'extrémité la plus faible d'une grosse et longue poutre horizontale, reposant sur un appui solide, vers son autre extrémité, armée, à cet effet, d'une bride en

474 mtCAMQtE I5DCSTmiELLE.

fer embrassant la lête d'un pilot, c'est ainsi qu'on parvient, au bout d'un temps souvent fort court et à l'aide d'un petit nombre d'hommes, à l'arracher du sol où il avait été enfoncé à coups de mouton redoublés , etc. Mais , cette application , comme plusieurs autres que nous pourrions citer, sont un peu étrangères à notre objet actuel, et nous passerons à un exemple qui y a plus directement trait.

331. Explication d'un fait observé par Af. Savart dans ses expériences sur la vibration des verges élastiques. — Dans un Chapitre intéressant du Mémoire que nous avons cité au n* 299, cet habile physicien s'est proposé de démontrer l'extrême facilité avec laquelle les vibrations longitudinales peuvent être excitées dans les verges élastiques,, lorsqu'en les fixant vers le milieu ou à l'une de leurs extrémités, on vient à passer légèrement, mais à plusieurs reprises différentes, les doigts mouillés le long de leur surface. 11 arrive alors, comme l'observe M. Savart, que le mouvement se propage, de proche en proche, des couches externes aux couches centrales, de façon que les effets de la friction répétée, se communiquant bientôt à la masse entière des verges, les oscillations finissent par acquérir une amplitude qui ne paratl nullement en rapport avec la faiblesse de la cause.

Parmi les expériences délicates qu'il a spécialement entreprises dans la vue de constater les efforts qui seraient capables de produire directement le maximum des allongements observés, nous citerons celles dont il a lui-même soumis les résultats au calcul à la page 898 du tome LXV des Annales de Chimie et de Physique^ et nous y ajouterons, d'après ce qui précède, l'évaluation des quantités de travail qui correspondent à ces mêmes efforts.

Dans une première expérience sur une verge de laiton de i",4o7 de longueur et 34"'", 96 de diamètre, rallongement, sous l'influence des vibrations, s'est élevé à o'", 000 26, ce qui donne, pour calculer l'effort correspondant, P, par la formule P = AE/dun«236,

©•".OOO^G Q.Q . 71(34,95)' r inoic O

DBS RÉSISTANCES. 4?^

et, partant,

P = 959,37 X 96i5'^« X o",oooi848 r= 1704''», 7,

en prenant pourE la valeur déduite du résultat des expériences de M. Savart, et qui se trouve rapporté dans la Table du n° 300.

Multipliant ensuite ce résultat, qui coïncide, à très-peu de chose près, avec celui de ce physicien, par la moitié de rallongement correspondant, o"',oooî6, de la tige, conformément à ce qui a été établi au n*" 247, on trouvera pour la quantité de travail ou la résistance vive, que cet allongement suppose

On voit combien ce résultat est faible, puisqu*en supposant Teffort longitudinal, nécessaire pour vaincre la friction des doigts dans Texpériencc dont il s'agit, égal à o''«,i seulement, il suffirait de répéter cette friction deux fois de suite, dans le même sens et sur une étendue de i"*,ii, pour développer une quantité d'action égale à celle qui vient d'être trouvée. Le raisonnement et le calcul sont donc parfaitement d'accord avec les faits de l'expérience, bien que, à considérer les choses d'un peu plus près, on aperçoive qu'une certaine quantité d'action et de travail doit nécessairement être employée, en pure perte, à détruire une portion correspondante de la force vive acquise par les molécules dans leurs mouvements vers le point d'encastrement de la tige, et une autre portion également appréciable, employée à transmettre le mouvement vibratoire aux corps environnants, par l'intermédiaire du support.

En refaisant les mêmes calculs pour la seconde des expériences citées, relative à un cylindre de verre, de o"',9H6 de longueur, et 29°"^,! de diamètre, qui s'est allongé de o™,ooo2i, sous l'influence des frictions répétées, ou des vibrations qui en ont été la suite, si l'on refait, dis-je, ces calculs, on trouvera

P = 900'^* environ, et T, = o''»", 098,

en prenant, d'après la Table de l'article 300, E = 620o^» pour

4^ UhlÈ3l\iZl 19H«^Tti£LlX.

bt:z> i=: 'é^T^> r/ 3. 0: :^ t-r::/.^: i^z :^ :rj-lu*.^ f.-r -Le no'j'.'-r- [.fi^'ive -^ !i UWÀ". :-;-::.s^ ie ir*^ii. ^ -I i^. -- e?-

