L. — Quaternions, o

- ii4-

Par conséquent, la différentielle peut s'écrire

c'est-à-dire, en posant P = po -h Pt^i -h ptU-h pzUf

d/=SPdX.

P est ce qu'on peut appeler la dérivée quaternion Je la fonction réelle /.

Si l'on avait une fonction réelle de plusieurs quaternions f{X, J^, Z, . . . ), on verrait sans peine, en faisant varier X, 1% Z, . . . successivement, qu'on a

df— ^PdX '\- i^QdY + f^RdZ -{-

P, Qy /?,... sont les dérivées partielles de la fonction réelle^par rapport aux quaternion s X, J", Z, . . . .

Il est clair que les mêmes conclusions subsistent si les variables indépendantes sont des vecteurs x, y, z,.-? et non plus des quaternions. Seulement ^/xo disparait, de même que d^f e\ poi dans le calcul ci-dessus, de sorte que les dérivées P, Ç, . . . se réduisent elles-mêmes à des vecteurs et qu'on a, pour

d/=z 6^dx -h ^qdY H- 0R^z -h . . . .

Dans les applications, l'usage de ces dérivées partielles géométriques est souvent très avantageux.

Définition de Topérateur v.

86. Hamilton a représenté par le symbole V l'opération complexe i« - — h i j f- 13 -j— s'appliquant à une

dx^ {tx^ ^«^3

— ii5 fonction d'un vecteur, c'est-à-dire que, posant

X = x,i, -4- Xjij-t- j:,i„ nous aurons

Supposons qu'il s'agisse d'une fonction réelle. L'expression vy^(^) se réduira à un vecteur, et, comme

nous aurons aussi

Supposons maintenant qu'on ait écrit /(x) = const.,

équation qui représente évidemment une surface. Nous tirons de là

et par conséquent

V/(x) représente donc un vecteur dirigé suivant la normale au point correspondant de la surface, puisqu'il est perpendiculaire à dx.

Il est facile de reconnaître, si l'on considère deux surfaces de la même famille obtenues en faisant varier la constante, que le module de Vf{^) est inversement proportionnel à la distance normale de deux surfaces infiniment voisines.

— ii6 -

Ditférentiation des fonctiomt impHoitei .

87. Si Ton donne une relation y ( A', V) = o, on en peut tirer, en écrivant

une équation qui contiendra dX et rfi'. Le premier membre sera une fonction linéaire et homogène de ces deux différentielles. On est ainsi ramené à une autre {(uestion (celle de la résolution des équations) dont nous parlerons sans doute un peu plus tard, mais qui est m général assez compliquée. Dans un grand nombre d'applications, les calculs peuvent se simplifier, du reste, dans une proportion considérable.

EXERaCES PROPOSÉS SUR LE CHAPITRE V.

Établir les formules suivantes :