GLISSEMENT

361. Exemple relatif au frottement des traîneaux. — Supposons, en premier lieu, un traîneau, en bois, chargé d'un poids total de 1 5oo kilogrammes, y compris le sien propre, et glissant sur un chemin horizontal pareillement en bois; on demande : i** l'effort nécessaire pour faire partir ce traîneau; i"" le nombre de chevaux nécessaire pour le faire cheminer sous difTérentes vitesses et d'une manière continue.

En recherchant dans la première colonne de gauche de la Table du n** 355, l'article relatif au frottement des bois sur bois, à l'instant du départ, on trouve, sur les trois lignes horizontales qui lui correspondenlpdifTérents nombres en regard de chacune des têtes de colonnes, qui, vers la droite, indiquent l'état des surfaces ou de l'enduit; cela annonce (/^/rf.) Qtie la résistance est susceptible d'éprouver, dans chaque cas, des variations d'intensité dépendantes de la nature des bois, du degré de leur poli et de la direction des fibres ou du mouvement. Mais, en supposant qu'il s'agisse ici de surfaces assez mal dressées, on devra prendre le maximum des rapports ou coefficients de chaque espèce; et, comme on aperçoit, parles nombres delà troisième colonne, que la résistance augmente, en général, quand les surfaces sont^ou simplement humides ou complètement imprégnées d'eau, on devra, afin de ne pas rester au dessous de la réalité, adopter le chiffre 0,71, qu'on

DES RÉSISTANCES. 53g

rencontre parmi ceux de celle, colonne ; nous aurons donc, pour le frouemenl au dépari du traîneau :

0,71 X i5oo^»= io65^».

Un bon cheval ne peut guère exercer, d'après Régnier (5*^ cahier du Journal de l'École Polytechnique), un effort de plus de 400 kilogrammes contre un obstacle immobile, il ne pourrait donc vaincre directement la résistance dont il s'agit. Mais, en attelant au traîneau deux chevaux de celle force, et les faisant agir par secousses en vertu de leur quaniilé de mouvement antérieurement acquise (131, 133 et suiv.), il y a lieu de croire qu'ils en viendraient à bout, bien que Tinerlie leur oppose, dans ce cas, une très-grande résistance (14-6 et suiv.); car nous savons ( 355 ) qu'un ébranlement, assez léger, imprimé * aux corps en coniact, suffit pour produire leur départ sous un effort bien moindre, et à peu près égal à celui qui correspond aux instants où le mouvement est déjà acquis. Or on voit, par la Table du n° 357, relative à ce cas, que la résistance serait, tout au plus, égale aux o,48 de la charge, c'est-à-dire

0,48 X i5oo^<î= 720^6;

mais il est clair que les deux chevaux ne pourraient pas traîner fort loin cette charge, sous un pareil effort; et comme, d'après la Table du n" 205, le tirage moyen ou le plus avanla-r geux d'un cheval, dans un travail soutenu, est de 70 kilogrammes environ, on voit qu'il faudrait en atteler au moins dix au traîneau, pour qu'ils pussent le faire cheminer conve-

'720^'' nablement,enexerçant moyennement un efforlde = 72^»

environ, sous une vitesse qui, d'après les données de celle

63™ même Table, doit être, au plus (206), de — = o"',87 par se-

conde; celte vitesse n'ayant d'ailleurs (34-9) aucune influence . sur riniensilé absolue de la résistance à vaincre, celle-ci restera toujours égale à 72 kilogrammes pour chaque cheval allant, soit au pas, soit au trot. Enfin, puisque, à celle dernière allure, qui correspond à une vitesse d'environ 2'",2 par seconde, l'effort de tirage des chevaux doit être réduit moyennement à 44 kilogrammes, toujours d'après la Table du n^205.

54o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

on voit que, dans ce cas, il en faudrait, au moins, -^-t- = i6,36,

pour traîner convenablement la charge.

Supposons, maintenant, les surfaces frottantes parfaitement dressées et graissées dans toute leur étendue; d'après les chiffres moyens des colonnes 4 6t 5 de la Table du n® 357, la résistance sera réduite aux o,o8, au moins, de i5oo kilogrammes ou à T20 kilogrammes; ce qui n'exigerait plus que l'emploi de deux médiocres chevaux, s'ils devaient cheminer au pas, pendant dix heures chaque jour, ou celui de trois chevaux pareils, cheminant au trot, pendant seulement quatre heures et demie, puisque la dépense de travail, par mètre de chemin, demeure indépendante de la vitesse, ou égale à lao^'X 1"= 120^»", pour les deux cas. Les chiffres des mêmes colonnes, 4 et 5, de la Table dont il s'agit, montrent, ^ au surplus^ qu'il n'y aurait de l'avantage à substituer des ornières* ou des languettes saillantes, en fer ou en fonte, à celles en bois, qu'autant qu'on voudrait éviter la dépense de Tenduit, ainsi que la trop prompte altération des surfaces.