On pe'Ji fr#^iTj*: %o:r, p-ir les rrrsulîJis e\j->?cï i-x i*"* iW el 2!W, q'j'il n'en coyUrraîi p^s beaucoup pîus f-iu: amener ce< vrrr;2*rs au poini <3e la rupture, et, chose renjan:|uible, qu'il en coulerait d'aulai.t moins que leur subsur:::- serait plus raide ou plus dur^, c'est-à-dire moins ductile. Ces mêmes r<;su liais donnent au* si une idée de îa puissance de< effets physiques qui pourraient être produits a la longue par rac*"umulation du mouvement vibratoire dans certains corps solides, fîournis a l'action réitérée des plus faibles forces ou des plus bibles causes, qui tiendraient ainsi à suppléer l'énergie primitive de cette action, par l'étendue du chemin sur lequel elle se trouverait répartie 71 et 72).

/t ppli cations relatives à l'emploi du fer dans les ponts

suspendus.

332. Données essentielles de la question. — On sait que les liges verticales de ces ponis, souienues, vers le haut, par des chaînes en fer, qui vont d'une rive à l'autre en passant quelquefois sur des piles inlermcdiaires, sont deslinéesà supporter lesexlréniilésdepoulresliorizoriiales, perpendiculaires à l'axe, sur lesquelles rcposenl à leur tour les solives ou longrines qui reçoLvenl le plancher ou tablier du pont, etc. Chacune de ces liges se trouve ainsi chargée de la moitié du poids luial qui agit sur la pf»ulre ou traverse correspondanle, el ce poids peut toujours eire calculé, ri priori y par la connaissance du système. Nous supposerons que la charge perniancnlo, el ordinaireruenl uniforme ainsi calculée , soil de 245o kilogrammes, el qu'en conforniilé de la règle des conslrucieurs, indi^mée nu n" 288, on ail donné à chaque lige une section

d'environ — -— uz i?.25 millimètres carrés, répondant à 35 mil-

limèlres de coté; la charge par millimètre étant ainsi réduite à 7. kilogrammes seuIcMuenl.

D'ailleurs, comme dans toutes les circonstances oii cetle charge reçoit une impulsion, une vitesse initiale étrangère à Faction de son propre poids, la longueur absolue des tiges doit jouer un rôle nécessaire et d'autant plus appréciable qu'elle est plus petite (317), il y aura lieu d'en tenir compte dans les calculs; ce qui, en s'arrêtant au premier aperçu, conduirait à choisir, pour les y soumettre, les tiges les plus courtes parmi celles qui supportent le tablier du pont; mais comme leurs extrémités supérieures, au lieu d'être fixes, sont liées par un gros boulon à des chaînes qui possèdent une assez grancle flexibilité, il en résulte que les effets des chocs simultanés ou successifs qu'elles subissent doivent être d'autant plus atténués, qu'elles sont elles-mêmes plus voisines du milieu du pont, où les oscillations, les abaissements atteignent nécessairement leur limite supérieure.

En considérant même les choses d'un peu plus près, il est aisé d'apercevoir que cette mobilité du point d'attache supérieur des tiges reproduit, en réalité, l'effet qui aurait lieu si on les prolongeait au-dessus de ce point, d'une quantité telle, que l'allongement subi par la partie excédante, à compter du nouveau point d'attache supposé entièrement Vixe, fût exactement égal à l'abaissement qu'éprouve le premier dans l'état naturel ; du moins peut-on admettre une semblable hypothèse, lorsqu'il y a pareillement lieu de négliger (321) l'inertie et le poids des parties matérielles de la tige ainsi prolongée.

D'un autre côté, comme le calcul et l'expérience sont d'accord pour prouver que les abaissements, vers le milieu des chaînes, sont très-grands par rapport aux allongements que peuvent subir les plus longues barres de fer dans les limites de l'élasticité naturelle, il en résulte que les tiges de suspension qui éprouvent le plus de fatigue dans les ponts dont il s'agit , correspondent précisément aux points d'appui des chaînes, et que, par conséquent, c'est en ces points, où elles ont souvent jusqu'à lo mètres de hauteur, qu'il est surtout intéressant de vérifier leur solidité.

