LIYRE I. -* DES QUATRE OPÉRATIONS ALGÉBRIQUES

Dans cet exemple, on voit que le polynôme se trouve en même temps ordonné par rapport à la lettre 6.

La lettre par rapport à laquelle un polynôme est ordonné est dite lettre principale.

Lorsque plusieurs termes du polynôme contiennent la même puissance de la lettre principale, on écrit une seule fois cette puissance, et k sa gauche, entre parenthèses, ou dans une colonne verticale séparée par un trait, les quantités qui multiplient cette puissance. Ainsi le polynôme

3a«6 -f 5a6« + 26« —a* + iab — 36» —oc, ordonné par rapport aux exposants décroissants de la lettre a, devient

(36-.l)a«+(o6« + 46 — c)a+26*— 36* ou

Il convient d'ordonner, comme on vient de le faire, par rapport à une autre lettre 6, les polynômes multiplicateurs des différentes puissances de la lettre principale a.

432. On facilite beaucoup la réduction des termes semblables dans la multiplication des polynômes, en ordonnant ces polynômes par rapporta une même lettre. C'est ce qu'on a fait dans l'application du n* 428, et ce que nous allons répéter pour un nouvel exemple. Soit k multiplier

par (6a + b]x — 2a* — 6.

Les coefficients de la lettre principale x n'étant pas des nombres donnés, mais des polynômes, la multiplication est plus compliquée. Ordinairement, dans ce cas, on ordonne d'après la seconde méthode, et Ton suit la règle générale de la multiplication des polynômes. Ainsi on multiplie tous les termes du multiplicande d'abord par le premier terme 6ax du multiplicateur, puis par le deuxième bx^ puis par le troisième, et ainsi de suite jusqu'k ce qu'on ait employé le dernier, et l'on fait la réduction des termes semblables dans chaque colonne verticale de produits partiels obtenus.

i>st;xièaii fjatib. ^ algèbur.

Midiipliccmde Multiplicateur

x'+aoa»

+ 3aô

' — 2a«fr

+ Wb

— îia«6

— 3aô

Produit

aî> + 24a»

+ 7a«6 — ab + ^6»

A35. Uïi polynôme ordonné est dit complet ou incomplet, selon qu'il contient ou non la lettre principale avec tous les exposants inférieurs au plus grand qu'elle possède. Ainsi Ife polynôme a*+ 3a'6 — 5a»î^*4-cr&* est complet par rapport à a; il est, au contraire, incomplet par rapport à 6, parce qu'il ne contient pas 6*.

454.' Le produit d'un polynôme ordonné par rapport a une lettre, par un monôme, est un polynôme ordonné de la même umniore par rapport k laj mènm lettre.

43i$. Lorsque deux polynômes et leur produit sont ordonnés pnprap*port h une môme lettre , le premier terme àvt produit provicsit, sans néduction possible,, de la multiplication des premiers ternies dos fCLC^ teurs^ et son. dernier terme est le produit des derniers termes des deux facteurs (428). Ce produit ne peut donc avoir moine de deux: termes* Le plus grand nombre de termes possible est égal au produit) du noinbre des termes du multiplicande par le nombre des termes dU'mEiilti«plicateur.

456. Quand un polynôme homogène (416) ne contient que deux lettres, s'il est ordonné par rapport à l'une d'elfes, il l'est en même temps par rapport à l'autre, mais dans un ordre inverse :

457. Si deux et en général un nombre quelconque de polynômes sont homogènes, leur produit est homogène, et son degré est égal à la somme