362. Exemple relatif à la stabilité des constructions. — Supposons, en second lieu, qu'il s'agisse de reconnaître quel est l'effort horizontal que peut supporter un mur de soutènement, en maçonnerie ordinaire, de lo mètres de hauteur, 2"*, 5 d'épaisseur au sommet, et 3*", 5 à la base, afin d'être assuré qu'il ne glissera pas sur ses assises horizontales; l'effort, dont il s'agit, devant être, tout au plus, égal à celui de la poussée des terres ou de l'eau qui s'appuient derrière ce mur: poussée dont le calcul repose d'ailleurs sur des principes de Mécanique, dont l'exposition ne rentre pas dans le plan de cet Ouvrage (*).

Remarquons d'abord que l'assise des fondations étant la plus chargée de toutes, et celle qui présente, à la cohésion des mortiers, la plus grande étendue de surface, ce n'est pas elle qui court le plus de chances d'être désunie par glissement ;

(■) I/Auteur a fait une élude complète de cette importante question, dans ton Mémoire sur la stabilité des revêtements et de leurs fondations {Mémorial de 'Officier du Génie, n» XIll). (K.)

mais, comme la poussée croit elle-même rapidement avec la hauteur des terres à soutenir, nous admettrons ici que la base du mur soil réellement Tassise de plus faible résistance relatîye. D*un autre côté, la poussée et la résistance étant les mêmes pour chaque unité de longueur du mur, ou leur rapport étant indépendant de cette longueur, il suffira de considérer ce qui a lieu pour une portion comprise entre deux tranches verticales, ou profils distants de i mètre, par exemple. Cela posé, on trouvera, sans difficulté, pour le poids du mur, en admettant (35) que le mètre cube de maçonnerie pèse 2000 kilogrammes, le chiffre

io»x

La Table du n® 356 (première partie) donne ici/=o,66, pour la plus faible des valeurs du coefficient du frottement, relatives aux briques et aux pierres non polies, avec ou sans interposition de mortier frais, qui, dans quelques cas, favorise le glissement; donc la résistance est, au moins, de 360000^» = 4^000^', par mètre courant de longueur, et, par conséquent, la poussée ne devrait pas surpasser cet effort. Mais, à cause des ébranlements auxquels le revêtement peut être soumis, immédiatement après sa construction, il convient de consulter la Table du n® 358, relative au cas où le mouvement est déjà acquis, sous l'influence de cet ébranlement; or ici, VoH voit que, sauf pour le cas des pierres dures, bien dressées, le frottement ne descend point au-dessous des 0,6, de la pression; donc on pourra adopter le chiffre

comme valeur minimum de la résistance que le frottement des assises inférieures du mur oppose à son glissement horizontal. Reste à voir maintenant, si cette résistance peut, au bout d'un certain temps, être surpassée par l'adhérence ou cohésion produite par la solidification des mortiers, auquel cas (356) il conviendrait, non d'ajouter, mais de substituer celle-ci à la première, dans les calculs relatifs à la stabilité, si toutefois il était permis d'admettre que les causes d'ébran-

54^ MÉCANIQUE INt>t'STRIELLE.

lement, dont on vient de parler, soient insuffisantes pour détacher les surfaces, et réduire de nouveau la résistance à celle qui est due au simple frottement.

L'aire de la portion d'assise ou de base, que nous considérons, est de S^jSxi'"^ S""*!, 5, par mètre courant de revêtement; et, d'après la dernière des colonnes de la deuxième partie du tableau (356) cité en premier lieu, on ne peut guère compter, même pour les bons mortiers, sur une résistance moyenne qui surpasse 9 à loooo kilogrammes par mètre carré, ce qui donne une résistance totale de

3, 5 X gooo'^ïî = 3 1 5oo^« à 3,5 X ioooo^«= 35ooo^»,

un peu inférieure à celle qui a été trouvée dans l'hypothèse du frottement. On voit donc que, dans cette question, il serait inutile d'avoir égard à la cohésion des mortiers, et cela avec d'autant plus de raison : i"" qu'il ne serait pas prudent de compter sur la moyenne, ni même sur la plus petite des données fournies par l'expérience; 2° que les surfaces en contact étant ici très-grandes, il peut arriver que des mortiers, en chaux ordinaire, soient loin d'avoir acquis, même au bout d'une ou de deux années, le maximum de leur dureté relative; 3" qu'enfln le mur peut être soumis, avant cet instant, à tous les accidents qui naissent du chargement des terres, de l'application de la poussée, etc.

Les calculs qui précèdent ne présentent, comme on voit, que des approximations grossières, des à peu près bien éloignés de la rigueur mathématique qui plaît tant à l'esprit dans les sciences rationnelles; mais cette incertitude tient à la nature physique même des choses, et ne doit pas nous porter à dédaigner les données du calcul et de l'expérience, qui nous mettent au moins à même d'obtenir des limites, et d'éviter des mécomptes d'autant plus fâcheux, qu'ils n'intéressent pas seulement l'amour-propre et la fortune des individus.