Lors du levage ou montage des matériaux du pont, la pose des diverses pièces s'effectue d'une manière successive; et, quoique cette opération soit nécessairement accompagnée de mouvements plus ou moins vifs, on conçoit qu'il n'en ré-

l«iot arjtfem^irfiit Ujnqu^ 1^ poni ^UdI oce foI§ ^ut-!l. i! ^k^zt à ft#^ vjf*"toftr^ jrtrç^sensrai^'fil : h c'^st dan? U prf^iî-k-n d^^s ao^îd^iU tirh^ui qui peuvent <?n résulta q*je TAdcjinLsiritîofi «fcr% Ponis et Oiaur^es ob\iz< ?*^ eninç'preneîjrs i 5*>'Jiii#'iire le p<^ril i urifr épreuve préahb!^, qui consiste à le sor-: harzer oniformément d'un poids de 200 kilogrammes par mêtr>? rair^, repré<senuin( â peu prés celui du plus srand nombre de personnes qui puissent j être contenues, â raison é^lem -nt de trois par mètre carré. Sur un pont de 8 mètres de largeur, et dont l'espacement des tiges serait de i*,5, par exemple, cela doii> nerait 1 2 fois 200^ = ^^fto^* de surcharge par couple de liges, ou 1200 kilogrammes par tige, et augmenterait d'environ motlié en sus, la charge permanente de xîSo kilogrammes que nous leur avons supposée ci-dessus. Mais, comme la pose des matériaux destinés a cette épreuve se fait d'une manière progressive, il en résulte que les tiges de suspension sont bien loin de subir l'amplitude d'allongement qu'elles recevraient, en réalité, de la part d'une masse pareille, ou même moindre, qui serait animée d'une certaine vitesse, ou qui viendrait envahir le pont d'une manière plus ou moins rapide : telle serait, par exemple, une troupe d'hommes ou d'animaux, un croisement de voilures lourdement chargées, et dont l'action deviendrait d'autant plus dangereuse qu'elle se ferait sentir seulement sur un petit nombre de points d'appui.

333. Appréciation des effets produits sur les tiges de suspension^ par la rencontre de voitures lourdement chargées, — Pour se convaincre des dangers qui peuvent en résulier pour la solidité, il n'y a qu'à supposer la rencontre, en un point déterminé du pont, de deux voitures pesant chacune 8oi)o kilogrammes tout compris : comme les poutres longitudinales, qui entrent dans ce pont, n'embrasseront généralement guère plus de quatre travées ou cinq couples de liges, et que les couples, qui correspondent directement aux roues, porteront au moins deux ou irois fois la charge des autres, on n'exagérera certainement pas en élevant à 2600 kilogrammes celle que supporte chacune d'elles, même aux derniers instants de l'allongement qu'elles devront subir, et où elles sert)ni le

plus soulagées par leurs voisines. Supposant, en outre, ces voilures animées d'une certaine vitesse, et rencontrant les obstacles, les inégalités dont les planchers des ponts sont toujours hérissés; mettant enfin en ligne de compte les effets dus au choc occasionné par la marche des chevaux, il sera facile de juger, d'après l«s calculs déjà établis aux n" 317 et 318, que, malgré la faiblesse de la charge permanente supportée par les tiges verticales du pont, et l'épreuve préalable qu'on fait subir, il pourrait bien arriver, dans certaines circonstances, que l'é.lasticilé de ces mêmes tiges fût plus ou moins énervée.

Afin d'offrir un nouvel exemple de ces calculs et de fixer davantage les idées, nous supposerons que la surcharge de 2600 kilogrammes vienne choquer la lige qui la supporte, avec une vitesse de 0^,70 par seconde, due à une chute de 25 millimètres seulement de hauteur, et nous admettrons de plus que cette tige ait la longueur de 10 mètres, que nous considérons comme un maximum. D'après ce qui a été expli* que ci-dessus, on aura donc ici

A = 1225"'"% L=io", Q=r245o''S Q'=:26oo^«, V=:o'»,7o;

ce qui donne d'abord, pour la vitesse initiale commune à Q etQ', à la fin du choc (323),

vitesse qui correspond elle-même à une chute de très-peu supérieure h o°»,oo6 . On trouvera ensuite, par les formules du n° 324, et en prenant toujours E := 2oooo^«,

/'=r:^=0™,OOI, rr=^ = 0",00I06, /'-+-/''= O", 002 o6,

AE Até

ce qui donnera, pour le plus grand allongement subi par la lige

L' ou IL=/' + r4-i//'''-f-Tf = o«,oo2o6-f-v'ô,oooo2834 = o"*,oo2o6 -h o",oo532 = o"',oo7 38,

48o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

et, pour rallongcmenl proporiionnel I, ou par mèlrc,

résultai qui montre que rélasiicité des tiges de suspension pourrait en effet être altérée (298) dans les hypothèses dont il s'agit , et qu'on ne saurait d'ailleurs considérer comme exagérées (*).

