L'équation en s correspondant à la fonction * est
s^ — /Tïj f ' -h m^s — m =z.o;
nous aurons, par conséquent, pour la direction de l'axe x, correspondant à la racine Si ,
d'où
si nous appelons ai la longueur du demi-axe suivant Xi. Mais de la formule (i) nous tirons
(3) ^'^x, = jx,.
Si donc nous cherchons la longueur i, du demi-axe de l'ellipsoïde
(4) 0x*-»x=i, dirigé suivant Xi, il viendra
I = 0Xi*-*Xi= - xj = — - 6*
(5) s, = ^bl
Ainsi les trois racines de l'équation en ^ représentent, en signe contraire, les carrés des demi-axes de l'ellipsoïde (4).
Si nous augmentons les trois racines de la même quantité h, les différences des carrés des axes de Tellipsoïde (4) lie seront pas altérées. Or l'équation en s s'obtiendra en transformant s en s -h h^ ce qui revient, dans l'équation cubique symbolique, à transformer* en * -f- /i, et, par conséquent, *~* devient
Il suit de là que l'équation
(6) $x{^-hh)-U = i
représente toutes les surfaces homofocales de l'ellipsoïde (4) lorsqu'on y fatil varier le paramètre Z^.
147. On peut déduire de là que deux surfaces homofocales du second ordre se coupent orthogonalement. Soit en effet une autre surface homofocale à (6) :
(7) ' Ôii[^-hh')-'x = i.
Si X est un point commun aux deux surfaces, les normales en ce point ont respectivement pour directions
N = (* -|-^)-^*x et k'— [♦ -h A')-*x.
De là
jSwx'nz 5x(*-f- /l)-*(* -h ^')-^X,
les fonctions (*4-/i)~*, (*-f- /*')""• étant conjuguées à elles-mêmes.
Or on a l'identité symbolique
Par conséquent, à cause des équations (6) et (7), il viendra
(8) 0NN' = ^y-^Sx[(* + /*')-»-(* + //)->]x = O,
à moins que h = N,
Donc, si les deux surfaces homofocales ne coïncident pas, elles se coupent orthogonalement.
Sections planes.
148. Soit un plan passant par le centre de la surface et perpendiculaire au vecteur a. La courbe d'intersection sera déterminée par le système des deux équations
(l) , 0X4»X=:I, 5aX =r o;
Si Ton veut en trouver les axes, il faut chercher les
directions qui rendent ^x maximum ou minimum^ c'està-dire qui donnent d^x = o ou
(2) $xdx=zO.
Or, en différentiant les équations (i), nous avons
(3) 0*xrfx=ro, 0A^Xr=O;
dx doit donc être normal à la fois à A, à *x et àx; donc ces trois directions sont coplanaires, ce qui donne
(4) $àX^\ =z o.
Il est d'ailleurs visible que Ax est un vecteur.
Il resterait à résoudre le système des équations (i) et (4).
La seconde équation (i) peut s'écrire
0A*-**X=:O ou 0*X*-*A=:O.
Ainsi *x est perpendiculaire à *""* A et à Ax. Donc *x est de la forme
Opérant par ^.xX, on trouve
I = zx'ÔA*"*^ a; delà
x'<l>Xz=:X — A
et enfin
(5) 0a(i — xH)-1a=:0.
Cette équation peut encore s'écrire
^^(♦-îi) ^=0-
Or, d'après les formules (la) et (i5) du n* 126, nous avons, en remplaçant dans la première de ces formules^"
en sorte que l'équation devient, sous forme ordinaire,
(6) //ix*6A4»~'A— x'5a(//Ij— <I>)a -h a'— o.
En la résolvant par rapport àx^, on obtient les carrés des demi-axes de la section. Le produit des racines est
''^''^-//lÔA^-U'
et par conséquent l'aire de la section, lorsqu'elle est elliptique, a pour valeur
Si les deux racines x|,xj sont égales, la section est circulaire.
149. Nous avons vu au n» 132 que la fonction *x peut se mettre sous la forme
<l»x=:/x+ mtî(r,4- «i3)x(ii — /ÎI3),
ou, si nous désignons par p, q les vecteurs - — =r^j
— aig —
L'équalion de toute surface du second ordre à centre unique peut donc s'écrire
(7) /x*H-Spxqx =1, ou encore (H4)
(8) i$Fx$q\-h (/— 6pq)x* = i.
Il est évident sous cette forme que les directions p et Q sont perpendiculaires aux sections circulaires, car, si nous coupons la surface, par exemple, par le plan 0PX = o, il nous reste
[/-6pq)x'z=i,
équation d'une sphère qui a même centre que la surface.
Génératrices rectilignes.
150. Soit toujours 0x*x = i l'équation de la surface. Si A est un point de la surface et qu'il y ait, passant par ce point, une génératrice rectiligne parallèle à b, l'équation doit être satisfaite pour tout vecteur A-hzB, quel que soit z.
Cela nous donne
SA*AH-2 36A<l»B-f- 3'jgiB*B = I,
c'est-à-dire
(l) SA*B=rO, Sb*B=i:0.
La première de ces équations est celle du plan diamétral conjugué à la direction a, la seconde celle du cône
— aao —
asymptoliqiie. L'intersection de ce cône par ce plan diamétral donne donc les directions des génératrices rectilignes passant en A.
Les équations (i) nous donnent
Opérant par 0p, puis par 5q, p et q étant deux vecteurs quelconques non coplanaires avec A,
(i) 6b(/*p -4- Uap) =0, 6b(j*q-|- Uaq) = o.
De là
0*a(j*P + tiAp)(7*Q -f- Uaq) = 0, OU
/?2J*J6ÎAPQ-4- jS*a(*pUaQ -f-UAP*Q) — 6A<frA0APQ = 0.