Passons maintenant à d'autres exemples, qui nous offriront des résultats plus satisfaisants sous le rapport de la précision des chiffres.

363. Calcul du travail absorbé par le frottement des tou^ rillons des roues hydrauliques et des volants, — On se sert souvent dans les machines, de grandes roues en fonte, irès-pesanies, destinées, les unes, à donner le mouvethent, les autres à le conserver et à le régulariser, de manière à remplir ainsi les fonctions de réservoirs de force vive (124 et 144); il n'est peut-^ç pas inutile d'appeler l'attention de quelques-uns de nos lecteurs, sur l'énorme consommation de travail qui peut résulter du seul frottement des tourillons de ces gigantesques appareils. Il existe, en effet, des usines à fabriquer le fer, dont les roues à eau ne pèsent guère moins de 80000 kilogrammes, et qui font de 6 à 8 tours, moyennement, par minute, tandis que leurs volants, dont le poids excède souvent 20000 kilogrammes, font jusqu'à 5o et 60 révolutions pendant le même temps; d*ailleurs, les tourillons, en fonte, de ces masses, tournent sur des coussinets en bronze, bien graissés avec du suif, et qui ont environ o°*,3o de diamètre dans le premier cas, o^v, 20 dans le second.

D'après ces données, il ne sera pas difficile de calculer le travail absorbé par le frottement de pareils tourillons, au moyen du tableau du n" 359, et des règles ou formules établies au n** 350; car on peut admettre, et l'on démontre d'ailleurs directement par les principes qui se rapportent à la composition ou combinaison des forces, que, dans tous les cas semblables, la pression normale, N, supportée par les tourillons, difiFère généralement très-peu du poids même de la roue ou du volant; ce qui n'aurait plus lieu si ce poids éiait très-petit, ou si seulement il était comparable à l'intensiié de la force motrice qui entretient le mouvement.

Pour les tourillons de la roue hydraulique, en particulier, on trouvera que le frottement/N = o,o54x8oooo^«=4320^S dan» le cas d'une alimentation de graisse continue, et qu'il est deo,o75x8oooo^' = 6ooo^«,dans celuioù ilsseraientalimentés à la manière ordioaire; la roue faisant, je suppose, 6 tours à la minute, et le diamètre 2r, des tourillons, étant de o",3o, il en résulte, à la circonférence, une vitesse

V = 0,1047 x6xo'",i5 =0^,0942,

par seconde; ce qui donne, pour la dépense correspondante

544 aCCAXIQCB »BCSTB1ELU.

de UaTail : RV = o-, 09^2 x 432a^« = 4o6^*",9Î = 5,4 cherauxdynamiques environ , dans le cas d'un parfait eniretien, et ©■,o945fcX6ooo*« = 5fi5'**,2 = 7,5 chevaux, dans celui d'un entretien ordiiûire. De semblables consommations de travail seraient sufGsantes pour faire mouvoir un ou deux tounuukU de moulins à farine, et elles deviendraient intolérables dans des machines qui n'auraient pas, au moins, la puissatif^ de4o a 5o chevaux.

Pour le volant, le frottement, sur les tourillons, sera seulement de 0,054 X 20000^ = 1080^», dans le cas d'un entretien parfait, et de 0,0^5 X 20000^*== i5oo^<, dans celui d'un entretien ordinaire; mais, comme la vitesse est ici de 5o tours, au moins, à la minute, ce qui pour un diamètre de o, 20, donne un chemin de o", 5^36, décrit, dans chaque seconde, à la sui^ face des tourillons, il en résulte une consommation de travail, équivalente à o", 5236 x 1080^» = 565^«"' = 7,5 chevaux environ pour le premier cas, etdeo",5236Xi5oo^»z=583^«"=:io,5 chevaux pour le second.

Il faut, comme on voit, que l'emploi des volants présente de bien grands avantages, sous le rapport de la régularisation du travail des machines employées à la fabrication du fer, pour qu'on se décide à faire, en quelque sorte en pure perte, un aussi énorme sacrifice en frottement d'axes seulement: car il est évident que le frottement des rouages qui servent à transmcîtlre ou à entretenir le mouvement de pareilles masses, et la résistance de l'air qui l'accompagne inévitablement, doivent, à leur tour et par suite de Texcessive vitesse qu'on fait prendre à ces masses, être d'autres causes de déperdition du travail moteur, dont l'influence mérite d'être prise en considération. ,

