ÉQUATIONS D*UN DEGRÉ QUELCONQUE

i(34. Moyen graphique pour résoudre une équation d'un degré quelconque. Soit, par exemple, réquation

«•-f Sx^-f X» — lex* — 20»— 16 = 0,

dans laquelle on a fait passer tous les termes dans le premier membre.

Fig. 4.

On trace deux axes Ox, Oy rectangulaires entre eux. On donne à x, dans réquation, différentes valeurs, que Ton porte, à une échelle con* venable, sur Ox ou Ox', selon qu*elles sont positives ou négatives. Aux points obtenus sur xx', on élève des perpendiculaires, sur lesquelles on prend, à une échelle convenable, qui peut être diflférente de la première pour la clarté du dessin, des longueurs y représentant les valeurs que prend le !•' membre d^ Téquation pour les diverses valeurs attribuées a X. On raccorde les points obtenus sur ces perpendiculaires par une courbe continue, et les distances au point 0, des points où cette courbe rencontre xx', représentent très-approximativement les racines de réquation.

Pour x = 0, la valeur y du 1*' membre de réquation étant — 16, on prend OA=s — 16.

tii McxitaB pautik. -^ AcaÈras.

Pour a: = Oy = 0,5,

on a y = t>a=0,o*H-5xO,5*+0,5»— 16x0,5*— '20>c€,5— 16=— 29,53.

Pour » = 0K=:-~Sit5,

on a y = M6=i2,5» + 5x2,5* — î;5» — 4«x8,B*-f 20XSI,'5 — f«x=i6.

Selon que x sera positif on négstiC,. 1«8 idivera ternies qui entrent dans la valeur de y auront les signes de la 1" ou de la 2* de ces deux dernières égalités; ce qui évitera de rechercher ces signes pour calculer chaque valeur de y.

En opérant ainsi, on trouve que Ton a respectivement pour

«=0 I 0,6 1 11 1,5 I 2 1— 0,5 |— l|-l,5 |-2I-2,5|— 3 |— 3,5!-4. yrr-iel— 29,531 — 451— 45,72| 0 |— 9,84 1-91- 7,;C6| o| IG j 361 40 | 0.

Ayant obtenu y = 0 pour les valeurs 2, — 2 et — 4 de x, c'est que ces valeurs sont des racines réelics de Téquation. Si Ton trace la courbe, elle rencontre xx' aux points pour lesquels on a a:=2, a:= — 2 et x= — 4. L'examen de la formule montre que pour des valeurs de x supérieures à 2, les valeurs de y sont toutes supérieures à 0 et positives; comme, de plus, la courbe ne rencontre pas xxf entre 2:=r 0 «iâ; = 2, 2 est donc la seule racine réelle positive de Téquation. On reconnaît de même que — 2 et — 4 sont les seules racines réelles négatives.

Quand, comme dans 1 exemple précédent, les racines sont entières, on peut les obtenir assez rapidement sans tracer la courbe. Ayant obtenu une valeur de y qui approche de zéro, en augmentant ou en diminuant convenablement x, on ne tarde pas à avoir y = 0, et la valeur correspondante de X est la racine cherchée.

Dans une question de mécanique pratique et en général dans toutes celles relatives à la science de Tingénieur, on n*a ordinairement besoin que d'une racine, qui est le plus souvent positive. On conçoit que quand il en est ainsi, on ne fait aucun calcul pour les x négatifs, et on ne trace la courbe que du côté des x positifs. De plus encore, la nature de la question laisse prévoir à Favance qiiellc sera à peu près la valeur de X, et Ion conçoit que c'est pour la valeur de x qu'on préjuge être la vraie y poi&y si cela est nécessaire» pour les roisiB^s de cetle v^ur, qu'-on devra faire le tâtonnemeat ou tracer la oourke.

C'est Aurtaut Lorsque les valeurs de xnâ. sont pas- entièrea^ otea général quand elles sont formées d'un grand.aoin]n» de clûfioa»^ qaa câs eoDsidératioiDs acquièrent de l'importanca.

