AE

/„ nu y'' (0,001 33 y 4- 0,0000176/?.

Supposant dans cette formule, n ou le nombre des pas exécutés par la troupe, qui est d'ailleurs censée occuper l'étendue entière du pont, égal à 10 seulement, l'allongement total subi par la lige de 10 mètres donl il s'agit ici, s'élèverait déjà à

V'' o , 00000 1 7 7 -h 0,00017633 = o'**, 01334» ou à o"*, 001334 par mètre de longueur ; résultat supérieur à celui qui a été obtenu au n" 331, et qui prouve, non- seulement que l'élastlrité des tiges serait dès lors complètement énervée, mais que leur

488 mécâ^iique industrielle.

rupture, ei par conséquent la chute entière du pont, ne tarderait pas à s'ensuivre par la répétition des mêmes effets.

Si Ton supposait, au contraire, /i =o dans la formule, elle redonnerait simplement rallongement /„ = /' = o",ooi33, correspondant au cas où la troupe serait immobile, et qui n'est pas même le dixième du précédent.

Expériences et calculs relatifs à la résistance longitudinale

des prismes au choc.

339. Données /particulières fournies par les expériences de AI, G.-//. Dufour, de Genève. — On doit à cet ingénieur distingué quelques expériences ayant trait à cet objet, et dont il a consigné les résultats dans son Ouvrage sur les ponts en fil de fer, imprimé à Genève, en iSiS (§5, p. ao). Ce sont, à ma connaissance, les seuls dont les détails aient été jusquMci mis au jour, et, attendu le but restreint dans lequel elles ont été entreprises, il y a lieu de regretter qu'un sujet de recherches aussi intéressant et aussi neuf ait encore si peu attiré l'attention des physiciens et des ingénieurs.

Dans une première série d'épreuves, M. Dufour s'est servi d'un fil de fer de Saint-Gingolf, n*» 13, ayant i"*",9 de diamètre, ou 2""^,835 de section, qui était susceptible de porter moyennement, avant de rompre^ une charge de 196 kilogrammes, à raison de 69^*^1 par millimètre carré. Ce même fil , après avoir été chargé verticalement d'un poids de 70 kilogrammes, un peu moindre que les 0,4 de celui qui en représente la force de ténacité moyenne, a été ensuite soumis à l'action de divers chocs produits par une masse de fer pesant 10 kilogrammes, et tombant successivement, de 2, de 4i de 6,..,, de 100 centimètres de hauteur, sur la caisse qui contenait les poids formant, avec le sien propre, la charge j>ermancnle, 70 kilogrammes, du fil. Mais, bien qu'il ne soit réiullé, de ces chocs, aucun effet apparent, aucune rupture sensible, il n'est pas moins regrettable que l'Aulear ait négligé do constater, à chaque fois, par <jt*s mesures précises, les plus grands allongements auxcïuels les fils sont parvenus, et les allongements permanents qui ont pu s'ensuivre, toutes oscillations étant terminées; car ils eussent mis à même do comparer les résultats de l'expérience à ceux du calcul, et de découvrir la véritable influence des forces vives sur la constitution élastique des fils.

Au surplus, nous avons vainement cherché, dans l'Ouvrage de M. Dufour, la longueur absolue des fils sur lesquels il a oj)éré; donnée dont, à la rigueur, on peut se passer quand il s'agit simplement d'obtenir une limite de la résistance absolue, sous l'action lente d'une force directe de traction (24i], mais qui devient, au contraire, indis()ensable dans toutes

les questions relatives au choc, puisque la résistance vive des prismes croît, sinon proportionnellement, du moins très-rapidement, avec leur longueur.

Pour faire néanmoins une nouvelle application des formules des n°* 323 et suivants, nous supposerons cette longueur des Qls soumis à l'expérience par M. Dufour, égale à 2 mètres, de sorte qu*on aura ici

L = 2™,o, A = 2""S835, Q = 70*^», 0' = lo"^», V = v^i9,6i8H',

il' représentant la hauteur d'où sont tombés successivement les 10 kilogrammes dans les expériences dont i! s'agit.