3G4. Application relative au frottement îles roues de voitures. — - La charge réglementaire maximum, des diligences, est de 362o^<î, répartie sur quatre roues, dont celles du devant ont o'", 4^5 de rayon, et celles de derrière o"™,76; le rayon moyen des essieux est de o'",o35; ces essieux en fer, glissent, avec un très-petit jeu, sur la surface intérieure de bottes de roues, en cuivre, bien graissées à la manière ordinaire, et qui viennent successivement présenter tous leurs points ou

génératrices à un même point ou à une même génératrice des essieux; on prendra donc ici, d'après la première partie de la Table du n° 358,/=:o,o75; ce qui donnera pour la résistance tangentielie et totale éprouvée par les quatre roues, 0,075 X 3620^» = 271^», 5. Ces diligences cheminant avec une vitesse de 2 lieues à l'heure, ou d'environ 2"*, 22 par se» conde, quand les chevaux vont au trot, et chacun des points des roues venant successivement s'appliquer le long de ce même chemin, il est aisé de calculer que les plus grandes d'entre

elles font: ' /^ ~ 0 — 7— -r? — f" =o,465 tours seule-

271X0"*, 76 3,i4iX6i™,52 '^

ment par seconde, et les plus petites : z — j~pr^ — - — =0,728;

3,i4i6xo'*,97 " '

de sorte que, si on les suppose également chargées, le travail consommé, dons le même temps, par les premières, sera d'environ ~X 27i^<!,5x 27:Xo"»,o35x o,465 = i3*'«'",9et, parles

secondes, de i3''»'",9X j7r= = 21^»'", 7.

Maison peut arriver plus simplementà ce résultat, en observant que la vitesse, ou le chemin décrit, en une seconde, par le point d'application du frottement, ou par la circonférence des boîtes en contact avec les roues, sera seulement de

271 Xo'",o35 X 7. =0",035X 7? =0'",I022

2"" 22 pour les grandes roues, et deo"»,o35 x — irr? =:o",i6o2 pour

les petites; ce qui donne immédiatement les quantités de travail :

jX 271^^,5 XO™, I022=:l3''«™,85

qui s'accordent respectivement avec les précédentes, et donnent, au total : i3''«™, 85 -f- 2 1*'»™,74 = 35''«",59, pour le travail absorbé par les frottements réunis de quatre roues ; travail qui paraîtra bien faible en comparaison de celui qui serait consommé dans le cas (300) d'un simple traîneau. En effet, supposons seulement, d'après les tableaux des n*" 35G et suivants,

jf = 0,33, on trouverait pour ce dernier travail :

toujours par seconde.

Sous le point de vue théorique, cette remarque suffit pour montrer l'avantage de la substitution des voitures avec roues aux simples traîneaux; car les calculs qui viennent d*étre établis font très-bien apercevoir que cet avantage ne réside pas uniquement dans un affaiblissement, plus ou moins grand, de l'intensité du frottement direct, mais bien dans raffaiblissèment même de la vitesse, ou dans la diminution du chemin relatif, décrit parle point d'application de la résistance^ et qui est mesurée par le rapport du rayon des essieux au rayon des roues. Ainsi, par exemple, tandis que, dans le cas ci-dessus, la vitesse ou le chemin effectif de la charge, qui est aussi celui de la circonférence des roues, est de 2"», 22 par seconde, celle de la botte de ces roues est seulement, comme on l'a vu, égale à o"*,io2 pour les grandes, et à o™,i6o pour les petites, c'està-dire environ 22 fois et i4 fois moindre que la première.

Quant au point de vue pratique, il conviendrait encore de considérer : l'^la résistance que l'air oppose au mouvement de la voiture; a*» le frottement circulaire ou latéral (34-7) qui a lieu contre les épaulements, intérieur et extérieur, du moyeu des roues, aux instants où la voiture éprouve des chocs ou oscillations transversales résultant des inégalités du sol; 3° enfin, le frottement de seconde espèce ou de roulement (ibid,) qui naît du contact même de ces roues avec le sol, ou, plutôt, de la résistance que les matériaux de la roule opposent à leur déplacement, à leur compression et à leur écrasement, au moment ou ils sont atteints par les bandes des roues. Faisant ici abstraction de la résistance de l'air, qui, en effet, est trèsfaible, même pour des diligences lancées au trot; observant d'ailleurs que la résistance des épaulements de roues ne peut exercer qu'une influence peu sensible, dans tous les cas où le sol est convenablement nivelé; défalquant enOn, dans chaque cas, de la quantité de travail qu'aurait fournie la mesure directe de l'effort du tirage, etc., la perte de travail occasionnée par le frottement des essieux, perte toujours calculable, à priori, par la méthode indiquée ci-dessus; en opérant, di-

sons-nous, celle défalcalîon, on voil comment il devienl pos- «iible d'arriver, dans de lelles hypothèses, à la mesure du travail consommé parla résistance au roulement dont il s'agit, €t, par suite, à la valeur même de l'intensilé relative, de celle résistance, dans les différents cas. Mais, ainsi que nous en avons déjà averti, notre intention ne saurait être de nous ^lendre ici sur les considérations expérimentales et physiques qui se rapportent à ce genre de frottement (*).

