Xo'",o35x 7- =o"*,o35x -— — 7? =o"^,io

27rXo,7b o™,76

pour les grandes roues, et deo",o35 X — ^=o">,i6o2 pour

les petites; ce qui donne immédiatement les quantités de

travail :

jX 27i^«,5Xo«», 1022 = 1 3''»™, 85

et

; X 271 ^«,5 Xo", 1602 = 21^»°», 74,

qui s'accordent respectivement avec les précédentes, et donnent, au total : i3^«'",85 -+- 2i'^»™,74 = 35''«°»,59, pour le travail absorbé par les frottements réunis de quatre roues ; travail qui paraîtra bien faible en comparaison de celui qui serait consommé dans le cas (360) d'un simple traîneau. En effet, supposons seulement, d'après les tableaux des n*** 350 et suivants,

546 MÉCANIQUE INDUSTRKLLE.

f 1=0,33, on trouverait pour ce dernier travail :

toujours par seconde.

Sous le point de vue théorique, cette remarque suffit pour montrer l'avantage de la substitution des voilures avec roues aux simples traîneaux; car les calculs qui viennent d'être établis font très-bien apercevoir que cet avantage ne réside pas uniquement dans un affaiblissement, plus ou moins grand, de l'intensité du frottement direct, mais bien dans raffaiblissèment même de la vitesse, ou dans la diminution du chemin relatif, décrit parle point d'application de la résistance, et qui est mesurée par le rapport du rayon des essieux au rayon des roues. Ainsi, par exemple, tandis que, dans le cas ci-dessus, la vitesse ou le chemin effectif de la charge, qui est aussi celui de la circonférence des roues, est de a"*, 22 par seconde, celle de la botte de ces roues est seulement, comme on l'a vu^ égale à o™,io2 pour les grandes, et à o"*,i6o pour les petites, c'està-dire environ 22 fois et i4 fois moindre que la première.

Quant au point de vue pratique, il conviendrait encore de considérer : i® la résistance que l'air oppose au mouvement de la voiture; 2° le frottement circulaire ou latéral (3W) qui a lieu contre les épaulements, intérieur et extérieur, du moyeu des roues, aux instants où la voilure éprouve des chocs ou oscillations transversales résultant des inégalités du sol; 3° enfin, le frottement de seconde espèce ou de roulement (ibid,) qui naît du contact même de ces roues avec le sol, ou, plutôt, de la résistance que les matériaux de la route opposent à leur déplacement, à leur compression et à leur écrasement, au moment où ils sont atteints par les bandes des roues. Faisant ici abstraction de la résistance de l'air, qui, en effet, est trèsfaible, même pour des diligences lancées au trot; observant d'ailleurs que la résistance des épaulements de roues ne peut exercer qu'une influence peu sensible, dans tous les cas où le sol est convenablement nivelé; défalquant enfin, dans chaque cas, de la quantité de travail qu'aurait fournie la mesure directe de l'effort du tirage, etc., la perte de travail occasionnée par le frottement des essieux, perte toujours calculable, à priori, par la méthode indiquée ci-dessus; en opérant, di-

sons-nous, cette défalcation, on voit comment il devient possible d'arriver, dans de telles hypothèses, à la mesure du travail consommé parla résistance au roulement dont il s'agit, et, par suite, à la valeur même de l'intensité relative, de cette résistance, dans les différents cas. Mais, ainsi que nous en avons déjà averti, notre intention ne saurait être de nous étendre ici sur les considérations expérimentales et physiques qui se rapportent à ce genre de frottement (*).

365. Lois du mouvement Tiorizontal des corps sous Vin-- Jluence dufrotlemenl. — Le frottement étant une force retardatrice constante toutes les fois que la pression ne change pas, il est évid(?nt, à priori {iOl et suivants ), que, si un corps pesant se trouve lancé sur un plan de niveau, dans une direction rectiligne donnée, et qui demeuré invariable à tous les instants, comme il arriverait, par exemple, pour un traîneau glissant dans des rainures ou sur des languettes saillantes, parallèles et rectilignes, il est évident, dis-je, que le mouvement