Les réflexions que ce résultat suggère, ainsi que le mode d'épreuve qu'on fait actuellement subir aux ponts suspendus sur chaînes en fer, feront l'objet de l'article suivant.

33i. Réflexions concernant la stabilité des ponts suspendus, — Les conclusions auxquelles nous ont conduit nos précédents calculs, si elles étaient prises à la lettre, donneraient lieu de craindre que, par suite de la répétition plus ou moins fréquente des accidents occasionnés par la rencontre de lourdes voitures, sur ces sortes de ponts, l'altération élastique des liges verticales n'allât sans cesse en augmentant ainsi que leurs allongements permanents, et que, bientôt, il n'arrivai une époque où leur énervation complète entraînerait la ruine partielle ou totale du système. Ce danger, si l'on s'arrêtait à un premier aperçu, paraîtrait bien plus imminent encore pour les immenses chaînes auxquelles toute la charge du pont et des tiges se trouve suspendue, et qui sont composées de longues barres, de longs anneaux dont le fer est soumis à des efforts

(*) On pont, à la vérité, objecter, d'une part, que la simultanéité du choc de deux voitures ii l'instant de leur croisement sur le pont, offre, en ellemême, peu de probabilité; d'une autre, que les roues ne peuvent retomber, avec une cerlaiiie vitesse, sur le tablier du pont, qu'autant qu'elles cesseraient d'agir sur lui pendant toute la durée de leur chute, et qu'alors il pourrait • bien arriver que les extrémités inférieures des liges de suspension, eussent eu le temps de se relever ou de se détendre d'une quantité plus ou moins grande, etc. L'unique réponse à c«'s questions, c'est que les hypothèses contraires, tout improbables qu'on les suppose, sont néanmoins possibles; car il peut se faire que le cIkjc surprenne les tiges dans un état d'allongcmerit supérieur h leur allongement moyen, en raison des oscillations mêmes qui naissent de leur détente élastiipie. Or, dans ces sortes de questions, il est d'usage d'admettre préciséuHînt l'hypothèse des chances les plus défavorables, |)0urvu qu'elles soient possibles rationnellement.

DBS RÉSISTANCES. 4^1

permanenis, qui s'élèvent quelquefois à 8 ou lo kilogrammes par milllmèire carré, mais que les ingénieurs prudents réduisent, conformément à la règle du n° 288, à 5 ou 6 seulement, de manière que, lors de l'épreuve dont il a été parlé ci-dessus (332), la charge soit, au plus, de g ou lo kilogrammes également par millimètre carré. Or on doit remarquer que, si .la tension de ces chaînes est susceptible de croître proportionnellement à la charge qui se trouve uniformément répartie sur le plancher du pont, il s'en faut de beaucoup qu'il en soit ainsi pour une surcharge isolée, même en considérant les chaînons qui supportent immédiatement cette surcharge par l'intermédiaire des tiges; le calcul démontre, en effet, que l'excès de tension, qui en résulte, est toujours une fraction extrêmement faible de celui que reçoit chaque tige, de sorte qu'il est permis d'en négliger l'influence dans la question qui nous occupe.

A l'égard des tiges de suspension qui peuvent momentanément se trouver soumises, comme on l'a vu, à des allongements surpassant d'une quantité notable la limite assignée, par l'ensemble des expériences connues, à l'élasticité naturelle du fer, on est conduit à reconnaître que l'absence des accidents que pourrait entraîner, avec elle, une pareille altération, si • elle était souvent répétée, doit tenir à quelque propriété physique du métal, qui n'a pu encore être mise en parfaite évidence dans les expériences d'une courte durée, et qui doit être analogue à celle dont il a été parlé au n*" 300, à l'occasion des intéressantes recherches de M. Ardant. On a vu, en effet, que des fils métalliques dont l'élasticité paraissait comme entièrement énervée sous l'influence d'un chargement brusque, ou d'une succession de charges additionnelles, qui ne laissaient, pour ainsi dire, aucun repos à ces flls, reprenaient ensuite, en grande partie, leur élasticité, leur énergie primitives, quand ils demeuraient soumis à l'action permanente ou prolongée, de ces mêmes charges; de sorte qu'il peut bien arriver, à fortiori, pour le cas des ponts de fer, que les tiges de suspension reprennent, après une série d'oscillations occasionnées par le passage de lourdes voitures, etc., une portion notable de l'élasticité qu'elles avaient momentanément perdue, ou que leurs molécules reviennent même complètement à leur

482 MÉCA5IQCE I5DL'STRIELLE.

ancien élat, à leur élal moyen de stabilité sous Finfluence du temps, ou des actions lentes qui les sollicitent.