365. Lois du mouvement horizontal des corps sous Vin- Jluence du frottement. — Le frottement étant une force retardatrice constante toutes les fois que la pression ne change pas, il est évident, à priori ( 107 et suivants ), que, si un corps pesant se trouve lancé sur un plan de niveau, dans une direction rectiligne donnée, et qui demeuré invariable à tous les instants, comme il arriverait, par exemple, pour un traîneau glissant dans des rainures ou sur des languettes saillantes, parallèles et rectilignes, il est évident, dis-je, que le mouvement

(*) Frottement de roulement, — Dans les Leçons que nous avons données, en 1839, aux ouvriers de la ville de Metz, et dans celles que nous avons professées Tannée suivante, à TÉcole d'application de l'Artillerie et du Génie, nous avions exposé quelques données d'expériences et do calculs, relatives au frottement dont il s'agit, et que, d'après Coulomb, nous supposions proportionnel à la charge N des rouleaux, et inverse de leur diamètre 2r, la puissance étant elle-même censée immédiatement appliquée à leur centre ou axe, ce qui donne lieu à la formule

pour mesurer ce genre de résistance. Appliquant ensuite cette considération aux données fournies par la Table du n^ 213, et par les expériences mêmes de Coulomb, nous en avions déduit une nouvelle Table des valeurs du coefficient/*,, que nous croyons utile de rapporter ici, en attendant que des résultats d'expériences plus directes et plus précises aient levé entièrement les incertitudes qui existent maintenant encore sur la véritable loi de la résistance au roulement. Car, si M. Dupuit, dans un récent Ouvrage intitulé : Essai et expériences sur le tirage des voitures (Paris, 1837), a été conduit à modifier, en partie, la loi avancée par Coulomb; d'un autre côté, les expériences encore inédites de M. Murin sont venues la confirmer pleinement ; de sorte que ce n'est pas trop se hasarder que de reproduire aujourd'hui même des résultats déjà publiés en i83i, dans les lithographies de l'École d'application de Metz. Nous avons d'autant plus de motifs de le faire, que ces mêmes résultats ont été postérieurement insérés, sans notre aveu, dans un petit Ouvrage ayant pour titre : Ife-

54B mtCkMQzm uiBi:§Tfti£ij.E.

que ce coqis prendra naiurellement, en Tenu de sa vitesse initiale, sera unifonnémeni retardé: c'est-à-dire que ceue vitesse ira coniinueliement en diminuant de quantités qui seront proportionnelles aux temps écoulés depuis un inslant

quelconque. Nommant P le poids de ce corps, M = - sa masse,

g V, sa vitesse initiale, V la vitesse qu'il conserve au tM>ut d*uD

nombre quelconque, T, de secondes écoulées, enfin, dési-

céuùqme det Écoles primairet, où ils sont présenlés comme de simples donnée» de rexpérieDee.

TaHe de$ rapf»rtt du frottement à la pression, dans le cas dm romlesment de surfaces cylindriques sur des surfaces de niveau { * ).

MUIC5ATI03I DC L*ESPtCS DE ROUES, A. /• — «—..^

•I 4m réut tfet nrteeM «■ eoaUct. ém fretiM—i

a U PTMSlM.

Bons DE TOITTECS garnies de bandes de fer, cheminant :

Sar nne chaussée, en sable et cailloutis nouTeaux o,o634

Id. en empierrement, à l'état ordinaire o,o4i4

Id. id. en parfait état o,oi5o

Id. en paTé, bien entretenu : an pas o,oi8S

Id. id. au trot Oy0238

Id. en planches de chêne, brutes o,oio3

RocES E?i roxTE sur rails en bois saillants et rectilignes (Gerstner). O7O02S

Id. sur ornières plates en fer o,oo35

Id. sur ornières saillantes, avec alimentation de graisse,

ordinaire o,ooia

Id. sur ornières saillantes, avec alimentation de graisse,

continue... 0,0010

RocLEAU d'orme sup pavé uni (Régnier) o ,0074

Id. sur chêne parfaitement dressé (Coulomb) 0,0016

Id. sUr gayac (Id.) 0,0010

RoDLEAO DE F05TE sur granit uni 0,0010

( * ) Dspoit fait rcourqaer qoe le frotlement de roalement eontiale eo ce que, loraqn'ao cjUndr»

roals rar an plan, la réaclioo normale de ce dernier passe à nne petlle distance 2 en «Tant de la

fèoératrlce do coalact «opposé Kéomélrlqne, dn dVlé da moaTemenU II résnlie de la qoe, si la loi

ds Coolonb était exacte, la distance i serait constante, pour les mêmes corps en contact, et éfsle

à /i , qoel que fût le rajon. Celte loi ne peut pas être admise en ^néral, puisque 2 doit toojonrs être

plus petit que le rayon. Dopolt a conclu de ses eipériences qoe, pour les mêmes substances en eon*

f Bi tact, I est proportionnel à la racine carrée du rayon, et qoe, par suite, on a R —-^ •

D'après M. Morlo, la loi de Conlomb est plus approchée de la Térllé, dans les cas ordinaires da I» pratique; Il a trouré, en outra, que le rapport = aof mente quand, tooles choses éfulea d*alllaara. la lottfaaor da la génératrice de conlact diminoe. ( K.)

