LIVRE IV. ^ AQOATlOKft WS SECOfKD BCGRÉ. 2ti

De Ift pramîèse retraAehsaA la seeûndB tuoltipliée par !S, on t.

x'— 2xy + y' ou (x— y]' = 1, d'où x— y = d= 1 . (2}

ftes équations (i ) eâ (S) éonnaat la BNQme et la difTéFenoe «les deuK quantités x et y, on en déduit facilement ces quantités. Cl*;! équatîMu ajoutées et retranchées fournissent en effet

x^-j- et y=-^.

Les sollufions du système proposé sont donc :

Ces solutions satisfont en effet au système.

UéliminaUon d^une des inconniLes entre deux équations complètes du second degré à deux inconnues conduit à une équation du quatrième d€§ré.

Considérant le système d*équations complètes du second degré

ay^ + 6xy + ex» -f dy + /x + ^ = 0, ay + b'xy + c'x* + d'y -\- f'x + ^' = 0,

ordooQons par rapport à i;, ce qui donne

cx« + ( 6y + /) X + ay» + rfy + ^ = 0 , c'x* + [b'y +/')x + ay + d'y + y' = 0.

Si les coefiScîents de x* étaient les mêmes dans ces deux équations, on obtiendrait, en retranchant ces deux équations Tune de Tautre, une équation du premier degré en x, qui pourrait être substituée à Tune des équations proposées ; de cette équation Ton tirerait la valeur de x en fonction de y, et reportant oelte valeur dans Tune d«s équations proposées, on parviendrait à une équation qui ne renfermerait plus que rinconnne y (3*, n* 480).

Or, si Ton multiplie chaque terme de la première équation par c\ et ceux de la seconde par c, il vient

cdx^ + (hy +f)&x -f («y» + dy + ^)C = 0, cc'x« + (6'y +/')cx + (ay + d'y ■¥g')c- 0.

Soustrayant Tune de l'autre ces équations, dans lesquelles x' a le même coefficient, on trouve

[(ôc'— c6')y -f /c'-c/']x + (ac'- ca')y» + (de' - «i')y + yc'- cy'= 0,

équation qui donne

(ca''--ac*]y^ + (cd'^dc')y + cg' — gc' {6C-c6')y+/c'-c/' •

2i2 DEUXIÈME PARTIE. — ALGÈBRE.

Cette expression de x, substituée dans l'une des équations proposées, donnerait une équation finale en y.

Sans effectuer cette substitution, qui conduirait k un résultat trèscompliqué, il est facile de reconnaître que Téquation en y serait du quatrième degré.

ÉQUATIONS TRINOMES.

1(55. // est une classe d'équations d'un degré supérieur à 2 dont m peut ramener la résolution à celle dune équation du second degré à me inconnue. Ce sont les équations de la forme

que Ton appelle équations trinômes^ parce qu'elles ne contiennent que trois espèces de termes : des termes en x^, des termes en x*, et des termes connus. En posant af* = y, on ramène Téquation à celle du second degré

ay« — 6y = c.

Ayant calculé les valeurs de y à Faide de cette équation, celles de X sont données par la formule

Si m est un nombre pair^ toute valeur réelle positive de y donne pour X deux valeurs réelles égales et de signes contraires; au contraire, toute valeur négative de y ne donne pour x que des valeurs imaginaires (503).

Si m est impair^ toute valeur réelle de y ne donne poufx qu'une seule valeur, qui est réelle et de même signe que y.

Soit V équation trinôme bicarrée

Faisant x' = y, on la ramène à Téquation

• «.r wf ji ^ 25± v/25»— 4x 144 ,„^^ . -^, y* — 25y = — 144, d ou y = 5 . (526 et B30)

Hais a:' = y donne x = ± v/y ,

donc

<:e qui fait voir que Téquation a 4 rticines, égales deux à deux et de .signes contraires.

Elt'oc tuant les calculs on trouve d abord

y = 16 et y = 9.

Puis x==fc4 et x = ±3.

Valeurs qui satisfont bien k Téquation proposée.

LI¥RI I?. — ÉQUATIONS D'ON DBGKÉ QDELCONQUE.