(*) Frottement de roulement, — Dans les Leçons que nous avons données, en 1829, aux ouvriers de la ville de Metz, et dans celles que nous avons professées l'année suivante, à l'École d'application de l'Artillerie et du Génie, nous avions exposé quelques données d'expériences et de calculs, relatives au frottement dont il s'agit, et que, d'après Coulomb, nous supposions proportionnel à la charge N des rouleaux, et inverse de leur diamètre 3r, la puissance étant elle-même censée immédiatement appliquée à leur centre ou axe, ce qui donne lieu à la formule

pour mesurer ce genre de résistance. Appliquant ensuite cette considération aux données fournies par la Table du n** 213, et par les expériences mêmes de Coulomb, nous en avions déduit une nouvelle Table des valeurs du coefficient y,, que nous croyons utile de rapporter ici, en attendant que des résultats d'expériences plus directes et plus précises aient levé entièrement les incertitudes qui existent maintenant encore sur la véritable loi de la résistance au roulement. Car, si M. Dupuit, dans un récent Ouvrage intitulé : Essai et expériences sur le tirage des voitures (Paris, 1837), ^ ^^ conduit à modifier, en partie, la loi javancée par Coulomb; d'un autre c6té, les expériences encore inédites de M. Morin sont venues la confirmer pleinement ; de sorte que ce n'est pas trop se hasarder que de reproduire aujourd'hui même des résultats déjà publiés en i83r, dans les lithographies de l'École d'application de Metz. Nous avons d'autant plus de motifs do le faire, que ces mêmes résultats ont été postérieurement insérés, sans notre aveu, dans un petit Ouvrage ayant pour titre : 3fé'

que ce corps prendra naturellement, en vertu de sa vitesse initiale, sera uniformément retardé; c'est-à-dire que celle vitesse ira continuellement en diminuant de quantités qui

seront proportionnelles aux temps écoulés depuis un instant

quelconque. Nommant P le poids de ce corps, M = - sa masse,

Vi sa vitesse initiale, V la vitesse qu'il conserve au bout d'un nombre quelconque, T, de secondes écoulées, enfin, dési-

camque des Écoles primaires, où ils sont présentés comme de simples donnée» de rexpériencc.

Table des rapports du frottement à la pression, dans le cas du roulement de surfaces crlindriques sur des surfaces de niveau ( * ).

, VALECRS

DÉ$lti!<ATIO;< DE L ESPÈCE DE ROUES, h. r ^ .

' de/,, on rapport

et de réut des larfaces en contact. du rrotlement

à la pretalMi.

Roues de voitures garnies de bandes de fer, cheminant :

Sur une chaussée, en subie et cailloutis nouveaux o,o634

Id. en empierrement, à l'état ordinaire o,o4i4

Id. id. en parfait état o,oi5o

Id. en pavé, bien entretenu : au pas o,oi85

Id. id. au trot o,0238

Id. en planches de chêne, brutes o ,oioa

Roues eti fonte sur rails en bois saillants et rectiliçncs (Gerstner). o^ooaS

Id. sur ornières plates en fer o,oo3S

Id. sur ornières saillantes, avec alimentation de graisse,

ordinaire 0,001 3

Id. sur ornières saillantes, avec alimentation de graisse,

continue ... 0,0010

Rouleau d'orme sur pavé uni (Régnier) o ,0074

Id. sur chêne parfaitement dressé (Coulomb) 0,0016

Id. sUr gayac (Id.) 0,0010

Rouleau de fonte sur granit uni 0,0010

( * ) Dupuil fatl remarquer que le frottement de roulement conilste en ce que, loraqa'on cylindre ronle lur an plan, la réaction normale de ce dernier passe à une petite distance i en arant <!« la génératrice du contact supposé féomélrlque, du cAté du mouTement. 11 résulte de là qae, si U loi d« Coulomb était exacte, la distance userait constante, pour les mêmes corps en contact, et égale à /t , quel que fût le rayon. Cette loi ne peut pas être admise en général, puisque $ doit toajoars être plus petit que le rayon. Dupuit a conclu de ses expériences que, pour les mêmes substances eo ooe-

tact, ^ est proportionnel k la racine carrée du rayon, et que, par suite, on a il ="^7= •

Vr

D'après M. Morln, la loi de Coulomb est plus approchée de la Térité, dans les cas ordinaires de I» pratique ; Il a trouré, en outra, que le rapport ji augmente quand, toutes choses égales d'atllour», Is longueur de la génératrice de contact diminue. ( K.)

gnant par E Tespace qu'il a décril à te fin du temps ï, on aura ici, pour calculer loules les circonstances du mouvement retardé dont i\ s'agit, les formules

dans lesquelles /est le coefficient du frottement des corps en contact, et qui dérivent immédiatement des principes et considérations géométriques exposées dans la première Partie de cet Ouvrage (112, 130 et suivants, 136 et 137).

Pour s'en convaincre, il suffît de remarquer : i® qu'on doit avoir ici, à chaque instant,

ce qui donne

pour le degré de vitesse infiniment petit, détruit à chacun des instants/, dans le corps mobile ou traîneau, et, par conséquent, fgT pour la vitesse totale détruite au bout du temps T, et V, — /g^T pour la vitesse V conservée au bout de ce temps; 2° que le produit/P.E exprime la quantité de travail développée, par le frottement, en sens contraire du mouvement, dans toute l'étendue de la course E, et que la force vive, M Vf, diminuée de celle, MV^ doit être précisément égale (137) au double de cette quantité, etc.