^nanl par E l'espace qu'il a décrit à la fin du temps ï, on aura ici, pour calculer toutes les circonstances du mouvement retardé dont i\ s'agit, les formules

dans lesquelles/ est le coefficient du frottement des corps en contact, et qui dérivent immédiatement des principes et considérations géométriques exposées dans la première Partie de cet Ouvrage (112, 130 et suivants, 136 et 137).

Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer : i® qu'on doit avoir ici, à chaque instant,

ce qui donne

pour le degré de vitesse infiniment petit, détruit à chacun des instants/, dans le corps mobile ou traîneau, et, par conséquent, fgT pour la vitesse totale détruite au bout du temps T, el V, — /g^T pour la vitesse V conservée au bout de ce temps; 2^ que le produit/P.E exprime la quantité de travail développée, par le frottement, en sens contraire du mouvement, dans toute l'étendue de la course E, et que la force vive, MVJ, diminuée de celle, MVS doit être précisément égale (137) au double de cette quantité, etc.

Ces différentes formules ou lois du mouvement sont, comme on voit, entièrement indépendantes du poids abs(9lu, P, du traîneau, qui a disparu comme facteur commun à tous les termes des équations, mais il n'en serait plus ainsi du cas où ce traîneau serait sollicité par une puissance étrangère, d'intensité également constante, comme celle qui résulterait de l'action d'un poids Q, décomposée ou ramenée, dans le sens horizontal, par un moyen quelconque, par exemple à l'aidç d'une corde passant sur une poulie de renvoi: dans ce cas, pour arriver aux formules qui donnent la loi du mouvement, il suffirait d'ajouter au frottement, /P, du traîneau, ou d'en retrancher, l'effort constant Q; ce qui revient évidemment à augmenter ou à diminuer, dans les équations ci-dessus, le

55o a£cA5iQi;i i^dcsteielle.

coerOcient/du frottemeni de la quantité -pi selon que reffon

0 agît pour favoriser ou pour empêcher le frottement, c^eslà-dire pour retarder ou accélérer le mouvement du trafneau; le seul changement à opérer dans les formules ci-dessus, consistant ainsi à remplacer/ par /± -5» pour passer du premier

cas au second. Toutefois, s'il arrivait, dans cette dernière hypothèse, que Teffort Q surpassât le froitement/P, il pourrait B&ss'i arriver que le traîneau, après avoir cheminé pendant un certain temps dans sa direction primitive, retournât bientôt en arrière, pour continuer ainsi indéfinimentdans le sens de Q; ce qui suppose qu*à Tinslant de cette rétrogradation la vitesse V s'évanouisse, et que sa valeur change de signe dans les équations, le mouvement, d'uniformément relardé qu'il était, devenant ainsi uniformément accéléré. Or on sera averti, par la discussion même des formules, de celte circonstance tout à fait analogue à celle que nous a offerte (120) l'ascension vcr^ ticale des corps pesants, et sur laquelle il devient ainsi inutile d'insister.

Quant au cas où la puissance constante, Q, toujours supérieure à/P, agirait dans le sens même de la vitesse initiale, Viy il va sans dire que le mouvement serait, à tous les instants, uniformément accéléré, comme cela a lieu pour la chute des corps graves, l'intensité et le sens du mouvement étant seuls changés; ou, si l'on veut, l'action, P = Mg-,de la gravité, se trouvant remplacée par celle d'une force horizontale égale à Q —/Pi la vitesse initiale, V„ serait augmentée d'une quantité mesurée par (^--/) /jT, au lieu de ^T, après un temps quelconque, T, écoulé.

