ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES

i(52. Résolution d'un système de deux équations à deux inconnues, dont Vune ou toutes les deux sont du second degré,

r Si Vune délies est du premier degré, on en tire la valeur d'une des inconnues en fonction de Tautre, et, substituant cette valeur dans Fautre équation, celle-ci devient du second degré à une seule inconnue; on en tire la valeur de cette inconnue, et cette valeur, substituée dans la première équation, permet d'obtenir la valeur de l'autre inconnue. Ainsi ayant

ax + by = 2s et xy = iy

de la première équation on tire (471)

Substituant cette valeur de y dans la deuxième équation, on a

^s — ax a , . 2j

XX— j— ou jx'+-^-x=<;

d'où l'on tire, en chassant les dénominateurs et changeant les signes,

ax' — 2«:= — W,

et par suite (530)

s±:)/s^~abt

Substituant cette valeur de x dans la première des équations proposées, on en tire

Le système, comme on le voit, est susceptible de deux solutions directes, car on a évidemment s > ^/s^^abt; mais pour qu'elles soient réelles, il faut que l'on ait j» > abt ou j' = abt.

Ces deux solutions séparées sont :

__s + ^s^-^abi __ s-^s/s^-^abt "" a ' ^ 6

et j- ^- V^^~g^^ v-^'^ s/s^—abt

Pour a=6=l, les équations proposées deviennent x-fy=2j, xy=t, et les valeurs de x et de y se réduisent à

x = *d: vV— < et y=:jq: v^?"^=7.

LITRE lY. — ÉQUATIONS hV SECOND DEGRÉ. d09

Ce qui fait voir qu'alors les deux valeurs de y sont égales à celles de x prises dans un ordre inverse, c'est-à-dire que si * -f ^s*-^t est la valeur àe x^ s — v^^ — t sera la valeur correspondante de y, et réciproquement Méthode particulière. Remarquant que la résolution du système

a; + y = 2*, xy = t

revient à trouver deux nombres a; et y dont on connaît la somme et le produit» cela revient en définitive à trouver les racines de Téquation (527, 528)

Ce qui donne directement (530).

Les solutions du système sont alors, en faisant successivement x= 2' et ac = r":

= *4- v/** — tt y = îiy — af = *— v^** — <;

et a; = *— ^#« — e, ^=2^ — x = * 4- v'^ — ^•

Valeurs trouvées par la méthode générale.

Cette méthode particulière peut s'appliquer au système

ar— y = 2, xy = 16, qui devient, en y faisant y = — y^ ,

« + y, = 2, xyi = — 15.

X et yi étant les racines de l'équation

ar«— 2«=:15, qui donne 2;'= 5 et /' = — 3.

On a alors x = 5, y|=2 — 5 = — 3;

et a:=— 3, y, = 2 + 3=5.

Par«uite, les solutions du système proposé sont a! = 5, y = 3; et x= — 3, y= — 6.

Cette méthode particulière peut encore s'appliquer au système

En effet, si de la prenodère équation élevée au carré, a:> + 2xy + y* = 64,

diO DBDXltoC PARTIS. ^ AdLGÈBKE.

on rotpanche la BC?conde, on tt îty = 3<) ou acy = !5, et Ton Toit que le syatème revient a^ •ui\'ant

j- ei tf «tant les raoînea il« réqoation

fui doûBô e' =ï: 5 6l 2" =3 3»

les solutions du système sont alors

x = 5, y = 8— 5=5=3; et a: = 3, y = 8— 3»5,

2* Qi/a/id une des équations est du premier degré par rapport à Fune dps inconnues seiilejnetit, on en tire la valeur de cette inconnue, et, substituant cette valeur dan« l'autre équation, on obtient une équation du troisième degré. Ainsi ayant

aac* -f- 6y = 2* et ry~t,

do la première équation on tire

fs aa^

Substituant dans la deuxième équation, on a

ou, en chassant les dénominateurs et changeant les signes,

ox* — 2jx = — 6^

3° Soit le système de deux équations du second degré à deux irvconmes

x» + y* = 25, flry = 12.

La seconde équation donne ?/ = -^ . Substituant dans la première.

on a

On est ainsi amené k résoudre Une équation du 4* degré; mais cette équation étant bicarrée pour roxempiUî choisi, sa< résokttîon n'offHra aucune difficulté (533).

On peut du reste résoudre ainsi le système proposé : à la ipremiêre équation ajoutant la seconde multipliée par 2, on a

x*-|-2xy + y« ou (xH-y)2 = 49, d'où j:-Hy=:±7. M)