L ELLIPSE

fquations de l'ellipse.

88. Supposons que Tellipse soît définie comme le lieu des points tels que le rapport de leurs distances à un point fixe F {fig. 24) et à une droite fixe DE soit égal à une constante e, e étant plus petit que i .

Fig. 34.

Alors, en appelant b le vecteur FD perpendiculaire à DE, nous aurons pour équation de la courbe (Ex. 24)

B*X« = e*(B*-J5BX)S

équation qu'il serait d'ailleurs bien facile d'établir directement.

Cherchons les points où l'ellipse coupe la droite FD.

Pour cela, remplaçons x par xb ; cela nous donnera

d'où

Ces deux valeurs sont Tune positive, l'autre négative , puisque e <^ i , et, par suite, les points cherchés A et A' sont de part et d'autre de F. Ainsi

FA — —^ FD, FA' =z ^ FD.

De là, en appelant O le milieu de A'A,

e* ar OF e

OF = -^FD, A'A:z= jFD, 777=--'

ou encore, en posant tAA'= aa^

En posant

OF = F, OA=zA, OX— x',

les relations précédentes donnent

I — e- On a, en outre,

Si l'on porte dans l'équation (i) les valeurs de b et de x résultant de ces relations, on trouve, après des réductions très faciles.

C'est, en supprimant l'accent et prenant OX comme

vecteur courant, Téquation de Tellipse rapportée au centre comme origine.

Nous pouvons aussi trouver directement cette équation en partant de la propriété des deux foyers

Remplaçant en effet OX par x et posant toujours OF = — 0F'= F, c^te relation nous donnera

On en tire, en isolant d'abord le premier radical,

a] 4- 6rx=r «1^^ — (x — f)*,

puis, en élevant au carré, réduisant et tenant toujours compte du module de f,