Cette opinion est d'ailleurs conforme à celle qu'a émise M. Savart, à la page 385 du Mémoire cilé au n** 299, et d*après laquelle des tiges métalliques, en s'aliongeant, d'une manière progressive et permanente, sous l'influence d'une charge constante, et de vibrations excitées dans le sens de leur longueur, finissent néanmoins par acquérir un état de stabilité, une sorte é'écrouissage, qu'elles conserveraient ensuite indéGniment sous l'influence des mêmes conditions.

335. Du mode (l'épreuve qu'il conviendrait de faire subir aux ponts suspendus. — Quoi qu'il en soit de ces dernières réflexions, il ne résulte pas moins, de nos précédents calculs, que l'épreuve, en quelque sorte statique^ à laquelle on se contente ordinairement de soumettre les ponts suspendus, bonne, en elle-même, pour mettre en évidence les défauts accidentels des chaînes et autres matériaux de la construction, ne saurait offrir, pour la suite, toutes les garanties de solidité désirables. De plus, les fâcheux accidents qu'elle entraîne parfois, et contre lesquels on s'est élevé avec de justes raisons, doivent la faire entièrefnent proscrire par l'Administration : mais par quel genre d'épreuves pourrait-on la remplacer avec sécurité et de manière à atteindre le but désiré?

Dans deux lettres successivement adressées à l'Académie des Sciences de Paris, M. le docteur Gourdon a proposé soit d'effectuer le chargement d'épreuve ordinaire, en se servant de cabestans, fixés à l'une des rives, pour amener successivement les matériaux sur le tablier du pont, soit de faire parcourir, par le même moyen, toute la longueur de ce dernier, à une voilure chargée deux on trois fois autant que les plus lourdes voilures de rouiier : la vie des hommes préposés à celle manœuvre serait ainsi préservée de tout danger. Mais, de ces deux procédés, le premier, à cause de son excessive lenteur, paraît peu susceptible d'application, et il exigerait toujours la présence, sur le pont, d'un certain nombre d'hommes pour le déchargement et le placement des matériaux; le second offrirait l'inconvénient d'exagérer, outre mesure, la charge instantanée, et il ne permettrait pas de juger de l'effet

des forces vîvqs imprimées aux diverses parties, dans Télal ordinaire.

Il nous semble qu'on atteindrait plus sûrement et plus promptement le but, si Ton faisait traîner par des chevaux et à la vitesse voulue la voiture ou les deux voitures destinées à répreuve au moyen d'une chaîne ou d'un cordage de prolonge suffisamment étendu ; à peu près comme cela se pratique, pour les canons, dans certaines manœuvres d'artillerie. On mettrait d'ailleurs les chevaux à l'abri de tout accident, en faisant passer la prolonge sur un tambour à gorge, monté sur l'une des rives, et qui serait muni de saillies et de rochets convenables, pour rendre impossible le mouvement de recul des chaînes lors de la rupture du pont. Quant au placement de la surcharge uniforme, qui paraît être indispensable pour éprouver les parties les plus solides de la construction, nous ne voyons aucun moyen suffisamment simple de l'effectuer sans compromettre l'existence de quelques hommes.