366. Férijication de ces lois par l'expérience directe, procédé pour obtenir l* intensité du frottement des corps en mouvement, — Ce qui vient d'être dit, en dernier lieu, peut donner une idée de la manière dont Coulomb et M. Morin sont parvenus à constater les lois du frottement après l'instant du premier ébranlement des corps, et principalement son indépendance de la vitesse absolue du mouvement; car elle a

précisément consisté à rechercher, par des moyens plus ou moins délicats ou précis, et à peu près comme l'avait fait, avant eux, Galilée (116), dans des circonstances analogues quant au but, quoique très*distinctes pour le fond, quelle était la relation existante entre les espaces décrits par les corps et les temps successivement écoulés, puis à s'assurer que cette relation est précisément celle qui convient au mouvement uniformément accéléré ou retardé; ce qui ne peut avoir lieu sans que la résistance soit constante à tous les instants. Mais aujourd'hui, que la loi est connue, et peut être admise à p#u près sans restriction, il ne serait nullement nécessaire de recourir à remploi d'appareils dispendieux pour obtenir, avec un degré de précision très-suffisant, l'intensité relative du frottement, dans des cas où il serait intéressant de le déterminer d'une manière directe : il suffirait de lancer le traîneau, sur son chemin horizontal, disposé de manière à l'empêcher de tourner, avec une vitesse quelconque, V,, et d'observer seulement le nombre de secondes, T', qu'il a mis à décrire l'espace, E', au bout duquel il s'est arrêté.

En eflTet, si l'on exprime, dans les équations ci-dessus (364), que fa vitesse finale, V, est nulle, elles conduisent, sur-lechamp, aux nouvelles formules:

\,=fgT, V; = 2/grE'. E' = \,T-ifgT'.

dont la troisième est une conséquence nécessaire des deux

premières, 'qui serviront immédiatement à calculer les valeurs

de V, et de /, ainsi que tQutes les autres circonstances du

mouvement. Par exemple, en divisant, membre à. membre, la

deuxième par la première, elles donneront, pour calculer V„

2E' la relation V, = -^9 que nous eussions pu écrire de suite

(109 et suivants), d'après les lois bien connues du mouvement uniformément accéléré ou retardé, et dont on conclura immédiatement aussi la valeur du coefficient du frottement

. V» __ aF

relative au cas du mouvement.

54^ MÉCANIQUE lybLSTRIELLE.

lemenl, donl on vient de parler, soient insuffisantes pour détacher les surfaces, et réduire de nouveau la résistance à celle qui est due au simple frottement.

L'aire de la portion d'assise ou de base, que nous considérons, esl de 3", 5 xi""= S"**», 5, par mètre courant de revêtement; et, d'après la dernière des colonnes de la deuxième partie du tableau (356) cité en premier lieu, on ne peut guère compter, même pour les bons mortiers, sur une résistance moyenne qui surpasse 9 à 10 000 kilogrammes par mètre carré , ce qui donne une résistance totale de

3,5 X9ooo'^'=:'3i5oo'^« à 3,5 X ioooo^«= 35ooo^',

un peu inférieure à celle qui a été trouvée dans l'hypothèse du frottement. On voit donc que, dans cette question, il serait inutile d'avoir égard à la cohésion des mortiers, et cela avec d'autant plus de raison : i® qu'il ne serait pas prudent de compter sur la moyenne, ni même sur la plus petite des données fournies par l'expérience; 2° que les surfaces en contact étant ici très-grandes, il peut arriver que des mortiers, en chaux ordinaire, soient loin d'avoir acquis, même au bout d'une ou de deux années, le maximum de leur dureté relative; 3® qu'enfin le mur peut être soumis, avant cet instant, à tous les accidents qui naissent du chargement des terres, de l'application de la poussée, etc.

Les calculs qui précèdent ne présentent, comme on voit, que des approximations grossières, des à peu près bien éloignés de la rigueur mathématique qui plaît tant à l'esprit dans les sciences rationnelles; mais celle incertiiude tient à la nature physique même des choses, et ne doit pas nous porter à dédaigner les données du calcul et de l'expérience, qui nous mettent au moins à même d'obtenir des limites, et d'éviter des mécomptes d'autant plus fâcheux, qu'ils n'intéressent pas seulement l'amour-propre et la fortune des individus.

Passons maintenant à d'autres exemples, qui nous offriront des résultats plus satisfaisants sous le rapport de la précision des chiffres.

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363. Calcul du travail absorbé par le frottement des tourillons des roues hydrauliques et des volants,— On se sert souvenl dans les machines, de grandes roues en fonle, très-pesanles, deslinées, les unes, à donner le mouvehient, les autres à le conserver et à le régulariser, de manière à remplir ainsi les fonctions de réservoirs de force vive (124 et IW); il n'est peui-éwQ pas inutile d'appeler l'attention de quelques-uns de nos lecteurs, sur Ténorme consommation de travail qui peut résulter du seul frottement des tourillons de ces gigantesques appareils. 11 existe, en effet, des usines à fabriquer le fer, dont les roues à eau ne pèsent guère moins de 80000 kilogrammes, et qui font de 6 à 8 tours, moyennement, par minute, tandis que leurs volants, dont le poids excède souvent 20000 kilogrammes, font jusqu'à 5o et 60 révolutions pendant le même temps; d'ailleurs, les tourillons, en fonte, de ces masses, tournent sur des coussinets en bronze, bien graissés avec du suif, et qui ont environ o"*,3o de diamètre dans le premier cas, o*?,2o dans le second.

