XX

yy=

par conséquent,

xx' QP.OF Se*e

rapport indépendant du point C.

Si D = OD [fi^, 27 ), on a

DKr= — b'*d et «D^— -,

6d*d =r -^ S(OD.KD) --= — -^sin*(?.

De même

si e représente Tinclinaison de e sur Taxe de la parabole, et, par

Fig. 37.

conséquent, le rapport ci-dessus a pourvaleur-r-Y

sin*^

61. Trouver le lieu des points qui divisent un système de cordes parallèles d'une parabole de telle sorte que le produit des deux segments soit constant.

Le calcul de rexercice précédent nous montre immédiatement

que rëquation du lieu cherché sera

c étant le vecteur courant; C'est évidemment aussi une parabole.

62. Du sommet Â. d* une parabole [fig* 26] on abaisse une perpendiculaire sur la tangente en X, et on la prolonge jusqu'à sa rencontre en R avec la parallèle XE à l 'axe. Trouver le lieu du point R.

On a

AR =: ar(*x -f- b"*), XR = jb.

Donc, A étant égal à - ?

R =1 - ~h vC(*X -+- B"' ) = X -4- JB.

Opérant par txX> puis prenant les parties réelles, il reste, si l*on remarque que b est perpendiculaire à *x,

a:(*x)*=r: SX*XI=:B«(*X)S

comme on l'a vu plus haut (105). Donc .r r= b*, et B 3

R = - -f- B*(*X -f- B-M =-BH- B^*X 2 ^ ' 1

sera Téquation vectorielle du lieu, qui est évidemment un e droite parallèle à la directrice.

63. Déterminer la podaire de la parabole par rapport au sommet pris pour pôle,

Y représentant le point du lieu situé sur la tangente en X, nous avons, en exprimant: i*' que AY est parallèle à la normale ; 2° que Y est sûr la tangente ; 3^ que X est sur la parabole ;

— i56 — les trois équations

(3) Sx(*x-4-2B-*) = i.

Opérons saccessivement sur ( i ) par . ^ x X, puis par . b X :

Substituant la valeur de 5 y 4» x dans (2) et remplaçant dx^x par b'(*x)* dans (3), ces équations deviennent

j:(*x)*-h SB->Y-f-SB-*x = i,

B*(*x)*-f- 20B-*x = i ; de là

{2.r — B*)(*x)*-+- 20B-*Y =: l OU

Actuellement, posons y = z; l'équation (1) nous donne

*x = B-^ d'où, remettant pour x sa valeur 0bz,

(2SBZ— b')[z*H- (0Bz)*B-* — 20BZ0B-*z]

-f- 2(0Bz)*J8iB-*Z = O,

équation qui se réduit à

2Z*0BZ — B*Z*-|- (6bz)*=zO.

C'est l'équation de la podaire cherchée, rapportée au sommet A comme origine. Il est assez facile de reconnaître que ce lieu est une cissoïde, qu'on peut construire au moyen du cercle de diamètre AD.

Autrement y au moyen des équations vectorielles, nous avons, en appelant Z le point de la podaire et X le point de contact,

Exprimant qu'on a z — x||f a + b, puis Sz (z — x) == o, on a

= «l — ^ 2l ( ^1 "~ ~ ) "^ 2,(22— = Oi

et il suffit d'éliminer / entre ces deux équations pour obtenir l'équation de la podaire en coordonnées ordinaires.

64. Soient AP, AQ deux cordes rectangulaires d'une parabole, issues du sommet; PM, QN les ordonnées de V et Q, abaissées perpendiculairement sur l'axe. Démontrer çue le paramètre 4/> de la courbe est moyen proportionnel entre AM et AN, et aussi entre PM et QN.

Soient x^^ x^ les coordonnées de P, y^Xi celles de Q; on a et

en comptant les coordonnées comme positives; alors 0pq r= o nous donne

et aussi

^'■^-î — 1 — 0, :rj j, = i6/?S