336. Des accidents qui peuvent résulter du passage d*une troupe sur les ponts suspendus, — Il est peu de personnes qui ne soient au courant d'une ancienne disposition des ordonnances militaires, qui prescrit de faire rompre le pas à la troupe, aux abords des ponts. On sent parfaitement bien que cette mesure, pleine de sagesse, a pour objet d'éviter l'influence des secousses simultanées qui seraient le résultat de la marche cadencée d'une pareille troupe ; mais il n'est peut-être pas inutile, et cela rentre spécialement dans l'objet de ce Chapitre, d'expliquer comment cette simultanéité d'action peut, au bout d'un temps plus ou moins long et par sa répétition, devenir réellement dangereuse ; car il paraît évident aussi qu'une seule de ces secousses, fût-elle-même instantanée, ne saurait produire, en chaque point, un effet équivalant à celui de lourdes voitures dont il a été parlé au n** 333, à moins de supposer des colonnes marchant au pas de charge, serrées en masse ei occupant toute la largeur du pont et de ses trottoirs. Lorsqu'en effet, les hommes viennent, dans leur marche ordinaire ou même accélérée, à poser à la fois et alternativement chacun de leurs pieds sur le plancher du pont, ils ne le choquent certainement pas avec la vitesse et l'intensité d'action que nous

Si.

avons atlribuées à ces voilures : la masse réellement agissante, dans ces chocs, est bien loin d'égaler celle de leurs corps. Il est évident qu'il faut chercher principalement la cause des accidents qui ont motivé l'ordonnance, dans Taccumulalion du mouvement oscillatoire imprimé au plancher des anciens ponts en charpente, et dans l'accroissement progressif de l'amplitude des oscillations qui en résulte, et dont nous avons déjà offert des exemples, plus ou moins analogues, aux n*' 329 et suivants.

Pour faire une application suffisamment exacte des principes établis dans ces numéros, au cas actuel, il est nécessaire, au préalable, de considérer attentivement ce qui se passe, en général, pendant la marche ordinaire de l'homme et des animaux ; le pas de course, le trot et le galop étant exceptés, puisqu'à de telles allures, les dangers et l'intensité de l'action développée par les chocs successifs qu'occasionne la chute de la totalité ou d'une partie plus ou moins grande du poids du corps, qui a été comme lancée au-dessus du sol, ne sont point choses douteuses, et qu'il soit nécessaire de soumettre au calcul.

337. Évaluation approximative du travail développé par r homme, dans les oscillations verticales qu'il imprime à son corps pendant la marche ordinaire, — Loin d'agir par une succession de chocs vifs dans la marche lente et graduelle dont il s'agit, les animaux ne font éprouver à leur corps, de droite à gauche et de bas en haut, que de légères oscillations, par suite desquelles le poids en est successivement reporté, sur l'une ou l'autre jambe, avec une intensité d'action variable entre zéro et une limite qui est principalement relative (330) à l'inertie de la partie de leur masse qu'ils nrettent en mouvement, soit en se portant en avant, soit en s'abaissani ou en s'élevant au-dessus du point d'appui naturel.

Nous laisserons de côte l'influence qui peut être due aux actions opérées dans le sens horizontal, et provenant, soit de la progression en avant, soit du balancement transversal dont il vient d'être parlé, et nous tiendrons compte uniquement des effets qui peuvent résulter, comme au n** 330, de l'élévation et de rabaissement périodiques de la partie supérieure

du corps de rhonrime, dont le poids sera supposé de 60 kilogrammes seulement, y compris la charge qu'il porte. Observant, en outre, que dans la marche ordinaire d*uh homme de taille moyenne, l'amplitude de ces abaissements et élévations successifs, ne surpasse guère 2 à 3 centimètres, on sera conduit à évaluer, toul au plus, à o"",o3 x 6o^« = l'^'^jS le travail dynamique qu'il peut ainsi développer à chaque pas ou alternative d'action ; ce qui, en estimant également à o"',7 la longueur du pas ordinaire, porterait, d'après lé tableau du

n"214,ài'^«™,8x 4^= l'^'^jSx^^ i43 = i38857^««» envi-

ron, la quantité de travail que fournirait ce même homme dans sa marche journalière, en terrain horizontal : le chemin total qu'il est ainsi capable de parcourir, étant de 54ooo mètres, ou le nombre de ses pas de 77 i43, à raison de 2,1 environ par seconde.

Si Ton compare d'ailleurs la quantité de travail ci-dessus à celle qui, d'après le tableau de la page 252, est développée par l'homme cheminant le long d'une rampe douce, on peut voir que, loin d'être exagérée, elle esta peine la moitié de celle dernière; ce qui conduirait à porter, avec quelques Auteurs, à 5 centimètres, au moins, la hauteur à laquelle l'homme élèverait, à chaque pas, le poids entier de son corps, si l'on n'avait point égard à l'excès de fatigue occasionné par la vitesse avec laquelle il est cvbligé de porter en avant les différentes autres parties de sa masse, dans la marche horizontale.

