I -1-3 = w(l -+-«'), «zn/iz', Z
— m{n — OA-hfî(m — i)b m — n De même,
Si nous posons maintenant
/=('w~/î)(/? — i), rf=(/i— /?)(/» — i), e=z{p — m)(n — i), il en résulte qu'on aura
et en même temps
— ,9 — Donc (13] les points D, £, F sont en ligne droite.
8. Si un quadrilatère Ai Bj B, A, [fig. g) est coupé par une sécante quelconque A3 Bj, les points de rencontre des dia-
Fig. 9-
gonales C3, Cj, Cj des trois quadrilatères ainsi formés sont en ligne droite.
Soient a, b deux vecteurs unitaires suivant AiA^, B^B, respectivement, et
OAitzzajA, 0Aj=a2A, OAa^ajA, OBi = biB, 0B2=b,B, OBj^bsB.
Pour trouver C3, nous écrirons
OC3=OAi-H^.AiB2=OBi-4-j-.BiA„
ou
C3 = aiA-har(b,B — ajAJ =biB -h/(a,A — biBJ
Delà
aj(l — .r) = a,j, bj(l — 7) =:b,Jr, ^:
bi(ai-"ai)
et
a^bi— aj|b,
aiat(bi— b,]A -h bib^fai — a,)B ^ aib, — a,b,
De même,
a,b, — ajb,
aja, (b,— b ,)A4-b>bi(a3-~ajB
asba-— ajbj
Posant u^:s=aL^hi{aihi — a,b,), "1= aibi(a,b, — ajb,), u,= asb2(a3b3 — aib^), on voit qu'on a à la fois
tt,Ci-f-ttiC,+ l/jC3=0,
ce qui démontre la propriété énoncée.
9. Le point d'intersection des médianes d'un triangle, le point d'intersection des hauteurs et le centre du cercle circonscrit sont sur une même droite, que le premier de ces p oints divise dans le rapport de i à 3.
Soient G, H, K [fig, 10) ces trois points respectifs. Posons Fig. 10.
CB = ak, CA = ^B. Alors (Exercice 2)
(1) CG = i(«A-^ÔB).
Pe plus,
AD= ^(cosC.A — b),
BE= «(cosC.B — a),
et, pour déterminer H, nous écrirons
H = 6b 4- jô(cosC.a — b) rnflA -+- ar«(cosC.B — a),
d'où
^ / N . ^ ^ — 6cosC o[i—x)=xacosC, a[i — xj=xbcosCf xa=: :-— — ,
(2) CE = ^^[{b ^ a cosC) IL -{- la - bcosC]B].
Enfin, en écrivant
CK = CF -4- M. AD = en- ('.BE, on trouverait, sans plus de peine,
(3) CK = ' ^ [ (a — ôcosCIa -h(b-^a cos€)b1.
' 1 sin* C
Des relations ( i ) , ( 2 ) , ( 3 ) on déduit
2CK-I-CH — 3CG = o,
ce qui montre que les trois points sont en ligne droite, puisque 2 -+- I — 3 = 0.
De plus, cette relation pouvant s'écrire
2(CR — CG) -4-CH — CG=ro ou
2GK + GH = o, 2KG = GH,
on voit que le point G est situé au tiers de la droite KH. Vecteurs moyens. — Points moyens.
15. Nous avons déjà remarqué (Exercice 2) que le vecteur du milieu de la droite AB est si a et b sont
les vecteurs de A et B respectivement, et que, a, b, c
étant les vecteurs de A, B, C, le vecteur du point de
rencontre des médianes du triangle ABC est ^ •
De même (Exercice 4), le milieu de la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère ABGD a pour
vecteur •
Généralisant cette notion, nous pouvons considérer n vecteurs
et chercher à interpréter la moyenne de ces vecteurs ou le vecteur mojen
A| H- Aj -4- . . . -4- A„ Ou = G = •
Il est presque évident, et nous ne nous arrêterons pas à le démontrer, que le point G obtenu de cette manière est le centre des moyennes distances de A^ , A2, . . . , A„, ou, plus simplement, le point mojen de ce système de points.
Ce point équivaut, comme Ton sait, au centre de gravité d'un système de poids égaux, placés en A|,
16. Une conséquence presque immédiate, c'est que /a somme de tous les vecteurs issus du point moyen et aboutissant aux points du système est nulle.
Car la relation ci-dessus peut s'écrire
(Ai— g) + (a2— g) -f-...-+-(A„— g)=:0,
c'est-à-dire
GAi -f- GAî-f- ...-+- GA„— o.
17. Soient trois systèmes de points, le premier formé des points ayant pour vecteurs a^, A2, . • . , A^, le second de B| , B2, . . . , B^, et le troisième de la réunion des deux premiers. Si g, h, k sont les vecteurs des points moyens respectifs de ces trois systèmes, nous aurons
Al 4- Aj -4- . . . -t- A^ Bt -4- B, 4- . . . -h B„ G= 5 nz= '-y
__^ A, + AjH- . . . -f- A„ -f- B, -I- B2 -h . . . -f- B^ no -f-/>H
Donc (13) le point R est sur la droite HG.
18. Si plusieurs poids différents pt, p^y * . ^ , pn sont placés aux points A^, A2, . . . , A„, il est facile de voir, en considérant d'abord deux points, puis trois, et ainsi de suite de proche en proche, que leur centre de gravité G aura pour vecteur
Il est évident par là que les conditions établies aux n*** 13 et 14 pour que trois points soient en ligne droite ou pour que quatre points soient dans un même plan reviennent à exprimer :
Que Tun quelconque des trois points est le centre de gravité de deux poids quelconques placés aux deux, autres points ;
Ou que l'un quelconque des quatre points est le centre de gravité de trois poids quelconques placés aux trois autres points.
EXERCICES
10. On joint les sommets d'an tétraèdre aux points de ren^ contre des médianes des faces opposées : ces quatre droites se coupent en un m^me point, qui divise chacune d'elles au quart.
Soient a, b, c, d les vecteurs des quatre sommets, Aj, b^, c^, i>| ceux des points de rencontre des médianes des faces. On aura
et le centre de gravité des quatre sommets aura pour vecteur
^A4-B4-C4-n A-f-3A, B-t-SBj C-f-3Ci D-t-3Di
B -hC
ce qui démontre l'énoncé du théorème et fait voir en même temps que le point G est le milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques.
On a aussi
c'est-à-dire que le point moyen des quatre sommets est le •même que celui des quatre points Ai, Bj, Cj, Dj. C'est, comme l'on sait, le centre de gravité du tétraèdre.
11. Sur les cotés successifs d'un polygone fermé Ai Aj . . . A^, [plan ou gauche) on porte des longueurs AjEj, AjBj, •.., A„B„ proportionnelles à ces cotés : démontrer que le point moyen des points B^, Bj, . . ., B^ est le même que celui des points A„ Aj, . . . , A„.
Soit, en effet,
A1A2 A2A3 A,jA|
Nous aurons
AiBi=:^.AiAs ou
Bi—Ai=^(As— Al), Bi=r: (l — /-JAj-h Aaj.
et, en ajoutant,
B1 + B2-4-. . .-f-B„=: Ai-+- AjW-. . .h- A„,
ce qui, en divisant par «, démontre le théorème.
c'est-à-dire De même,