Or
tl(*p.llAQ)= qS(<I»p.a) — a6i*p.q],
t)(UAP.*Q) =Z — pS(<I»Q.a)H- Ae(*Q'.P),
et la somme de ces deux expressions est
q5(*p.a) — p0(*q.a) = qSp*a — p5q*a=:U(*aUpq).
Donc le coefficient du terme en j^ se réduit à
54>a4>aUpq = o,
et l'équation devient
mf^= 6a*a, d'où
/ôa4»a /i
Mais, d'après les équations (a), nous avons
MB— U(j*P-f-UAP)(/*Q-4-llAQ)
OU, par des transformations analogues aux précédentes,
équation qui, selon le signe de jy donnera Tune ou l'autre des deux génératrices ; mj^ est d'ailleurs toujours égal à 1.
Bpq est un vecteur quelconque, non perpendiculaire à A. Désignons-le par t, et il viendra
£<B=:*-*T — A0AT ±:i/ — tif*
V ni
= U(*A.DA*-lT;,±i/~»(*A.T).
Gela peut s'écrire encore
c'est-à-dire, en posant U<i>at = k,
Chacun de ces systèmes de valeurs de u et de j donne un des systèmes de génératrices rectilignes.
EXERCICES
80. Trouver sur un ellipsoïde un point tel que le plan tangent en ce point détache sur les trois axes des segments égaux à partir du centre.
Prenons les trois directions ij, ig, I3 suivant les axes, et soit/? le segment détache» L'équation du plan tangent, si x est le point
de contact, peut s*ëcrire
Elle doit être ve'rifiée pour y = /7ii, /^i,, pi^. Donc
/;6ll«X=:l,
ou, en coordonnées cartésiennes,
De même 9
'IL— -fi — ii — 1 — __ J-
81. Trouver la distance du centre de l* ellipsoïde à un plan tangent.
X étant le point de contact, le carré de cette distance sera donné par
fe)"
d'où
82. Z/ew t/ef5 points de contact des plans tangents faisant un angle donne avec l'un des axes.
Soit I3 la direction de Taxe considéré. Alors la quantité Sijtl^x =c est constante. De là
équation d'un cône qui peut s'écrire, en coordonnées cartésiennes.
— aa3 — Ce cône a pour axe I39 pour directrice une ellipse de demiaxes ^1 et a,, et son intersection avec Tellipsoîde donne le lieu demandé.
83. Lieu d'un point tel que la distance du centre à son plan polaire soit constante.
Soit T le point considéré ; Téquation de son plan polaire est
Sx*T = I.
La distance du centre à ce plan est ^ — • L'équation du lieu
cherché est donc
€*T=rconst.
ou
(*t)'= S(*T*t) =:J6t<I»*Tz=: COUSt.
C'est Téquation d'un ellipsoïde concentrique au premier; on peut l'écrire sous forme cartésienne
xj x\ .rj
-[• -t- -| -t- -| = const.
84. Si par un point pris à l 'intérieur d'un ellipsoïde on mène trois cordes rectangulaires^ la somme des inverses des produits de leurs segments sera constante.
Soient m le vecteur du point donné, a, b, c des vecteurs unitaires suivant les trois cordes. Nous devons avoir
6 (m -h jr A ) * (m + xa) = I .
Le produit des racines de cette équation du second degré en x
est
Bm^m — I
j5a<I»a L'inverse de ce produit est donc
~ Ba^a,
— 2a4 — et la somme des inverses sera
- (0A*A 4- 0B*B+ Sc*c).
La quantité entre parenthèses est constante, car soit un autre système orthogonal unitaire a', b', c', et
A'=«A-|-;3B-f-7C, b'=: «lA + piB -h 7iC,
c'ir^flCjA-hlSjB-hyjC.
Alors
et l'on a deux valeurs pareilles pour Sb'*b', j5c'*c', ce qui permet de vérifier par addition la propriété annoncée, car a*-f- aj -h a* =1 1, tous les vecteurs considérés étant unitaires.
CoBOLLAiRE. — La propriété subsiste non seulement lorsque le point M est fixe, mais même lorsque 0m* m — i reste constant, c'est-à-dire lorsque le point M se meut sur un ellipsoïde semblable au premier.-
85. Lieu du sommet d'un trièdre trlrectangie dont les trois arêtes sont tangentes à l* ellipsoïde.
Soient z le vecteur du sommet, a un vecteur unitaire suivant la direction d'une des tangentes et z -f- *a le vecteur du point de contact.
On a
5 (z -h .rA ) * f z -h .r A ). = I ,
et, pour que les deux valeurs de x coïncident, il faut
On a deux autres équations pareilles en b, c; les ajoutant toutes trois, en tenant compte de ce que a, b, c sont rectangu-
— a2D — laires et des résultats de Texercice i)iëcédent, on obtient
on
ce qui reprefsente un ellipsoïde concentrique à Tellipsoïde propose.
86. D*un point donné sur la surface d'un ellipsoïde on mène trois vecteurs rectangulaires jusqu'à la rencontre de la surface. Le plan des trois points de rencontre passe par un point fixe. Lieu de ce point.
Soient x le point donné; a, b,c trois directions unitaires rectangulaires. Alors
5x*x=^i, 5(x -î- /a)*(x4-/a) = 1, d*où
2ÔA*X
6a*x Les vecteurs des points de rencontre sont donc x — 2a . ^
et deux autres de forme pareille.
En formant l'équation du plan passant par ces trois points, on s'assure aisément qu'elle est vérifiée par le vecteur
a6a*x -I- bSb4>x -}-cSc*x 1^
6a4>a -1- ÔB*B -h i»c4»c m,
Delà
et, en substituant dans l'équation 6.v*x - i,