Prenant d'ailleurs E = 18000 kilogrammes, par millimètre carré, pour le hl de fer (292), il en résultera (324), pour l'allongement permanent avant le choc :

,, QL 70 X a „

^' Âl ~ -2,835x18000 - "" '*'°''*"'^»

et, pour celui qui serait occasionné par la charge Q', si elle agissait seule ,

Le premier correspond à un allongement proportionnel de

; ©""jocay = 0,001 35,

sous lequel l'élasticité serait certainement énervée (292), s'il s'agissait d'un fil de fer recuit, ou même inégalement recuit. Mais, en^admetlant que le contraire ait eu lieu ici, nous Rechercherons l'effet qui a pu résulter du choc des 10 kilogrammes tombant, par exemple, de la plus grande. H' = i", des hauteurs relatives aux expériences citées, et à laquelle correspond (119) une valeur de

V=4'",43 etde V, = y^, V'= |J r,43 = o-,554,

dont la dernière est, dans nos hypothèses (323), la vitesse par seconde, commune aux deux masses vers la fin de la première période du choc. Attendu d'ailleurs qu'on a ici

^î = 7^'-^3 = ''^^'«7 ou X.= 55,99, il en résulte pour la valeur du plus grand des allongements subis, i)ar le

fil, SOUS les influences réunies de ce choc et des deux poids Q et Q',

V ou iL = /'-+-r-hi//'''-Hy;

= o",oo3 i3 -h v/ojOoooooiSa •+- 0,000097935 = o^jOiSo.

Cette valeur correspondant, d'après Thypothèso faite sur celle de L, à

un allongement, I, de — '—^ — = o",oo65 par mètre, il est certain que

Télasticité des Qls, fussent-ils même parfaitement écrouis, n*a pu être ici conservée, pas plus que la loi de la proportionnalité des allongements aux forces ou tensions, sur laquelle tous nos calculs et formules sont implicitement fondés. A plus forte raison, ces formules cesseraient d*ètre applicables aux deux autres séries d'expériences dont il sera parlé dans l'article suivant.

340. Données et calculs concernant spécialement la résistance vive des fis de fer à la rupture. — Dans les deux dernières séries d'expériences de M. Dufour, des fils de fer de a"",! de diamètre, 3™^, 464 de section, auxquels on supposera également a mètres de longueur, ont été rompus sous le choc d'un poids de 10 kilogrammes, qui n'avait besoin de tomber que d'une hauteur de o™,95, quand la charge permanente du fil égalait la moitié de sa charge maximum, 209 kilogrammes, c'est-à-dire 104''', 5, et de i^jSS moyennement, quand elle n'en était que le tiers ou 69''*, 7 ; de sorte qu'on avait dans le premier cas,

0=104"», 5, H'=o",95, V'=4^33; dans le deuxième cas,

Q=69'^«,7, H' -^",38, V'=5»,2o; et, dans tous les deux à la fois,

L = a"»,©©, A= 3"»'"^464, Q'= lo*^»;

ce qui donne respectivement, pour les vitesses communes aux doux corps, immédiatement après le choc,

Mais le calcul de ces vitesses devient inutile dans la question présente où il s'agit simplement d'évaluer la résistance vive opposée par les fils, la quantité do travail effective qui a produit leur rupture, que nous supposerons opérée, dans chaque ca^i, sous le plus petit choc possible, c'est-àdire de manière que le mouvement soit sensiblement éteint vers Tinslant

DBS RÉSISTANCES. 49^

de cette rupture. En effet, d*après le n® 323, la demi-force vive commune aux deux corps Q et Q', à l'instant où la première période du choc est terminée, a pour valeur dans le premier cas

i (H + M') V; = ç-^ QW = J^ lo^'x o-,95 = 8'-, 670, dans le deuxième cas

Ajoutant à ce résultat, le travail relatif à rallongement /', subi antérieurement, par les fils, sous l'inQuence de la charge permanente Q, et qui, dans Thypothèse d\ine immobilité parfaite, ici permise, a égalenfent pour valeurs respectives (324) dans le premier cas