Ces différentes formules ou lois du mouvement sont, comme on voit, entièrement indépendantes du poids abs(5lu, P, du traîneau, qui a disparu comme facteur commun à tous les termes des équations, mais il n'en serait plus ainsi du cas où ce traîneau serait sollicité par une puissance étrangère, d'intensité également constante, comme celle qui résulterait de l'action d'un poids Q, décomposée ou ramenée, dans le sens horizontal, par un moyen quelconque, par exemple à l'aidç d'une corde passant sur une poulie de renvoi; dans ce cas, pour arriver aux formules qui donnent la loi du mouvement, il suffirait d'ajouter au frottement, /P, du traîneau, ou d'en retrancher, l'effort constant Q; ce qui revient évidemment à augmenter ou à diminuer, dans les équations ci-dessus, le

55o MÉGàHIQUE industbielle.

coefficient /du frottement de la quantité -p» selon que Tefforl

0 agit pour favoriser ou pour empêcher le froitemenl, c'eslà-dire pour retarder ou accélérer le mouvement du traîneau; le seul changement à opérer dans les formules ci-dessus, consistant ainsi à remplacer/ par /±: ^t pour passer du premier

lîas au second. Toutefois, s'il arrivait, dans cette dernière hypothèse, que l'effort Q surpassât le froitemeni/P, il pourrait athsi arriver que le traîneau, après avoir cheminé pendant un certain temps dans sa direction primitive, retournât bientôt en arrière, pour continuer ainsi indéOnimentdans le sens de Q; ce qui suppose qu'à l'instant de cette rétrogradation la vitesse V s'évanouisse, et que sa valeur change de signe dans les équations, le mouvement, d'uniformément retardé qu1l était, de^ venant ainsi uniformément accéléré. Or on sera averti, par la discussion même des formules, de cette circonstance tout à fait analogue à celle que nous a offerte (120) l'ascension verticale des corps pesants, et sur laquelle il devient ainsi inutile d'insister.

Quant au cas où la puissance constante, Q, toujours supérieure à/P, agirait dans le sens même de la vitesse initiale, Vi, il va sans dire que le mouvement serait, à tous les instants, uniformément accéléré, comme cela a lieu pour la chute des corps graves, l'intensité et le sens du mouvement étant seuls changés; ou, si l'on veut, l'action, P = Mg^,de la gravité, se trouvant remplacée par celle d'une force horizontale égale à Q — /P; la vitesse initiale, V,, serait augmentée d'une quantité mesurée par (^— /) /fT, au lieu de ^T, après un temps quelconque, T, écoulé.

366. Férijicalion de ces lois par l* expérience directe, p/xhcédé pour obtenir l* intensité du frottement des corps en mouvement, — Ce qui vient d'être dit, en dernier lieu, peut donner une idée de la manière dont Coulomb et M. Morin sont parvenus à constater les lois du frottement après l'instant du premier ébranlement des corps, et principalement son indépendance de la vitesse absolue du mouvement; car elle a

DES BÊSISTANCES. 55 1

précisément consisté à rechercher, par des moyens plus ou moins délicats ou précis, et à peu près comme l'avait fait, avant eux, Galilée (116), dans des circonstances analogues quant au but, quoique très-distinctes pour le fond, quelle était la relation existante entre les espaces décrits par les corps et les temps successivement écoulés, puis à s'assurer que celte relation est précisément celle qui convient au mouvement uniformément accéléré ou retardé; ce qui ne peut avoir lieu sans que la résistance soit constante à tous les instants. Mais aujourd'hui, que la loi est connue, et peut être admise à pAu près sans restriction, il ne serait nullement nécessaire de recourir à l'emploi d'appareils dispendieux pour obtenir, avec un degré de précision très-suffisant, l'intensité relative du frottement, dans des cas où il serait intéressant de le déterminer d'une manière directe : il suffirait de lancer le traîneau, sur son chemin horizontal, disposé de manière à l'empêcher de tourner, avec une vitesse quelconque, V,, et d'observer seulement le nombre de secondes, T', qu'il a mis à décrire l'espace, E', au bout duquel il s'est arrêté.

En effet, si l'on exprime, dans les équations ci-dessus (364), que fa vitesse finale, V, est nulle, elles conduisent, sur-lechamp, aux nouvelles formules:

v,=/grr, v; = 2/g:E', e'=v.T'-i/^T'%

dont la troisième est une conséquence nécessaire des deux premières, •qui serviront immédiatement à calculer les valeurs de V, et de /, ainsi que tqutes les autres circonstances du mouvement. Par exemple, en divisant, membre à .membre, la deuxième par la première, elles donneront, pour calculer V,,

la relation V, = -y^j que nous eussions pu écrire de suite

(109 et suivants), d'après les lois bien connues du mouvement uniformémeut accéléré ou relardé, et dont on conclura immédiatement aussi la valeur du coefficient du frottement

relative au cas du mouvement.

