ARC = 6(a.bc) = 6(bc.a) == 6bca = S(b.ca) =r SCAB

On a aussi

5abc = ôaIIbc = — SaUcb =r — 6acb,

et, de plus,

(g) SabC =: — 6aCB :=: — 0CBA z= — BAC,

Ainsi, la partie réelle d'un produit de trois vecteurs n'est pas altérée par une permutation tournante des fac-

— i66 — leurs, mais elle change de signe lorsqu'on modifie l'ordre autrement que par une permutation tournante. Nous avons déjà vu (49) que Sabc représente le volume du parallélépipède construit sur OA, OB, OC. Si

WiyJ'2'>X3)i (^1*^2*^3/

sont respectivement les coordonnées de A, B, C, rapportés à un système d'axes rectangulaires, et si nous développons le produit des trois vecteurs

on voit immédiatement qu'on aura, en vertu des conventions fondamentales sur les unités i|, lo, I3,

JSabc =:

J^i Xi Jz

Soit sous cette forme de déterminant, soit au moyen des formules précédentes, on voit se confirmer les règles sur les signes des volumes, indiquées au n° 49.

m. Nous avons

Il ABC = tï(A0BC -h aUbc) Z= a6bC -4- U^aUbC.

Or

ABC =r a5bG -4- aU BC,

CBA= (Scb)ah- (1Icb)a = a5bc — 13bc.a.

De là, par addition, et en tenant compte de la formule (4),

ABC -4- CBA = 2A0BC-f- 2il[AtlBc],

c'est-à-dire

(il) ABC^-CBA=: 2b ABC.

Si dans cette formule, tout à fait générale, on permute les lettres a et c, le premier membre ne change pas; donc

(il) IIaBC ~ bcBA.

On a aussi

Uabc — cÔab-*-1)(IIab.c) =c6ab — Iî.cUab,

UcAB = cSaB -t- ll.cll AB,

et de là, par addition,

(13) IIaBC + UcAB zn 2cSaB,

On peut écrire

l) . Al)BCr= il)A(BC — Cb) r=r l(tl ABC 4- UCAB — UCAB — UaCb),

ou, en vertu delà formule (i3) qui précède,

(14) U.AlÎBCrrr cSaB — bSac.

En permutant circulairement les lettres a, b, c, puis ajoutant, cette formule (i4) nous donne

(15) iJ(AlJBC-f- bIÏCAH- clJAB)r=0.

Si nous substituons dans la valeur de Uabc, écrite au commencement du présent numéro, l'expression (i4)> nous aurons

(16) 13aBC = a6bG — B6AC-fC0AB,

formule importante sur laquelle se vérifie immédiatement la relation (12). En faisant usage, au contraire, de la relation ( 1 2 ), on arriverait directement à la formule

— i68 — (i6) au moyen de Tidentilé évidenle

ABC-f- CBA== a(bC -t-CB) — b(aC -f-CAJ -f- c(aB 4- Ba).

Enfin, si nous remplaçons ▲ par Hab dans la formule (i4)f nous obtenons

U(UabUbc} =:c6[UaB.b) — BS(tiAB.c) z= C0ABB ~ bSaI'C,

ou

(17) U(tiABtiBC;zii^B6ABC.