FA =^ -— FD, FA' = — ^ FD
Alors, O étant le centre,
10 = ^ FD, A A' =r --?^ FD, AA 2
a:oF==ea,.
Posant OF = f, OA ~ a,
et de là on déduit l'équation, rapportée au centre pris pour origine,
(a) «îx*4- (0Fx)*zrr£rJ(tf»-i),
équation qui se" tirerait aussi de la propriété des fojers et qu'on peut transformer en écrivant
ce qui donne
La fonction * est identique de forme avec celle que nous avons introduite au n° 89. Elle possède les mêmes propriétés. Seulement, comme e^ i, on ne peut plus poser «2 =^ ^< V * — ^'» mais bien a^ = ai s/e^ — i . Alors
si
X r=: JTiIi ~f «^f l2«
L'équation (4) n'est donc autre que
flf al
forme cartésienne ordinaire.
— i35 — Nous avons les relations
\ai ai J al «|
,-. ^, X, .r, /i.di.x i«di,x\
(7) 4>-^x = — (^i^îii— Jrj^ii^j)::^ «î II S II X — A^it^ijx;
mais nous ne pouvons plus introduire, comme pour l'ellipse, une fonction vectorielle T telle que T^x = — «x, et, par conséquent, il est impossible de donner à Téqualion de Th^perbole la forme (18) du n® 92.
Tangente à l'hyperbole.
99. Comme pour l'ellipse, nous verrions que *x est •un vecleur normal à la courbe en X et que l'équation de "la tangente en ce point est
(8) Sy*x =F ^X*Y m I.
Cette même équation, en y considérant au contraire y comme donné et x comme vecteur courant, représente la polaire du point Y, laquelle est perpendiculaire à4>Y.
Diamètres. — Hyperbole conjuguée. — Asymptotes.
100. Comme au n° 94, nous verrions que le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction q est une droite passant par le centre et de telle direction p que l'on ait
Les deux directions p, q sont dites conjuguées.
Mais ici il se produit une différence capitale avec l'el-
llpse: c'est qu'une droite de direction quelconque, issue du centre, ne rencontre pas nécessairement la courbe.
En effet, au Chapitre précédent, nous avions toujours, quel que fût x, Sx«x]> o, en raison même de la formation de la fonction 4», et, dès lors, il suffisait de disposer du module de x pour tomber sur un point de la courbe. Ici, au contraire, en partant de la formule (5), on voit que Sx*x ne sera positif que pour des directions de x comprises entre les deux limites a^ li ± ^212- Ainsi, il y aura des diamètres rencontrant la courbe et d'autres ne la rencontrant pas, ou, comme on le dit par abréviation, des diamètres réels et imaginaires.
On reconnaît sans peine que, si l'une des deux directions conjuguées p et q de la relation (9) ci-dessus est réelle, l'autre est imaginaire, et réciproquement. Par conséquent, les extrémités de deux diamètres conjugués serait une expression dénuée de sens, si l'on ne pouvait lui en donner un par l'introduclion de l'hyperbole ayant pour équation
àn^Jvyperbole conjuguée de celle qui a pour équation (4). L'hyperbole conjuguée a pour diamètres réels les diamètres imaginaires de l'autre, et réciproquement. L'équation
(11) £ix*Xz=i0
représente l'ensemble des deux droites issues du centre et fixant les directions limites, c'est-à-dire des deux asymptotes.
Avec l'hyperbole conjuguée, considérée comme complétant la courbe, les propriétés des diamètres de l'ellipse, démontrées aux n**' 94 et suivants, subsistent intégralement.
101 . Soient u et v deux vecteurs unitaires suivant les asymptotes. Posons x = uu -h i^v. Alors l'équation (4) devient
tt'ÔU*U -i- i'*Sv*V -h 2«c5u*v = I
ou, les deux premiers termes disparaissant^ en vertu de Téquation (11),
Nous pbtenons donc ainsi l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes.
Il est facile de reconnaître que la constante k^ a pour
valeur — î— 7 — -'
' 102. La tangente en X.a pour équation
Si nous cherchons son intersection avec le système des asymptotes (11), nous remplacerons y par x -f- -st, t désignant un vecteur suivant la tangente, et nous aurons
. J5(xr+- Zt)*(x-4- 3t)' = ou ï -h S*^T*T =z O.
Cette équation donnant pour z deux valeurs égales et de signes contraires, nous voyons que la tangente, limitée aux deux asymptotes, a pourpoint milieu le point de contact.
Si P est le milieu d'une corde qui coupe la courbe en X, X' et les asymptotes en Y, Y', soit q un vecteur unitaire suivant cette corde. Alors, posant PX = a?Q, PY=j Q, on a, en exprimant que X est sur la courbe et Y sur les asymptotes,
Sp*p H- x'5q*q =: I ,
ÔP*P -4-J*J5Q*Qr=:0,
— i38 — d'où
c'est-à-dire que le produit des deux segments de la corde, formés par les deux asymptotes et la courbe, reste constant lorsque cette corde se déplace parallèlement à ellemême.
Théorèmes d'Apollonius.
103. p et Q représentant deux demi-diamètres conjugués, le premier réel, le second imaginaire, nous pouvons mettre le premier sous la forme a^Utit -h a^Uoi^j 1^ second sous la forme a^^^J^ -h ^2(^112- Exprimant alors qu'on a
j8p*p 111:1, 6q*q= — I et* Sp*q=io,
nous trouvons
u]-~ul=:i. ('J-rJz=i, i/jri=wj,;j,
relations auxquelles on satisfait en posant u^ = ^'^ = ChO, «2= i^i = Sh6. Alors
p — //jiiCh^-i^jijShô, Delà
(l3) P«--Q*ZZ.-(«Î-^|],
(i4) IPpqi=: — ajé^alâ^
relations qui expriment les deux théorèmes d'Apollonius.
On reconnaît en outre, intuitivement pour ainsi dire, que le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués a ses sommets sur les asymptotes, car
— i39 — Les diagonales de ce parallélogramme sont donc dirigées suivant les asymptotes, et les cordes joignant les extrémités de deux diamètres conjugués sont parallèles aux asymptotes, ce qu'on reconnaît d'ailleurs directement en vérifiant qu'on a
Forme vectorielle des équations.
104. Aussi bien pour l'hyperbole que pour l'ellipse, on peut représenter la courbe et rechercher ses propriétés au moyen d'équations vectorielles offrant une concordance complète avec celles de la Géométrie analytique ordinaire.
Ainsi, l'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes pourra s'écrire
{i5) \=aiUiii-\- a^u^i^,
avec la condition ii^^ — ii?^= i, ou, ce qui revient au même,
x==: «iiiChÔ H- /ZjijShe,
ou encore, en posant a4 1 1 =;= a <, «î ' 2 = Aj,
(16) X — AiCh6-f-A2Sh6.
Cette forme (16) convient encore à l'hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués quelconques a i et Aj, même lorsqu'ils ne sont pas rectangulaires. L'hyperbole conjuguée a pour équation
(17) xi=AiShÇ-l- AaChô.
Revenons maintenant à l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes (101). Si a, b sont deux vec-
leurs unitaires suivant les asymptotes, l'équation sera
Xz= WA H- l'B,
avec la condition ui> = A- = -^—, — - > ou
