L. -- Quaternions

— aati —

C'est l'équation du lieu cherche, ellipsoïde concentrique au proposé.

87. (a), (|3), (y) sont trois ellipsoïdes homothétiques deux à deux; («) et (p) sont concentriques; (y) a son centre sur la surface de ( j3 ) . Les ellipsoïdes [v.) et [y] se couperont suiuant une courbe plane dont le plan est parallèle au plan tangent rt ( j3 ) mené par le centre de ( y ) .

Écrivons les équations des ellipsoïdes :

On a

J^AtAnz b.

Retranchant

(y) de (a), il vient

2ÔX<^A := b -T- a — c.

équation d'un plan normal à la direction * a, qui est précisément celle de la normale à ((3) en A. Donc, etc.

88. Deux ellipsoïdes semblables et semblablement placés sont coupés par un ellipsoïde variable, semblable aux deux premiers et semblablement placé^ de telle sorte que les plans d* intersection soient à angle droit. On demande le lieu du centre de l 'ellipsoïde variable.

Soient

les équations des deux ellipsoïdes donnés,

jSi(x — Z)<I>(X — z) --Z

celle de l'ellipsoïde sécant. Par soustraction, nous aurons les

deux plans d'intersection :

hBk^z = Sz^z -f- 1 — 3, 20x*(z - a)==j3z*z — 0A*A — « 4-^.

Le premier est normal à *z, Tautre à * (z — a). Pour que ces plans soient perpendiculaires entre eux, il faut donc

6*Z*(z — a)=:0 ou £î(z^-A)*'zrr:0.

Cette équation représente le lieu du point Z, qui est un ellipsoïde dont l'équation cartésienne serait

.r'j, .r'g, ar'j représentant les coordonnées de A.

Remarque. — Toute équation de la forme

Sx*(x 4- a) ^ o

représente une surface du second ordre à centre unique, car on peut récrire