CALCUL DES RADICAUX CARRÉS

490. Les puissances et les racines ont en Algèbre les mêmes signifia cations qu'en arithmétique (82 et 233].

491. Puisqu*en formant le carré de la racine carrée d'une quantité on doit retrouver cette quantité, il résulte, d'après le n* 423\ que pour extraire la racine carrée â^un monôme, il suffît d'extraire la racine carrée du coefficient, et de diviser par deux chacun des exposants :

De cette règle, il résulte qu'un monôme n'est un carré parfait, et qu on ne peut en extraire la racine carrée, qu'autant que son coefficient est un carré parfait (245), et que ses exposants sont des nombres pairs.

Dans les calculs, il peut arriver qu'on ait à extraire la racine carrée d'un monôme qui n'est pas un carré parfait; alors on ne fait qu'indiquer l'opération. Ainsi, ayant à extraire la racine carrée du monôme 35a^6, on écrit simplement

Ces sortes d'expressions sont appelées monômes irrationnels (408), ou simplement radicaux carrés,

492. La, racine carrée du produit de deux ou dCun nombre quelconque de facteurs est égale au produit des racines carrées de ces facteurs (272).

493. De là il résulte que pour simplifier un monôme irrationnel (491), il suffît de mettre en facteur, devant le radical, le produit des racines carrées de tous les facteurs qui sont des carrés parfaits (c'est ce qu^on appelle /aire sortir ces facteurs du radical), et à laisser sous le radical les facteurs qui ne sont pas des carrés parfaits. Ainsi

V36a*6»c» = 6a v^^, et sj^ôF^ = 26» v^2âc».

LITRI m. — PUISSANCES ET RACINES DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. iS9

Dans les seconds membres de ces égalités les quantités Sa et 26* s'appellent les coefficients du radical.

494. Le carré d'une quantité, positive ou négative, étant toujours po* sitif (423), il en résulte qn^un monôme positif a deux racines carrées égale» H désignes contraires. Ainsi

V^45^==fc2a«6.

49SS. Le carré d*une quantité quelconque étant positif (423), il en résulte que Textraction de la racine carrée d'une quantité négative est impossible. Ainsi

soDt des symboles algébriques qui représentent des opérations impossibles. On les désigne sous le nom de quantités ou plutôt d'expressions imaginaires. Ce sont des symboles d'absurdité, auxquels conduit souvent la résolution des problèmes du second degré*

La forme générale dune quantité imaginaire est ay/ — i, dans laquelle a est une quantité réelle.

Toute racine imaginaire dune équaiion du second degré peut se mettre sous la forme a ±: 6^— i, dans laquelle a et 6 sont des quantités réelles (526).

496. Deux radicaux sont semblables lorsqu'ils ne difiièrent que par \e» coefficients des radicaux (493). Tels sont :

3v^, {c-hd}^, ^ic + id))/âi^.

497. Pour combiner par voie d addition ou de soustraction des radicaux semblables^ on effectue ces opérations sur les coefficients des radicaux, et on affecte le radical proposé du résultat obtenu considéré comme; coefficient Ainsi

Si les radicaux n'étaient pas semblables, on ne ferait qu'indiquer les opérations. Ainsi, en ajoutant v^ et 3^/6, on obtient

En retranchant la deuxième quantité de la première, on a

Va— 3v^.

498. Pour multiplier un radical du second degré par un autre, on multiplie entre elles les quantités placées sous le signe /~~, et on affecte le produit de ce signe commun, auquel on donne pour coefficient le produit des coefficients des radicaux proposés. Ainsi

2V3a + 6< X Scv'Sa + b* = \0c^J1mTW = *0c(3a + 6«).

ifi# DIUZiÈIIE PARTIie: — AiXÈrniE".

Il esl évident que si les rudioaux seat sembiahlesv coamie<daa9 ce dernier exemple, le produit des radicaux^ ^'obtient en suppnmvitl le signe v/ , et on mnltîpliant la quafntiÊté qai était sous oo signe pav le pn>dfiii -d«s^ coefiicionts^ des radieatix profvosés.

491). Pour diviser l'un par Vautre deux radicaux du second degré;, oit divise Tune par l'autre les quantités placées sous le signe V » <ît on affecte le quotient de ce signe commun, auquel on donne pour coefficient le quotient des coefficients des radicaux* pro])oséB. Ainsi

Jd A /a KiaJb Sa* Ib \%ac\J^bc /r-

500. Pour faire sortir du radical les Jojcteurs qui sont des carrés parfaite, il suffît de les supprimer sous le radical, et d*écrire leurs racines carrées comme facteurs du coefficient du radical (492). Ainsi

v/3a«6*c = a^)/S6, My/^B'c^ — Sbc^dy/â^.

Pour faire passer sous le radical un fadeur du coefficient , il suffit de le supprimer au coefficient, et de multiplier la quantité placée sous le signe v^ par son carré. Ainsi

kcasl'b + c = kt\la\b + c) = v'l6a'(6 -f c).

501. On peut souvent simplifier le calcul des expressions irrationnelles, en chassant les radicaux qui se trouvent au dénominateur. ËKûniplcs :

7 7vS m __ m[sla — sjb) y/;» VrVJCt-r ymfr.

2v/i>'~'^' ^a + slb"^ « — ^ ' v/a — V6~" « — ^' '

3v/ï7 __ 3v1l(4v'2~-2v/3) 42\/22 — 6v/33 Cy^ï — 3v33 4\/2+2v'3~ 16 x':^ — 4x3 ~ 20 "" 10

On a multiplié les deux termes des fractions respectivement par y^, yfâ. — sfb, s^a-\- sjb, ksfi — 2v/3, de manière à rendre les dénominateurs rationnels (444).