' ^' ~ ^'^AE - ' '""^'^ 3,464 X 18000 " *" '''^' dans le deuxième cas

iO/'=î^O — = ^607 ^^'^ ^ ^ = o''5» 078 ,V' - ,V^£ - ,09,7 ^^^^^ -o ,070,

on obtiendra les sommes 8""*", 845 et la''»", 146, auquel il conviendra encore d'ajouter, afin d obtenir les résistances vives demandées, le travail développé par les poids Q et Q', pendant que s'opère le surplus de l'allongement des fils, dont, d'ailleurs, la valeur maximum n'a point été observée ici directement, quoiqu'elle exerce une inQuence appréciable et susceptible de varier, non-seulement avec la longueur absolue L des fils, mais encore avec leur degré de ductilité ou de dureté relative.

En adoptant néanmoins, pour terme de comparaison, la valeur moyenne, o",oo4 par mèlre, du plus grand allongement obtenu par M. Dufour (*), lors de la rupture des mêmes fils, sous de simples pressions, ce qui donne o^jOoS pour la longueur entière de chacun de ceux dont il s'agit ; remarquant, au surplus, que l'allongement absolu subi^ antérieurement au choc, par ces derniers fils, a pour valeurs respectives :

,, OL 104,5 X 2 „ , ,, 60,7x2

les quanlités à ajouter seront pareillement :

1 14''«, 5(0"*, 008 — o", 0034) - ii4''',5x o",oo46= o"'»™,527.

(*) f^orez le tableau de la page aS du Mémoire cité.

492 MfiCAXIQl'E ITIDUSTftllLLE.

et

ce qui donnera pour la quantité de travail ahsokie ou totale, absorbée par la rupture des deux fils :

I* Dans le cas d'une chute de o". 95.

a* D<ins celui d'une chute de i",38,

12^»-, 146 ■+- o^»-, 46a = ia^-,608.

Divisant enfin ces résultats par le produit ÂL = 3,464 x 2 = 6,928, on obtiendra les valeurs respectives

T = i^»-,35 et r = i^»-,82.

pour les résistances vives (2i7) des deux fils, par millimètre carré de section et par mètre de longueur : résultats qui diffèrent notablement Tun de Tautre, et qui difiérent encore plus de ceux que fournit le tableau du n* 290, pour les fils forts, à la classe desquels appartenaient, très-probablement, ceux dont il s'agit.

3 11. Réflexions critiquas sur les résultats de ces calculs et les méthodes d* expérimentation relatives au choc des prismes, — Nous n'entreprendrons pas de discuter et d'interpréter les causes des différences qui viennent d'èlro signalées; trop de chances d'erreurs et d'incertitudes accompagnent, comme on l'a vu, les résultats du calcul et de l'expérience; mais nous croyons utile d'insister sur quelques-unes des suppositions que nous avons été obligé d'admettre afin de rendre ces calculs possibles.

En premier lieu, pour évaluer les premiers effets occasionnés par la charge |)ermanente Q, des fils, il nous a fallu recourir à Thypothèse d'une élasticité parfaite; ce qui, certes, ne serait pas permis pour des fils ductiles ou reruits même inégalement. Si donc il s'agissait de faire une comparaison exacte des données du calcul et de rcxpéricnce, il convien-» drait d'observer directement ces premiers effets, qui se compliquent encore de ceux qui peuvent être dus à l'état naturel d'inflexion ou de torsion dans lequel se trouvent ordinairement les fils passés à la filière.

Il ne serait pas moins indispensable, comme on a l'a vu, d'observer directement , dans le cas des fils ductiles, le maximum de l'allongement qui se produit sous le choc et à l'instant do la rupture, au lieu de le déduire, ainsi qu'on l'a fait, du résultat moyen d'expériences étrangères; ce qui pourtant n'offrait point ici d'inconvénients graves, a cause de la faible valeur du travail développé par les poids Q et Q', pendant rallongement des fils durs.

D'un autre c(\té, nous avons totalement négligé l'inlluence due au poids

et à rinertie des fils qui, ici encore, n'exerçaient aucune influence appréciable; à cause de la grandeur de Q. Mais il pourrait être nécessaire d*en tenir compte pour quelques autres circonstances; et cela se fait approximativement, en augmentant la valeur de Q, du poids de la partie du fil, qui, ayant été entièrement rompue ou détachée, peut être censée faire corps avec sa masse.

