Dans la formule (i4)> remplaçons a par Iîad. 11 viendra
(19) ({(UadUbc) = cJ$ADB — B0ADC.
De là, par un simple changement de lettres,
\} [IIbcUad] l^ D^BCA — A^BCD,
et, en ajoutant avec (12),
o6bca — aôbcd — B0ADC + c6adb = 0, relation à laquelle on peut donner Tune des deux formes
( a6bCD — b6aCD + C$ARD — Di^ABC = o,
^ ' { aSiBCO — dSaBC 4- cSdAB — B0CDA = O.
— i^9 — En remplaçant d par x, cette relation peut encore s'écrire
(21) X0ABC = A^BCX -i- B0CAX -h C0ABX.
Sous celte forme, elle est d'une grande utilité, car elle fournit, comme on le voit, le moyen de décomposer un vecteur quelconque x suivant les directions des trois vecteurs A, B, c.
C'est en quelque sorte l'établissement d'un système de coordonnées arbitraires ; et en partant de là, il serait facile de trouver les formules habituelles de transformation d'un système à un autre.
Si cependant A, b, c étaient coplanaires, la relation (21) ne donnerait plus la décomposition indiquée, le premier membre se réduisant à zéro; et en supposant quex. A, . B, c soient coplanaires, chacun des termes de la relation (21) s'évanouirait séparément.
114-. Les trois vecteurs tlsc, lIcA, Uab ne sont pas coplanaires en général. Nous pourrons donc ordinairement décomposer suivant ces trois directions un vecteur quelconque. C'est ce que nous allons essayer de faire, et cela nous fournira en même temps de nouvelles relations sur les produits dans lesquels entrent quatre vecteurs en général.
Écrivons donc
Xz=:aUBc4- jSUcA -4- yi^AB.
Si nous opérons par 6. a X, il viendra évidemment
0AX =a5At>BC = a0ABC,
et nous aurons deux relations analogues en (3, 7.
Substituant ces expressions de a, [3, y, dans la va-
leur de Xy
{12) X$ABC=1IbC$AX+ tlcA$BX-h tiABdcX.
Si nous remplaçons dans celle formule x par d, puis si nous eifecluons des pcrmulalions circulaires successives en ire les lellres a, b^c, d, nous aurons, par addition ,
( a5bCD+ BJ$CI>A + C^DAB + D0ABC ' i r=:2(bABScD -r- llBcSDA-i- ticD^AB-f- tÏDASBc).
Donnons encore, sans plus de délails, les formules ci-dessous, qui résullent iipmédialemenl des précédenles,
( ÔABCD=:: 5(a6bG — B^AC -|- cSab) D
/ i=:SabScd — SAC0BD-+- SaD0BC,
/ 6(lÎAB.t>CD) = 6(ab — 6ab)(cd — 6cn)
(25) I =0ABCD SabÔCD
= 5aD$BC — dAC0BD.
Produits de plusieurs vecteurs.
H5. Reprenons la formule du n^ 48,
CJ(aB. . .Gh) =: [ l)'*HO. . .BA.
On peut l'écrire
J5aB. . .gh — t)AR. . .GH = ( — ij^HG. . . BA .
Si nous la combinons avec Tidentilé
5aB. . ,GH 4- UaB. . .GH = AB. . .GH,
il viendra, d'une manière générale,
( 26AB. . .GH = AB. . .GH-4- (— i)"HG. . .BA, ( 2IJAB. . .GH=: \B. . .GH— (— Il'^HO. . .BA.
De là encore
(27) 5aB. . .GH r= ( — IJ^ShC. . .BA,
{28) bAB. . .GH =r — (— i)«1)hG. . .BA.
Plusieurs des relations précédemment obtenues ne sont que des cas particuliers de celles-ci.
Rotations.
H6. Si on fait tourner d'un angle quelconque 2 a, autour d'un axe a, un vecteur i\i parallèle à cet axe, il ne subira aucune modification. En le désignant par r, après la rotation, on a donc
et on peut écrire, par exemple.
puisque Ri est parallèle à a.
Si on impose la même rotation au vecteur iij perpendiculaire à A, ce vecteur deviendra évidemment
Cette expression peut aussi s'écrire
r'^ =1. A~"R2A*= (cOSa — A sina)RjA*r=i COSaRjA* — sinaARjA* zii R2(cosa H- A sina) A"rr: R2A'*,
car AÏI2 = — BsA, les deux vecteurs étant perpendiculaires (38).
On voit donc qu'un vecteur r quelconque, pouvant se décomposer en Ri et 1127 sera représenté après la rotation par
(29) r' =A-*RA*— ^-^ R^,
si nous désignons par ylle verseur a*, ou même un quaternion de même axe et de même argument.
Si nous soumettons à la même opération, non plus un vecteur r, mais une biradiale représentée parle quaternion Jiy il est visible que
représentera ce qu'est devenue la biradiale Ji après la rotation.
C'est dans ce sens, d'une manière générale, que nous pouvons considérer l'opération ^~*{ )^ comme représentant une rotation, quelle que soit l'expression géométrique qui figure dans les parenthèses.
117. Si à une rotation a*' en succède une aulre b-^ puis une troisième et ainsi de suite, la résultante sera évidemment
si nous posons ABC. . . = Ç.
On voit ainsi que la composition des rotations se traduit par une multiplication de biradiales et que Tordre des rotations influe sur le résultat.
