ARRANGEMENTS. PERMUTATIONS

tfiO. Ayant m objets dîsfîncts, m lettres'par exemple, on appelle : i* Arrangemmdi de ce» m lettres n a n, les groupes différents qup Ton peut former avec ces m lettres, en les prenant n à n de toutes les manières possibles et en les plaignit ias. iiiie»ë «âté des autres sur une même ligne droite. Deux ariangements quelconques diffèrent par leurs lettres ou seulement par Tordre ^*clles^eeupeirt Left 3 ktires a, hy^^ prises %\t^ donnent les 6 arrangements :

ob, «r, 60, 6e, oob; c6.

2* Permutai io)is de ces m lettres, les grompes différent» que Ton peut former avec ces m lettres, en les plaçant les unes à côté des autres sur une même ligne droite. Cha4|ue permutation contient toutes les lettres, et, par suite, deux permutations quelconques ne diffèrent que par Tordro des lettres. Les 3 lettres n, fr, e donnent les 6 permutations :

abc^ acby cab, bac^ bea, cba.

3" Combinaisons de m lettres n k ?i, les groupes différents que Ton peut former avec ces m lettres, en les prenant nkn Ôlq. toutes les maniènas possibles, jiuûs de façon que deux groupes ^elconques diffèrent tu moins par une Joltre. On n'a pas égard k Tordre des lelfres ; de sorte HjOJt si ces lettres représentent des quantités différentes, les combinaisons représentent tous les produits différents quse Ton peut former en prenant comme facteurs ces m quantités n a n de toutes les manières possibles. Les 3 lettres a, 6, c donnent» 2 à %^\e» iMÀ% comtHnaiaant

a6, ac^ bc.

UH. Les arrangonicnts de m lettres i a ! sont la suite des m leUre>

o, b, c, d, Ar,

el leur nombre A* = m.

UTKS 111. — PUISSAMS» ET ItACIMft 1MËS QV«IfnTÉS ALGÉBRIQUES. fW

Les arrangements des m lettre» 9 à ft s^obtiennent en écrivant à la droite de la lettre a de la suite précédente successivement chacune des m — i autres lettres; puis à la droite de la lettre b chacune des m-^i autres lettres, et ainsi de suite. Les arrangements ainsi obtenus fourntÊMOt Se^ fteilleau sttiVanfC :

aby acy ad^ , ak,

5a, 6c, 6rf, ...... kk,

ca^ cby cd, cA,

Aa, kb^ kc, , kh^

et leur nombre est \l^=m{m — l).

Les arrangements des m lettres 3^ ^ 3 s'obtiennent de même en ccriwM^.ai&fbreîta te ckaiiue arraQgçjaieDJt du tableau ^écédenit suecesmmmfA/ibMCuae de& m— d avisos ktiwui qpi a'^nlrent pa« dan^ l'aii- UfÈ^fûtmmkmfïùàAre'r ce quidootifi :

o^, itBd, éfh, , ablk,

athy aed^ aee^ , aek,

kac)^ bad^ baey . . * . ^, bak^

Le nombre da ce» arraBi|pemeii.t» esè A^== m{^— l;.(m — 2). Le nombre des arrangements de m lettres n à n est donc

Applicaiian. Combien y a-t-il de nombres différents composés de 4 chiffres significatifs? Faisait m = 9 et n=3 4 dans la formule précédente, on a

512. Les jperrautatTons de m lettres ne sont antre ehose que les arrangements de ces m lettres prises toutes ensemble, c'est-à-<lire m h m. Leur nombre est donc

P« = AJU=; »i(»i— i).{m - 2) *. • 3 Jl.ia«: i,^-&.-i . • • w.

Avec une lettre on a P, = i.

Avec deux lettres on peut former les permutations :

a&, 6a, Ht Ton a P,= i.t.

Pour former les permatotione de 3 litres, on intrcNlatt U tettfle; e à toutes les places, h la fin, au milieu et au commencement de chacune des deux permutations préeédente», ce qui donne

abc, acb^ cab, bac, bca, c6a»

et P, = 1.2.3.

On formerait ainsi les permutations pour un nombre quelconque m de lettres, et Ton voit qu'on a bien, d'une manière générale, comme cidessus,

Application. De combien de manières peut-on disposer 6 soldats en ligne ?

La formule précédente donne

P^rr: 1.2.3.4.5 =120.

i>15. Supposant qu'on a formé toutes les combinaisons de m lettre» n kn, si Ton permute les lettres dans chacune de ces combinaisons, on formera les arrangements des m lettres n à n, et le nombre de ces arrangements sera égal au nombre des combinaisons des m lettres nkn multiplié par celui des permutations de n lettres. On a donc

A"=c:xP», d'où c: = :^.

Remplaçant AjJ^ et Pn par leur valeur (511, 512), il vient

n yn(w>- l)(m — 2) ... (m^n-^ 1) «~ 1.2.3...n

Pour n = m cette formule devient C"* = 1.

Pour m = 7 et n = 3, on a

On voit qu'au dénominateur se trouvent les nombres entiers successifs depuis 1 jusqu'à n, et au numérateur autant de nombres entiers successifs décroissants, le premier étant égal à m. Il est donc facile de former la valeur de C^^.

2$ M. Le nombre des combinaisons de m objets n à n est égal au nombre des combinaisons de m objets m — nkm — n :

C'est ce qu'il est facile de vérifier à l'aide de la formule du n* précédent.

($1S. Le nombre des combinaisons de m objets n à n est égal au nombre des combinaisons de m — 1 objets n k ??, plus le nombre des combinaisons de m — 1 objets 7i— 1 à n — 1:

UTBl III. — PUISSANCKS XT RACINES DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. 197

1(16. Application des combinaMons à la probabilité que Von avait de gagner à la loterie? (374).

La loterie se composait de 90 numéros, et on en sortait 5 à chaque tirage. En prenant un n*, c'est-à-dire un extrait^ le nombre des cas possibles est le nombre des combinaisons de 90 numéros 5 à 5, c'està-dire,

Quant au nombre des cas favorables, il est égal à celui des combinaisons qui contiennent le n* choisi. Or, supposant que le n* choisi a été 6té, et que Ton combine les 89 autres i à 4; puis qu*on ajoute le n* choisi à chacune des combinaisons obtenues, on aura les combinaisons favorables, dont le nombre est par conséquent

La probabilité de la sortie du n* choisi est alors (374).

Ainsi, à chances égales, on devait jouer 1 contre 18. La loterie ne payait que 15 fois la mise.

En prenant 2, 3 ou 4 numéros, c'est-à-dire un ambe, un terne ou un quaterne^ on trouverait, en opérant comme ci-dessus, que la probabilité que ces 2, 3 ou 4 numéros se trouveront dans les 5 numéros sortis est respectivement :

La loterie ne payait que

270, 5500, 75000 fois la mise.