D'après ces données, il ne sera pas difficile de calculer le travail absorbé par le frottement de pareils tourillons, au moyen du tableau du n*» 359, et des règles ou formules établies au n® 350; car on peut admettre, et l'on démontre d'ailleurs directement par les principes qui se rapportent à la composition ou combinaison des forces, que, dans tous les cas semblables, la pression normale, N, supportée par les tourillons, diffère généralement très-peu du poids même de la roue ou du volant; ce qui n'aurait plus lieu si ce poids élait très-petit, ou si seulement il était comparable à l'intensité de la force motrice qui entretient le mouvement.

Pour les tourillons de la roue hydraulique, en particulier, on trouvera que le frottement/N = o,o54x8oooo'''=:432o''*, dans le cas d'une alimentation de graisse continue, et qu'il est deo, 075x80000*'» = 6000^', dans celui où ilsseraientalimentés à la manière ordinaire; la roue faisant, je suppose, 6 tours à la minute, et le diamètre ir, des tourillons, étant de o"*,3o, il en résulte, à la circonférence, une vitesse

V=ro,io47 x6xo"',i5 =o«»,o942,

par seconde; ce qui donne, pour la dépense correspondante

de travail : RV = o»", 0942 x 4320*^" = ^off''"', 94 = 5,4 chevauxdynamiques environ, dans le cas d*un parfait entretien, et o",o942X6ooo''« = 565*''",2 = 7,5 chevaux, dans celui d'un entretien ordinaire. De semblables consommations de travail seraient suffisantes pour faire mouvoir un ou deux tournants de moulins à farine, et elles deviendraient intolérables dans des machines qui n'auraient pas, au moins, la puissaf4ib de4o a 5o chevaux.

Pour le volant, le frottement, sur les tourillons, sera seulement deo,o54x 2oooo''«=io8o''«, dans le cas d'un entretien parfait, et de 0,075 x 7.0000^»= iSoo^S dans celui d'un entretien ordinaire; mais, comme la vitesse est ici de 5o tours, au moins, à la minute, ce qui pour un diamètre de o, 20, donne un cheinin de o", 5236, décrit, dans chaque seconde, à la surface des tourillons, il en résulte une consommation de travail, équivalente à o'",5236 x i oSo*'» = 565^»'" = 7,5 chevaux environ pour le premier cas, et deo*", 5236 X 1 5oo^« = 583^»" = i o, 5 chevaux pour le second.

Il faut, comme on voit, que l'emploi des volants présente de bien grands avantages, sous le rapport de la régularisation du travail des machines employées à la fabrication du fer, pour qu'on se décide à faire, en quelque sorte en pure perte, un aussi énorme sacrifice en frottement d'axes seulement: car il est évident que le frottement des rouages qui servent à transmettre ou à entretenir le mouvement dépareilles masses, et la résistance de l'air qui l'accompagne inévitablement, doivent, à leur tour et par suite de l'excessive vitesse qu'on fait prendre à ces masses, être d'autres causes de déperdition du travail moteur, dont l'influence mérite d'être prise en considération. •

364. Application relative au frottement des roues de voitures. — La charge réglementaire maximum, des diligences, est de 3620''», répartie sur quatre roues, dont celles du devant onlo"S485 de rayon, et celles de derrière o*",76; le rayon moyen des essieux est de o'",o35; ces essieux en fer, glissent, avec un très-petit jeu, sur la surface intérieure de bottes de roues, en cuivre, bien graissées à la manière ordinaire, et qui viennent successivement présenter tous leurs points ou

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génératrices à un même point ou à une même génératrice des essieux; on prendra donc ici, d'après la première partie de la Table du n° 358,/= 0,075; ce qui donnera pour la résistance tangentielle et totale éprouvée par les quatre roues, 0,075 X 3620*'»=: 27 1*'", 5. Ces diligences cheminant avec une vitesse de 2 lieues à l'heure, ou d'environ 2"», 22 par seconde, quand les chevaux vont au trol, et chacun des points des roues venant successivement s'appliquer le long de ce même chemin, il est aisé de calculer que les plus grandes d'entre

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9 9^ 0"*oo

elles font: '—- — 7^ = .; — ' ' — r- ;=o,465 tours seule-

2 22 ment par seconde, et les plus petites : r — j—p^- — - — =0,728; ' » F F 3,i4i6xo«,97 " •

de sorte que, si on les suppose également chargées, le travail consommé, dans le même temps, par les premières, sera d'environ yX 27i'^«,5x 2r Xo"»,o35x o, 465 = 13^»"», 9 et, par les

secondes, dei3''«"',9X j7r= = 21*'»'", 7.

Mais on peut arriver plus simplement à ce résultat, en observant que la vitesse, ou le chemin décrit, en une seconde, par le point d'application du frottement, ou par la circonférence des boîtes en contact avec les roues, sera seulement de