338. Calculs relatifs aux effets résultant^ dans certains caSy du passage d*une troupe sur les ponts suspendus, — En comptant seulement deux hommes par mètre carré de la surface du pont, ce qui, d'après nos premières hypothèses (332), fait environ 24 hommes par travée, ou 12 par tige, cela réduira à 800 kilogrammes environ la charge additionnelle due au passage de la troupe, dont le poids s'ajoute, à peu près constamment ou moyennement, à celui de la charge permanente de 2450 kilogrammes, provenant du tablier, et élèvera à 325o kilogrammes la force de tension moyenne, de chacune des liges de suspension, valeur qui représentera ici simplement celle de Q; ce qui donnera, en conservant toutes les autres suppo-

476 MÊCANIQUB INDUSTRIELLE.

la lige de verre n° 3. Or le dernier de ces résultais offre une nouvelle preuve de la faible dépense de iravail (lui esl nécessaire pour engendrer, dans les liges élastiques, les oscillations ou vibrations longitudinales les plus puissantes.

On peut même voir, par les résultats exposés aux n^ 296 61298, qu'il n'en coulerait pas beaucoup plus pour amener ces verges au point de la rupture, et, chose remarquable, qu'il en coûterait d'autant moins que leur substance serait plus raide ou plus dure, c'esl-à-dire moins ductile. Ces mêmes résultats donnent aussi une idée de la puissance des efTets physiques qui pourraient être produits à la longue par l'accumulation du mouvement vibratoire dans certains corps solides, soumis à l'action réitérée des plus faibles forces ou des plus faibles causes, qui viendraient ainsi à suppléer l'énergie primitive de cette action, par l'étendue du chemin sur lequel elle se trouverait répartie (71 et 72).

/applications relatives à remploi du fer dans les ponts

suspendus,

332. Données essentielles de la question, — On sait que les liges verticales de ces ponts, soutenues, vers le haut, par des chaînes en fer, qui vont d'une rive à l'autre en passant quelquefois sur des piles inlermcdiaires, sont destinées à supporter les extrémités de poutres horizoniales, perpendiculaires à Taxe, sur lesquelles reposent à leur tour les solives ou longrines qui reçoivent le plancher ou tablier du pont, etc. Chacune de ces tiges se trouve ainsi chargée de la moitié du poids total qui agit sur la poutre ou traverse correspondante, et ce poids peut toujours être calculé, à priori, par la connaissance du système. Nous supposerons que la charge permanente, et ordinairement uniforme ainsi calculée , soit de 24^0 kilogrammes, et qu'en conformité de la règle des constructeurs, indiquée au n" 288, on ait donné à chaque tige une section

d'environ -^ — 1= 1225 millimètres carrés, répondant à 35 mil-

limètrcs de côté; la charge par millimètre étant ainsi rc'duitc

à 2 kilogrammes seulement.

DBS RÉSISTANCES. 477

D'ailleurs, comme dans toutes les circonstances où cetle charge reçoit une impulsion, une vitesse initiale étrangère à Taclion de son propre poids, la longueur absolue des tiges doit jouer un rôle nécessaire et d'autant plus appréciable qu'elle est plus pelile (317), il y aura lieu d'en tenir compte dans les calculs; ce qui, en s'arrêtani au premier aperçu, conduirait à choisir, pour les y soumettre, les tiges les plus courtes parmi celles qui supportent le tablier du pont; mais comme leurs extrémités supérieures, au lieu d'être fixes, sont liées par un gros boulon à des chaînes qui possèdent une assez grande flexibilité, il en résulte que les effets des chocs simultanés ou successifs qu'elles subissent doivent être d'autant plus atténués, qu'elles sont elles-mêmes plus voisines du milieu du pont, où les oscillations, les abaissements atteignent nécessairement leur limiie supérieure.

En considérant même les choses d'un peu plus près, il est aisé d'apercevoir que celte mobiliié du point d'aitache supérieur des tiges reproduit, en réalité, l'effet qui aurait lieu si on les prolongeait au-dessus de ce point, d'une quantité telle, que l'allongement subi par la partie excédante, à compter du nouveau point d'attache supposé entièrement fixe, fût exactement égal à l'abaissement qu'éprouve le premier dans l'état naturel ; du moins peut-on admettre une semblable hypothèse, lorsqu'il y a pareillement lieu de négliger (321) l'inertie et le poids des parties matérielles de la tige ainsi prolongée.

