SOUSTRACTION

422. Pour soustraire une quantité algébrique â^une autre ^ on écrit la quantité a soustraire k la droite de celle dont on soustrait, en ehaniioantles signes de tous ses termes, et l'on fait, s'il y a lieu, la rédur-

fcoogle

16? DÇUXIÊ]«E PAllTIE. -— ALGÈBRE.

tion des termes semblables. Ainsi, soustrayant 3a' — Slaô-^ ^c^/»* de 7a'— 2a6, on a

7a'— 2ab — 3a' 4- 2a6 -^ 6c + 6',

ou, en réduisant,

Pour faire dépendre la soustr^ion de Vadditiony et faciliter la rédiiction des termes semblables, on pose sous la quantité dont on soustmi jaipmiMé à «oiAsif aÎAR, .e» «iwMMifit k «es ima»9> «deis sî^aes tmiti»m3 à ceux qu'As ^Bi, oé 1» somme des deux ^piQtités «i^ébri^es 9im* |>l«cé)S6 e3k le résultai deaaAadé.

Ainsi, pour soustraire 2a 4- 36'c —7 de 8a — 56'c — 4, oo exéoute le «idcW 4e hà «iMikière suivante :

reste da — 86'c-f3

Qiumd on ne tient pas à réduire à un seui polymme le résultat de la soustraction, on écrit la quantité à soustraire à la droite de la quantité dont on soustrait, en la plaçant entre les branches d'une parenthèse que Ton fait précéder du signe -r-. Do cette «panière, le résultat de la soustraction précédente est

to — «>?c^i-.-(2a + 36'c — 7).

Si, ayant écrit le résultat sous cette forme, on voulait le réduire à un seul polynôme, il suffirait de faire la réduction des termes semblables, en considérant chaque terme placé dans la parenthèse comme ayant un signe contraire à celui qu'il y possède. Be cette manière, on obtiendrait pour résultat 6a — 86»c + 3, comi»^ pUs haut.

Remarque. Comme, selon que d'uas quantité on retranche 7 ou — 7, cette quantité diminue ou augmente de 7, la soustraction algébrique? ne comporte donc pas nécessairement Tidée de diminution.

NlILTIPLICATiaN.

4^3. four Vf^ltiplier un monôme par un monôtne^ il y a 4 régîtes distinctes à considérer :

r Xa règle des signes. Le produit de deux monômes aâéctés du mésK^ signe a le signe 4- ; le produit de deux nioriôuies ^exU's de signes contraires a le signe — . Ainsi + multiplié p^r 4- et — multiplié par — donnent + au produit, tandis que + multiplié par — et— multiplié par 4- donnent — au produit;

2* 7x1 règle des coefficients. Le coefficient du produit est égal au produit dos coefficients des facteurs;

3* La règle des lettres. Toute lettre qui entre dans Tun des facteurs ou dans les deux s'écrit une seule fois au produit;

LITRE I. — MIS QUATRE OTÉftATlONS ALGÉBRIQUES. 163

4* im rèyie dar etposants. L'exposant de chaque lettre du produit est égal à k somoM des exposants de cette kttre daas les facteurs. Une lettre qui n'a pas d'exposant est supposée avoir Tunité pour expoisani f85 et i07j. Une lettre qui n'entre pas dans un facteur est supposée avoir 0 pour exposant dans ce facteur (448).

ApptioatiaBs 4e ces règles :

3a"* X a = 3a*+* ; — 2ax — 3a«6' = 6a»6«; + 4a»6»c X — 6*c = — 4a«6»c* ; — 26«cd X + 4c*dV = — 86Vd V.

ttl. Le produit de plusieurs monômes s^obtient en multipliant les deux premiers monômes entre eux, le produit des deux premiers par le 3% et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait employé le dernier monôme comme multiplicateur.

De cette règle et du n* 423 découlent les règles suivan^tes pour former le produit :

1* Le produit a le signe + quand le nombre des niMi6mes f^teurs négatifs est nul ow pair; il a le signe — quand le nombre de ces fecteurs est impair;

2* Le coefficient du produit est égal au produit des coefficients des facteurs ;

3* Chaque lettre qui se trouve au moins dans l'un des facteurs s'écrit une seule fois au produit;

i* Chaque lettre du produit a pour exposant la somme de ses exposants dans les facteurs.

Ainsi Ton a

2a X 3a*6 X — 6 V x — 5 = 3Qa^b^c* ; 3a« X — 2a6« x — 5a*6c« x — 5c = — 1 50a'6»c*.

Semarque. Le degré du produit de plusieurs monômes est égal à la somme des degrés des facteurs (41 4).

42o. Le produit de plusieurs monômes change ou ne change pas de ^gnsy selon qu'on change de signe un nombre impair ou un nonû)re pair de ses facteurs (424).

426. Le produit de plusieurs monômes ne change pas, quand on intertertii Tordre de ses facteurs (40).

427. Four multiplier un polynôme par un monôme^ on multiplie successivement chacun des termes du polynôme par le monôme, d'après les règles données pour obtenir le produit de deux monômes (423). Exemple :

6a»6«4-8a»6^ — 2a6*c Pour indiquer la multiplication d'un polynôme par un monôme, on

i64 DEUXIÈME PARTIE. — ALGÈBRE.

écrit ce polynôme entre parenthèses, et on le considère comme un monôme. Ainsi, pour indiquer le produit de 3a* -f iab — 6*c par 2a6*, on écrit :

{3a* -f- iab — b*c) x 2aô».

Quand le facteur monôme est positif, on supprime souvent le signe x. II en est de même lorsque le monôme est négatif, mais alors placé devant le polynôme. Ainsi — a{a — 6), de môme que — ax,{a — b) indiquent le produit de — a par a — b, mais en intervertissant Tordre des facteurs (425), il faut écrire {a — b)x—a.

428. Pour multiplier un polynôme par un polynôme, on multiplie successivement tout le polynôme multiplicande par chaque terme du multiplicateur (427), et on fait l'addition des produits partiels (424 ci 432). Exemple :

ilultiplicande 4a» + 2a«6 — 5a6* — 26»

Multiplicateur 2o'— 3ab + 6«

!•' produit partiel 8a» + 4a*6 — 40a»6»~ 4a*6»

2* id, — 42a*6— 6a*6* -f- 15a*6»H- 6a6*

3" id, + 4a»6«+ 2a«6» — 5a6* — 26»

Produit 8a»— 8a*6 — 42a»6»+ 43a'6»+ aô* — 26»

Pour indiquer la multiplication d'un polynôme par un autre, on le^ écrit entre parenthèses, et on les considère comme des monômes. Ainsi la multiplication précédente s'indique

(4a» + 2a»6 — 5a6» — 26=^) x (2a« — 3a6 + 6») ou

489. Le produit de plusieurs polynômes s'obtient en multipliant les deux premiers polynômes entre eux, le produit obtenu par le 3^ polynôme, et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les polynômes aient été employés comme multiplicateurs. Cette règle est encore applicable au cas où il y a des facteurs monômes.

430. Le produit de plusieurs quantités algébriques, monômes ou polynômes, ne change pas quand on intervertit Tordre des facteurs (426).

431. Ordonner un polynôme par rapport à une lettre^ c'est disposer ses termes de manière que les exposants de la lettre considérée aillent en croissant ou en décroissant.

Le polynôme a6* + 3a»6 — 5a*6* + a*, ordonné par rapport h la lettre a, suivant Tordre croissant, donne

suivant Tordre décroissant, il devient