Dans Texemple suivant, on multiplie d'abord les deux termes de la fraction proposée par {sja + ^h) + sjc\ puis les deux termes de la fraclion obtenue par [a -^b — c)^ %\Jab,

^m sfin __ y/ma + sfrrïb 4- ^mc

^a+slb — sjc (v/â+v'fr) — v^.c"" (v'â-hv/i)' — c "^

^ma^\f mh-^-yJmc slrnâ^^slmb^ \lmc ( \/yyia<f ^mb-\- Vnic) (gH-6 — c — Sy-^) a+6— c+2v'ôr6 (a+ô— c-)+2v/â6 ~" (a+é— <?)•— 4a6

i>02. Do la composition du carré d'un polynôme quelconque (445), il résulte ([va\ pour extraire la rachze carrée d\va polynôme il faut, comme

LtTRE III. — PC1SSAKGE& £1 BACINJB6 DSS ODlKTITéS ALGÉBRIQUES. i9i

dans lexeinple suivant, Tordonner par rapport aux puis&anees erok^ santcs ou décroissantes de la môme lettre ; extraire la racine carrée du premier terme à gauche ia\ ce qvii donne le premier terme 2a^ de la racine; supprimer le premier terme du polynôme, et diviser le premier terme 28a* du reste par le double 4â' du premier terme dé la racine, ce qui donne le second terme 7a» de la racine; retrancher du premier reste le double produit ^8a* du premier terme de la racine par le second, et le carré 49a* du second; diviser le pperaier terme 12a* du second reste par le double du premier terme de la racine, ce qui donne le troisième tenue 3 de cette- racine; retranehei*' dii>isec(m«L resteriez doubles produits i2a' et 42a* du premifir et du .second teroifts derla raeinepar le troisiômo, et le carré 9 du troisième terme; diviser le premier terme du troisième reste obtenu par le double du premier terme de la racine, ce qui donne le quatrième terme de cette racine, et ainsi de suite.

Ayant, par exemple, a extraire la racine carrée du polynôme 49»* + [ïa^ + 9 + 4a* -f 42a' + 28a*, pour efifectuer les calculs indiqués dans la ré^'Jp précédente, on dispose les opérations comme il suit :

lam'. . .

2a3-f 7a' +3 racine.

1" reste.

. . . 28a»+49a*+12aH42a»4-9 — 28a«— 49a*

2* reste.

3' reste.

La racine obtenue peut indifféremment être affectée du signe plus ou du .Mgne moins (494).

PCISSANCES ET RACINES QUELCONQUES DBS QUANTrTÉS ALGÉBRIQlfES.

SOô. On a d'une manière générale, en désignant par a' la valeur ab-

sûlue de Va (414), pour:

m nombre pair V« = =*= ^'>

id. \/— a = aV-— T» imagiaaire (496);

iK nombre impair \a = a',

îd. V — û = — ^''

Ainsi :

vÛ = d:2; vT6=±2, v/^^=2v/^, v/'27=3, y— 27 = — 3.

S04. Pour extraire la racine quelconque 7Ji*^^ d'un monôme, il faut extraire la racine rrv^^ du coefficient, et diviser par m l'exposant de

192 DECXIÈHB PARTIE. — ALGÈBRE.

chaque lettre (4S4). Ainsi

v/64aW = 4a6*, v'32ÔW = Sto*6.

ttOtf . Cette règle, appliquée dans sa plus grande généralité, conduit à la notation des exposants fractionnaires positifs et même négatifs^ imaginée par Descartes, et Tune des plus expressives de Talgèbre (277} :

806. Ayant k diviser a** par a", il faut retrancher Texposant du diriseur de celui du dividende (447 et 448). Ainsi

Quand m = n on a

ou i = a"»-* = a^.

Ce qui montre qu*une quantité quelconque élevée à la puissance 0 donne i.

Lorsqu'on a m < n, cette division conduit à un exposant négatif. AiHc^i

Comme on a aussi —^^^ = —, on a donc

L'expression ar^ est donc le symbole d'une division qui n'a pas pu s'effectuer; et sa vraie valeur est le quotient de l'unité divisée par la mémf quantité a affectée de l'exposant p pris positivement. Ainsi

-il * \ « * a»' a'

IS07. De la combinaison d'une extraction de racine et d'une divisiou impossibles, de quantités monômes, il résulte une autre notation, c>$' \ exposant fractionnaire négatif.

De ce que — = ar^^ il résulte que l'on a

SJ-^— Sar^ = a~n, (504)

Ainsi, en résumant ce qui précède (505, 506, S07;, on a

808. I^* opérations sur les exposants fractionnaires positifs et nég^i-

LITRB III. — PUISSAKCES ET RAGIHKS DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. 193

iijs i effectuent comme pour les exposants entiers et comme pour Vexposont S en particulier. Les exemples suivants font voir la manière d'opérer dans les différents cas :

Va' X yja^ = o^ X a^= o^'*"ï = a*»,

|x^* = a-^xa^=a-?-^î = a^

ah^ia^W^ah"^;

3* Pour élever un monôme affecté d*exposants quelconques à une puis^ sance quelconque^ il faut multiplier Texposant de chaque lettre par l'exposant de la puissance. Ainsi :

(a»)»==a«, (oW)''=o"6w

m:^ai'''=.a'^, {a-'^T^a--.

(ski~W=64a-«6*,

a"") •=za'' « = 0 ~;

4* Pour extraire une racine quelconque d*un monôme^ on divise l'exposant de chaque lettre par l'indice de la racine. Ainsi :