Pour des rotations infiniment petites, a* peut s'écrire I -H A a en négligeant les infiniment petits d'ordres supérieurs. La rotation résultante de plusieurs rotations est donc, avec la même approximation,
[l -f- Aa)(l -+- B.3) . . . — H- ASC -+- B,3 -i- . . .,
si bien que l'axe de cette résultante se trouve représenté en grandeur et direction par Aa -f- b(5 H- . . . .
Nous bornerons là ces notions très sommaires, qui présentent surtout un grand intérêt dans les applications mécaniques.
EXERCICES
C9. Trouver la condition pour que les hauteurs d'un tétraèdre se rencontrent.
Soit OABC le tétraèdre (OA =a, OB = b, OC = c). Les hauteurs issues de A et de B peuvent s'exprimer, en direction, par Ubg, iJcA. Si elles se rencontrent, les trois vecteurs b — a, tJ BC, tl CA seront coplanaires. Donc
J5(b — A)lÎBclJcA=rO,
c'est-à-dire
5(B-A)U(bBC Uca)=zo; or
l)(t>BC.l)cA) =— c s bca[ formule (17)], et par conséquent la condition devient
5bc = Sac, (c — b]* — b' — c'r= (c — a)* — a*— c*,
(c~B)'-f-A«=:i(c--A)»-hB«,
ou enfin
gr«BC 4- gr«OA = gr*AC -*- gr'OB,
ce qui exprime que la somme des carrés de chaque couple d'arêtes opposées est la même. Cette condition est nécessaire et suffisante.
70. Si deux tctraèdi-es ABCD, A'B'C'D' sont tels que les droites kk\ BB', CC, DD' concourent en un même point 0, les intersections des plans des faces correspondantes sont situées dans un même plan.
Posons
OA = A, OB — B, ... et OA'zrr-î-A, OB'ur^B,
— i74 — Le plan ABC est (60) perpendiculaire au vecteur
L=lJAB-hUBC-+-lîCA.
De même A' B' C est perpendiculaire ù ou à
M = 7 t> AB -f- ail BC -f- i^U CA.
L'intersection des plans ABC, A' B' C est donc parallèle au vecteur \) lm, c'est-à-dire [formule ( 1 7)], si on néglige un facteur réel, à
ii'= (3 — yJA -f- (7 — (AB -+- , a — pjc.
On a de même, par permutations tournantes des lettres, trois vecteurs a', b', c', parallèles aux intersections des autres faces, et Ton vérifie sans peine que
Sx'n'c'z=zSB'c'D' = ,,.=zo,
ce qui montre bien que les quatre vecteurs a', b', c', d' sontcoplanaires, c'est-à-dire que les intersections sont elles-mêmes dans un seul plan.
71. Soient 0, A, B, C, D, E si jc points quelconques ; ^ay^b^ • • • les volumes des tétraèdres BCDE, CDËA, . . . en grandeurs et en signes; OA', OB', OC, . . . les projections de OA, OB, OC, . . . sur une direction /Lee quelconque OX. Démontrer qu'on a
Formons la quantité
a0(BC.BD.BE) = a6(c-b)(d-b)(e-b). ' Elle se réduit à
a6(cDK — DEB -h EBC — BCd).
— 17^ — Si nous farinons les quatre quantités analogues et si nous «i joutons, nous voyons, en tenant compte de la formule (20), que la somme s'annule. Donc, à un facteur constant près,
Si K est un vecteur unitaire suivant OX, il nous suffit d'opérer par ^ . K X pour que la relation précédente nous donne l'égalité en démonstration.
72. Ou donne trois plans et V orientation du quatrième; déterminer l'équation de ce dernier plan de telle manière que les quatre plans se rencontrent en un même point.
Soient
les équations des trois premiers plans, x le vecteur du point d'intersection commun ; d un vecteur de longueur quelconque, perpendiculaire au quatrième plan. Alors, l'équation de ce dernier plan est de la forme .0dx = d. Mais, en vertu de la formule (22) et des équations des trois premiers plans, nous avons
X0ABC == «IJbC -f- èbcA 4- cIJaB.
Opérant par 5i.dX, en tenant compte de la quatrième équa tion,
dBABc = aSncD -h bBcxo -{- cSabd,
Cette relation donne la valeur de d, et par conséquent l'cquation cherchée.
73. SI l'on représente les aires des faces d'un tétraèdre par des vecteurs perpendiculaires à ces faces et dirigés tous vers Vextérieur ou tous vers l'intérieur y la somme de tous ces vecteurs est nulle.
Soient a, b, c, d les vecteurs des quatre sommets. Les vecteurs représentant les faces ABC, CBD, DBA, ACD seront, au
facteur | près, Iî(a — b) ( c — b), ... et, en développant ces expressions, on voit immédiatement que la somme est nulle.
Corollaire. — Il en est de même pour un polyèdre quelconque, ce polyèdre pouvant se décomposer en tétraèdres, et les faces contiguës donnant lieu à des vecteurs égaux et de signes contraires.
Nous avons déjà démontré plus haut cette propriété (p. 83) ; mais il nous a semblé qu'il pouvait être intéressant de la reproduire ici, à titre d'application des formules.
74. Si d'un point ^xe on mène jusqu'à un plan fixe trois vec^ teurs rectangulaires quelconques, la somme des inverses des carrés de leurs longueurs est constante.
Soient O le point fixe, D le pied de la i)erpendiculaire OD sur le plan fixe, OA, OB, OC les trois vecteurs rectangulaires*
Posons
OD = n r=r .rA 4- JB -f- 3c; alors (14)
