PRÉFACE

La première idée de ce petit Ouvrage remonte à environ trois années, A la fin de novembre 1877, j'^"^ rhonneur de soutenir devant la Faculté des Sciences de Paris une Thèse sur les applications mécaniques du Calcul des quaternions. La nature de mon Mémoire ne me permettait pas de présenter une exposition de la méthode elle-même, et, d'ailleurs, je considérais que la Théorie des quantités complexes de M. Hoûel contenait un développement suffisant des principes pour mettre le public mathématique à même d'en faire une étude complète.

Cependant on me fit remarquer et je dus reconnaître que le savant et remarquable Traité de M. Hoûel est trop étendu pour être lu par tout le monde (j'entends tous ceux qui s'intéressent aux Sciences mathématiques et qui les cultivent).

Plusieurs amis insistèrent près de moi sur l'utilité qu'il y aurait à publier, sous une forme très élémentaire et très sommaire, un exposé simple des éléments essentiels de la méthode des quaternions.

Je me mis à l'œuvre; mais je ne pouvais consacrer à mon travail que des instants de loisir arrachés à des occupations nombreuses, multiples et fort étrangères aux Mathématiques. Il n'est donc pas étonnant qu'une œuvre si modeste ait demandé en apparence un temps aussi

VI puéface.

long et que j'arrive seulement aujourd'hui à pouvoir

la présenter au public.

Ceux qui connaissent déjà le Calcul des quaternions ne doivent pas s'attendre ici à rien trouver de nouveau. Par contre, j'espère que les personnes étrangères à cette méthode et qui ont simplement une instruction mathématique ordinaire pourront acquérir, par une lecture un peu attentive de cette Introduction, une connaissance suflisante du calcul en question. Elles seront à même d'en faire ensuite des applications plus élevées ou d'aborder les Ouvrages des maîtres, qui leur fourniront les moyens de s'initier à la méthode des quaternions d'une manière complète.

J'ai pris comme modèle, sans le suivre cependant pas à pas, et en y introduisant les modifications qui m'ont paru justifiées, un Livre analogue publié à Londres en 1873, par MM, Kelland et Tait, sous le titre d^Introduction to quaternions. J'ai surtout emprunté à cette œuvre la plus grande partie des exercices traités ou proposés au lecteur.

Peut-être est-il utile de donner ici quelques idées très générales sur l'esprit et sur le but de la remarquable méthode d'Hamilton. Cela permettra au lecteur pour lequel le sujet est absolument nouveau d'en aborder l'étude avec une précision d'autant plus grande ; et cela me conduira moi-même à expliquer et à justifier le mode d'exposition auquel j'ai cru devoir m'arrêter.

La signification des signes -h et — , s'appliquant au sens des longueurs portées sur une ligne droite indéfinie, est une des créations les plus merveilleuses du génie de Descartes. C'est la base fondamentale de la Géométrie analytique. Mais, sans se préoccuper de la question des axes coordonnés, et en s'en tenant aux relations entre longueurs portées sur une seule droite, on s'aperçoit

PBÉFACE. VII

que tous les faits géométriques qui s^accomplissent sur cette droite trouvent ainsi leur traduction dans l'Algèbre des quantités positives et négatives.

On peut donc dire que le calcul de ces quantités, en mettant de côté tout ce qui concerne les imaginaires, c'est le calcul des faits géométriques sur une droite.

Cette première notion devait s'étendre.

Tout le monde sait aujourd'hui combien a été féconde au point de vue des résultats, en même temps que remarquable au point de vue philosophique, l'interprétation géométrique des imaginaires (la dernière à laquelle se soit arrêté Cauchy) ; cette intégration consiste à considérer x-i-j yf^^i OU x-i-ji comme représentant la droite qui part de l'origine pour aboutir au point dont les coordonnées sont x etj'-.

On commence à connaître aussi, même en France, la méthode si remarquable de Géométrie analytique plane due à M. G. Bellâvitis, et qu'on désigne sous le nom de Théorie des équipollences ,

Le calcul des équipollences, c'est-à-dire le calcul des quantités imaginaires, c'est le calcul des faits géométriques dans un plan.

Et comme les règles à appliquer sont précisément celles de l'Algèbre ordinaire, on voit avec quelle facilité se combinent, se transforment, se soumettent enfin à toutes les opérations les faits géométriques dont il s'agit.

Il était naturel, dès lors, que l'on cherchât, par voie de généralisation, à étendre aux faits géométriques de l'espace d'aussi intéressants résultats. Des tentatives diverses furent faites longtemps dans cet ordre d'idées ; mais il était réservé au génie d'HAMiLTOw de surmonter les grandes difficultés que présentait la question et de créer de toutes pièces une doctrine nouvelle, irréprochable au point de vue philosophique, féconde en ré-