OB

port géométrique — - ou un rapport égal.

Si la biradiale rectangle AOB est unitaire, il en sera

(^) Ici, comme dans toute la suite, nous adopterons constamment comme sens des rotations positives celui d'un mouvement de Vest vers le nord, ou, en d'autres termes, d'un mouvement contraire à celui des aiguilles d'une montre.

de même du vecteur OB', et inversement. Donc, étant donné un vecteur unitaire, il représentera le rapport de deux vecteurs égaux en longueur, perpendiculaires entre eux, menés dans un plan perpendiculaire au vecteur unitaire, et tels que le sens de la rotation du vecteur initial au vecteur final soit positif.

Multiplication des biradiales.

24. Deux biradiales étant données, on peut toujours les amener à une position telle que le vecteur final de la première soit identique au rayon initial de la seconde.

Soient donc AOB, BOG ces deux biradiales. Nous dirons, par définition, que le produit de la première par la seconde est égal à la biradiale AOC, et nous écrirons

AOB.BOCrr:A(

ou encore

OB oc oc OA 0B~"0A

OC Il suit de là que le module gr — du produit de deux

biradiales est égal au produit des modules des deux facteurs. Cette simple remarque nous permettra souvent, dans les démonstrations, de raisonner sur des biradiales unitaires, puisqu'il sera toujours facile de restituer aux résultats les valeurs de leurs modules.

En supposant, par exemple, que AOB, BOG soient des biradiales unitaires, les points A, B, G sont sur une même sphère, et nous voyons que la construction du produit AOG revient à ce qu'on peut appeler Y addition des arcs de grand cercle AB, BG, ce mot « addition » étant compris dans un sens analogue à celui de l'addi-

lion des vecteurs sur un plan. Mais, pour effectuer cette addition sphénque, il faut toujours transporter les arcs sur leurs cercles respectifs, de manière que l'origine du second coïncide avec l'extrémité du premier. Si donc [fig* i4) nous avions voulu ajouter BC et AB, il aurait

Fig. i4.

fallu construire DB = BC, puis BE = AB, et le résultat de l'addition eût été DE. Comme, en général, DE est fort différent de AC, on voit que l'addition sphérique n'est pas commutative, ou, en d'autres termes, que la multiplication des biradiales n'est pas commutative non plus. De cette diff'érence avec la multiplication ordinaire résultent toutes les règles spéciales à l'Algèbre des quaternions.

Dans tout ce qui suivra, nous écrirons constamment le multiplicande d'abord et le multiplicateur ensuite.