Cette attention serait surtout nécessaire dans le cas où le poids Q', qui produit la rupture par sa chute, étant lui-môme assez petit, et celte chute, par conséquent, très- forte, il arriverait, contrairement aux hypothèses dont on a déduit les résultats des précédents articles, que la vitesse et la force vive, à l'instant de la rupture, fussent comparables à celles qu'engendre cette même chute; alors il faudrait retrancher, des résultats ainsi obtenus, la demi-somme des forces vives conservées, à cet instant, par les deux corps et par la partie détachée des fils.

Enfin les résultats dont il s'agit supposent encore ( 323) que les masses choquantes soient dénuées de toute élasticité; ce qui pourrait bien ne pas avoir eu lieu pour la caisse mise en usage par M. Dufour, et dont le fond, plus ou moins flexible, aurait pu recevoir les impressions directes du choc de Q', en produisant ainsi son rejaillissement. Or il est aisé de se convaincre, par les principes des n** 1S8 et 161, que la quantité de travail dépensée pour produire la rupture des fils, eût pu surpasser celle que nous avons estimée par les calculs ci-dessus, attendu que le poids Q' eût entraîné, dansée rejaillissement, une perte de force vive beaucoup moindre que celle qui résulte du défaut d'élasticité des deux corps, perte dont la valeur est donnée (158) par la formule

M'(V'-,V.)»=M'v(.-çi^)'=M'v[|^:,

dans le cas d'une élasticité parfaite; la demi-force vive conservée par le poids Q, et en vertu de laquelle se serait achevée la rupture des fils dans 1 hypothèse où Q' n'aurait pas eu le temps de produire, par sa rechute, un nouveau choc, eût été simplement (1(50)

-M(.V.) =^^j^ = ^3^,QH=^^

Celte quantité sera, en effet, supérieure à la demi-force vive,

commune, après le choc, aux deux corps, Q et Q', dans l'hypothèse d'un rejaillissement nul, toutes les fois que la condition

494 MÊCAXIQUB IXDUSTRIBLLB.

se trouvera satisfaite; ce qui avait efTectivcmcnt lieu dans le cas dont il s'agit.

Ces réflexions montrent combien la question qui nous occupe est délicate, et de quelles attentions on doit user, dans les expériences et les calculs, pour atteindre le but, c'est-à-dire pour parvenir, abstraction faite des causes d'erreur qui peuventvinfluencer accidentellement les résultats, à des valeurs de la résistance vive des prismes comparables, fondées uniquement sur les données de l'expérience directe du choc, et par là même entièrement appropriées à la nature du phénomène. Quant à la question où cette résistance vive étant connue h priori^ il s*agira, à Finverse, de rechercher, par la marche tracée à Tavance, au n** 324, quels sont, en général, les effets dilanialeurs qui peuvent être produits, sur un prisme, par un choc donné, ou quelle doit être l'intensité d'un choc pour produire un effet également assigné, etc., il nous suffira d'indiquer rapidement les principales formules en les faisant suivre de quelques exemples namériques très-simples.

Questions et méthodes de calcul spécialement relatives au cas où le choc entraîne la rupture ou l'altération élastique des prismes.

35^2. Circonstances principales du mouvement qui précède la rupture. — Pour plus de géncralilé (247), nous nommerons Tr=:T'^.AL, la quantité de travail développée, par la résistance d'un prisme, pendant qu'il s'allonge d'une quantité quelconque /= «L, à partir de son élal naturel ; quantité qui sera donnée, ainsi que la valeur correspondante de celle résistance que nous nommerons P ou P'.A, au moyen de la Table du n" 289 cl de ses analogues relatives aux corps diiFérents des métaux. Nous nommerons pareillement tr = /'^.AL, le travail

de celle résistance correspondant à rallongement /'=/'L, subi, anlérieurcmenl au choc, par le même prisme, sous Faction permanente de la charge Q. Cela posé, on aura, pour remplacer les dernières des formules du n° 324, dans les mêmes hypothèses et conditions, sauf que la limite de l'élasticité pourra, ici, être dépassée, la nouvelle équation

OU