Dans la construction de l'exercice précédent , on com

— i58 — plète le rectangle construit sur AP, AQ. On demande de déter-miner le lieu du sommet R opposé à A.

On a

B = F -+- Q = S I| -f- (*t — Jî) I|

, puisque Xjj-j^ i6/?*,

Le lieu est donc une parabole égale à la parabole donnée.

66. Démontrer que le cercle décrit sur une corde focale comme diamètre touche la directrice et qu'un cercle décrit sur toute autre corde ne rencontre pas la directrice.

Si deux points

sont situés sur la parabole, on a

p H Q =1 — ii;

donc — ~T~^ représente Tabscisse du point où la corde coupe

l'axe; si c'est une corde focale, nous aurons •'Kiy\-\- ^p^=^ o. Cela posé, l'équation de la circonférence de diamètre PQ est

celle de la directrice,

\ = — pii -4- zi^.

— i59 — Donc,

et il faut

fé-^'')(?l^'')^^-^'-'^^^'-''='

équation manifestement impossible, sauf dans le cas où x^f2 -^ ^p^ = o, et alors, les deux racines étant égales, la circonférence touche la directrice.

67. Deux paraboles ont même axe et même foyer; leurs sommets sont de part et d'autre du foyer; une corde focale les coupe en PQ, P' Q', de telle sorte que les points se succèdent dans l * ordre P, P' , F, Q, Q' . Démenti er : i « que FP . FP' == FQ . FQ' ;

FP 2° que -—-j est constant; 3° que les tangentes en P, P', Q, Q' FQ

forment un rectangle»

L'équation vectorielle d'une parabole, rapportée au foyer comme origine, est (108)

Coupons-la par la corde focale de direction K = ijcosô -f ijsind;

— i6o — nous aurons

zcosô = T^— /?, t$in9=:jr^t d'où

Les deux racines — -% ^» prises en valeur

I — cosO I -f- cos© ^

absolue, seront les modules de FP, FQ, et l'on aura FP', FQ'

en chaugeant j9 en — p'.

Les valeurs de z répondant à FP, FQ, FP', FQ' sont

2/? — 2y» ip' — a/>'

I — COSÔ I -h COSÔ I H- COSÔ I — cosô

Par conséquent :

/ 4pp'

,o FP.FP'=:rFQ.FQ'=-^, ^ ^ sin* 6

^ FP FQ p

^'^ FQ^ "" FQ^ "" P*

La direction de la tangente est donnée par

^, zsirtO

— ii-l-ij ou ii+i^.

2/? ip

D'après cela, les directions des tangentes en P, Q, P', Q' seront respectivement

sind

— sme

'l-^'2» •—r^ZTc^l'^hy

1 — COSÔ I -hcosô

— sin 9 sîn S

i + cosô'*"^'^' ,-cosô'*'^"'^' ce qui démontre la troisième partie de la proposition.