D'un autre côté, comme le calcul et l'expérience sont d'accord pour prouver que les abaissements, vers le milieu des chaînes, sont très-grands par rapport aux allongements que peuvent subir les plus longues barres de fer dans les limites de l'élasticité naturelle, il en résulte que les tiges de suspension qui éprouvent le plus de fatigue dans les ponts dont il s'agit, correspondent précisément aux points d'appui des chaînes, et que, par conséquent, c'est en ces points, où elles ont souvent jusqu'à lo mètres de hauteur, qu'il est surtout intéressant de vérifier leur solidité.

suite aucun effet dangereux pour la solidité. Mais il en est tout autrement lorsque le pont étant une fois établi, il vient à être surchargé passagèrement ; et c'est dans la prévision des accidents fâcheux qui peuvent en résulter que l'Administration des Ponts et Chaussées oblige les entrepreneurs à soumettre le pont à une épreuve préalable, qui consiste à le surcharger uniformément d'un poids de 200 kilogrammes par mètre carré, représentant à peu près celui du plus grand nombre de personnes qui puissent y être contenues, à raison également de trois par mètre carré. Sur un pont de 8 mètres de largeur, et dont l'espacement des tiges serait de i",5, par exemple, cela donnerait 12 fois 106^* = 2400*"* de surcharge par couple de tiges, ou 1200 kilogrammes par tige, et augmenterait d'environ moitié en sus, la charge permanente de 2450 kilogrammes que nous leur avons supposée ci-dessus. Mais, comme la pose des matériaux destinés \ cette épreuve se fait d'une manière progressive, il en résulte que les tiges de suspension sont bien loin de subir l'amplitude d'allongement qu'elles recevraient, en réalité, de la part d'une masse pareille, ou môme moindre, qui serait animée d'une certaine vitesse, ou qui viendrait envahir le pont d'une manière plus ou moins rapide : telle serait, par exemple, une troupe d'hommes ou d'animaux, un croisement de voitures lourdement chargées, et dont l'action deviendrait d'autant plus dangereuse qu'elle se ferait sentir seulement sur un petit nombre de points d'appui.

333. appréciation des effets produits sur les tiges de suspension, par la rencontre de i^oitures lourdement chargées, — Pour se convaincre des dangers qui peuvent en résulter pour la solidité, il n'y a qu'à supposer la rencontre, en un point déterminé du pont, de deux voitures pesant chacune 8000 kilogrammes tout compris : comme les poutres longitudinales, qui entrent dans ce pont, n'embrasseront généralement guère plus de quatre travées ou cinq couples de tiges, et que les couples, qui correspondent directement aux roues, porteront au moins deux ou trois fois la charge des autres, on n'exagérera certainement pas en élevant à ?.6oo kilogrammes celle que supporte chacune d'elles, même aux derniers instants de l'allongement qu'elles devront subir, et où elles sei^)nt le

plus soulagées par leurs voisines. Supposant, en outre, ces voitures animées d'une certaine vitesse, et rencontrant les obstacles, les inégalités dont les planchers des ponts sont toujours hérissés; mettant enfin en ligne de compte les effets dus au choc occasionné par la marche des chevaux, il sera facile de juger, d'après fes calculs déjà établis aux n*»" 317 cl 318, que, malgré la faiblesse de la charge permanente supportée par les tiges verticales du pont, et Tépreuve préalable qu'on fait subir, il pourrait bien arriver, dans certaines circonstances, que l'élasticité de ces mêmes tiges fût plus ou moins énervée.

Afin d'offrir un nouvel exemple de ces calculs et de fixer davantage les idées, nous supposerons que la surcharge de 2600 kilogrammes vienne choquer la tige qui la supporte, avec une vitesse deo"*,70 par seconde, due à une chute de 25 millimètres seulement de hauteur, et nous admettrons de plus que cette tige ait la longueur de 10 mètres, que nous considérons comme un maximum. D'après ce qui a été expli' que ci-dessus, on aura donc ici

A=:î225"'"% L=rio™, Q =r 245o^«, Q'=76oo^f, V'=o'",7o;

ce qui donne d'abord, pour la vitesse initiale commune à Q etQ', à la fin du choc (323),

vitesse qui correspond elle-même à une chute de très-peu supérieure à o™,oo6 . On trouvera ensuite, par les formules du n" 324., et en prenant toujours E == 20000''»,

r = 9^ =0^,001, rr=^^r=0'»,00I06, /'-f- /" = 0",002o6,