552 MÉCANIQUE INDUSTBIELLE.

Pour offrir une application numérique (*], nous supposerons qu*un traîneau, armé à sa surface inférieure de patins en âcier poli, soit lancé, toujours de manière à l'empêcher de tourner, sur la surface glacée d'un étang ou d'une rivière, avec une vitesse de quatre minutes par seconde, et nous nous demanderons : i"* le temps au bout duquel le mouvement de ce traîneau, abandonné à lui-même, s'arrêtera, en raison du frottement qu'il éprouve de la part' de la glace; 29 Tespace total qu'il aura parcouru. Nos tableaux ne contiennent aucune donnée relative à ce genre de frottement, mais nous admettrons, d'après les expériences de M. Rennie ( ** ), que son coefficient soit

(') Une méthode analogue peut être employée pour déterminer rintensité du frottement des tourillons sur les coussinets ; on en déduit un procédé expéditif que nous avons eu souvent occasion d'appliquer, pour déterminer la valeur relative de diver:* enduits. L'appareil se compose dVn volant ou d'un disque en fonte, de grand poids, dispose de manière à offrir peu de résistance à l'air et monté sur un arbre reposant sur deux coussinets; un compteur inscrit le nombre de tours effectués. On (graisse les coussinets, et l'on fait tourner Varbre jusqu'à ce que l'enduit se trouve dans les conditions normales; on débraye ensuite ; à un instant donné, on met le compteur en marche, et l'on

noie le temps T' écoulé depuis ce moment jusqu'à l'arrêt. Si N est le nombre

de tours effectué pendant ce temps, on trouve F = K =7^» K est une constante

qu'il est facile de déterminer pour chaque appareil, et dont la connaissance est du reste inutile quand il s'aj^il simplement de comparer divers enduits.

Lorsqu'il est possible de donner à l'arbre exactement les mêmes vitesses initiales dans les divers essais, on peut se dispenser do mesurer les temps ; on reconnaît facilement que les valeurs du frottement sont en raison inverse du nombre N de tours effectués. Ce second procédé est déjà indiqué dans le JHémoire cité de M. Hirn sur le$ frottements médiats,

Wous devons faire remarquer que, dans tout ce qui précède, nous avons admis, d'après Coulomb, que le frottement est indépendant de la vitesse. Dans les cas où cette indépendance n'existe pas {iH)rez la Note des pages 11 5, 116), les procédés décrits peuvent encore fournir des indications sur la valeur relative de divers enduits, mais ils ne permettent pas de déterminer les rapports exacts des frottements qui en résultent. (K.)

(**) Suivant ces mêmes expériences, faites à la température de a<*,25 centigrades au-dessous de zéro, le coefficient de ce frottement diminuerait, avec la pression, ainsi qu'il suit : pour des pressions de ol'S,^, 3 et 18 kilogrammes par centimètre carré, il serait respectivement o,o4; o,o3; 0,014. Pour la glace glissant sur de la glace, M. Rennie a trouvé, dans les mêmes circonstances, le coefficient du frottement égal à o,o3 et 0,02 pour des pressions respectives de o*'S,i5 et o''8,Go par centimètre carré. Le résultat des recherches de cet ingé- Hieur, se trouve consigné dans les Transactions philosophiques de la Société royale de Londres ^ pour l'année iSig.

réduit aux o,o4 environ de la pression, de sorte qu'on aura ici :/=o,o4, ¥, = 4°*; ce qui donnera^ en substituant cette valeur dans les formules, et attendu que §• = 9^,81 environ,

fg 0,04x9,81 ^'

£'== ^ rrrT'X—^ 10,194X2»»= 20»', 388,

c*esi-à-dire que la durée du mouvement serait de 10", 2, et l'espace parcouru 20"™, 4, à très-peu près.

Supposant qu'à l'inverse, on ait obtenu cette durée et cel espace d'afi^rès l'observation directe, on en eût déduit immédiatement les valeurs de/et de V,, ainsi que cela a été indiqué ci-dessus. On voit d'ailleurs, par les données de la Table du n® 357, que les résultats, auxquels on vient de parvenir, ofîrenl comme une sorte de limite par rapport à ceux qu'on obtiendrait pour d'autres corps que la glace, et cela donne une idée de l'exirême rapidité avec laquelle le frottement doit, dans les circonstances ordinaires, éteindre le mouvement à la surface de la terre; mais nous verrons, par la suite, que la résistance de l'air et des fluides, en général, est une autre cause qui contribue puissamment à la production de cet effet, surtout dans les premiers instants du mouvement et lorsque la vitesse est très-rapide.

Questions et formules concernant les pertes de force vive dues au frottement pendant le choc,