La relation précédente donne

et, si nous supposons que p soit un demi-diamètre, nous voyons que q représentera le diamètre qui partage également les cordes parallèles à p ; ainsi, les deux direc-

lions de p et de q sont complètement réciproques : ce sont celles de deux diamètres conjugués.

On vérifie que les directions de deux cordes supplémentaires sont conjuguées, car soient a le vecteur d'un point de la courbe, b un demi-diamètre quelconque, les deux cordes supplémentaires seront représentées par A — B, A 4- B. Or

puisque a et b sont les vecteurs de points sur la courbe.

96. L'équation de l'ellipse rapportée à deux diamètres conjugués se déduit immédiatement des propriétés précédentes. En effet, soient p et q les deux demi-diamètres, etxziiiMP-f-^'Q le vecteur d'un point de la courbe. Il viendra

ou, en tenant compte des propriétés de p et q,

tt'j5p*P -f- t^'^Q^Qzr: I,

c'est-à-dire

Théorèmes d'Apollonius.

97. En vertu de la relation (i6), la relation entre deux diamètres conjugués peut s'écrire

j5pT«q==o ou SYpTq=:o.

Ces deux fonctions Tp, Tq représentent donc deux vecteurs rectangulaires.

Cela posé, on a, d'après la formule (17),

F = Y-* Yp = — (ûiii^ii^Fp -\- fl,I,6l,Yp),

— ia8 — Mais Yp, yq (92) sont des vecteurs unitaires. On peut donc les écrire sous la forme

Tp = i, cosô-h i,sin9, Tq = ~ ij sinG -h i^cosô,

de sorte que p et q deviennent

p= i7,i|Cos9 +<isi|SinO, Q = — «iii sinÔ -h asijCOsO.

Delà

(20) P«-f-Q'=r —(a\ -f-flj),

(21) bpQ— -ûîjûjij,

13 représentant le vecteur — 1 1 12 perpendiculaire au plan de la figure.

Ces deux relations (20) et (21) expriment évidemment les deux théorèmes d'Apollonius.

EXERCICES