VIII PRÉFACE

sultatSy et à laquelle il a donné le nom de Calcul des Qdatebniohs.

On peut dire, en résumé, que le Calcul des quaternions, c'est l'Algèbre des faits géométriques de l'espace.

Le premier élément à considérer, par analogie avec le plan, c'est la droite limitée qui, partant de l'origine, aboutit à un point quelconque, et que Ton représentera par un seul symbole. Comme deux droites, toujours par analogie, doivent être géométriquement égales (ou équipollentes) lorsqu'elles ont même longueur, même direction et même sens, on peut définir le symbole unique qui les représentera l'une ou l'autre par l'expression d'une translation. C'est à ce symbole qu'on donne le nom de vecteur, et les vecteurs sont la base fondamentale, l'élément essentiel et primordial de la méthode des quaternions.

Si l'on cherche à soumettre les vecteurs à l'addition ou à la soustraction, ou à les multiplier par des facteurs réels, l'analogie avec le plan se poursuit absolument, et les difficultés sont nulles.

Mais, dès qu'on arrive à la notion de multiplication, la question devient épineuse et délicate; il faut se donner une définition qui peut sembler plus ou moins arbitraire, et l'on s'aperçoit très bien qu'on n'est plus là sur le domaine des quantités imaginaires de l'Algèbre ordinaire. La considération du j apport géométrique de deux vecteurs (ou de la biradiale) fournit la solution de la question ; mais, en étudiant les biradiales, en les combinant entre elles, on arrive par la force des choses à reconnaître bien vite qu'il faut des règles nouvelles au nouveau calcul. Toutes les modifications qui se produisent dérivent d'un fait unique, dont l'importance est énorme : c'est que « la multiplication n'est plus commutative en général ». Toutes les autres propriétés de la