Soit k résoudre i eqaaiLon

flc»— 3j:« + ?r-^4oWrO.

Pourx = 0, oaay = OA = — 40;

r=i=:0v, y^M =1— a-f 7--IOs^— »;

x = 2 = 0u', yz^v'a' =8 — 12 -h 14 — 40 = — 30;

xs:3=0tr, y=r"«" = 27--2î+21— *•=— «9;-

x = 4=:0u'", y=rt;'V = 64 — 48 + 28 — M = 4*

LITRB !▼. -^ ÉaVi^TlONS D'UN DBGfté QUELCONQUE.

Fig. 5.

y éUmiiefenu poeitif, cela indique que Féquatien a une racine positive comprise entre 3 et 4. L'équation montre Bdsee: qu^an àeUk de 4 les valeurs de y seront toujours plus grandes que 0 et positives^» et comme en deçà de a; = 4 il jii'y a qu'une valeur de x qui donne y = 0, ce que met bien en évidence le tracé de la courbe, il n*y a donc qu'une racine réeHe positive. Le point de rencontre c de la coupbe avec Ox donnant, avec Texactitude fournie par un tracé graphique, v'^c=0,9 de Î7V ou de i, dans la pratique on pourra prendre 3,9 pour la racine de Féquation. Si Ton veut vérifier cette ntciDe éa ravoir avec plus d'exactitude, on opérera de la manière suivante :

Four ttst,gjè^ Vé^ià%Uwà donne f =£ 6^99. ile qui.indtquequ^ 3|^ a^ttrop fbrt Peut a;«ssr.a,it on ay =3— igfô.

X evidooc comprit ûfdm 3,d et 3^« liavsaldii]' deir augmentant de d,9^d,8s=D,l pont UB6 «ugûidaiatkoia l,854-0,99s:â^4 de jr, BappMaat qne tM avcnMsaements restent proportionnel» entve doqf pour de petits écarts de x ou de y, ce qui revieiii à «zppoMF qtie ià coarlteett droile «wtFe «os éearttt^ your raugn)ci»tatioii.i,8d dey,x«ig-

meatera de 0,1 x —^ ==0,û6t>. La racine cherchée est donc très-sensî-

blement 3,865. En Babstituanlt «celte Taïleuv de n dans réquatkRi^ oh troovey»0,03, ee-qui kidiqaebien en eflètuiiBgranâeappr*ximaitidii, plus que latBsaole paar la pi*atique.

On déterminerait de la même manière les racines négatives; mais, nous le répétons, on n'en a pas ordinairement hesoin.

oôa. Résolution (Tune équation d'un degré qtialconqmjpar àpproscifMaiions successives. Soit Téquation

On SBppoae à*stovàx=:0 dans Ums li&s'tf^tmes mon» un qui oouii^n^ ^Mx; on excepte ordioaircment le terme qtui contient a: arec ha piiU P^nd exposant, parce qu'on approche plus rapidement de la valeur de X, surtout quand les coefficients des autres tenues d'un dogré élevé ne sont pas très-grands. Faisant a: = 0 dans le second terme de l'équa- Usn proposée, eUe devient

x' = 6009, m 5!ogar=t=log500a; (Foù X:^^,i92S.

On remplace alors x par cette valeur dans les termes où l'on a d'abord fait 2=0; notre équation devient

<^ + ll06iX 6,492a srIsaSO; d'oii Jt;âs5,Ma9.

216 MUXliME PAILTIE. — ALGiBRB. .

Substituant cette nouvelle valeur de x dans Féquation, il vient a;» + 200 X 5,2269 = 5000 ; d'où x = 5,241 1 .

Cette 3* valeur substituée à son tour en fournit une 4" x = 5,2403; laquelle en fournirait une 5* x = 5,2403...

Ainsi Ton peut adopter 5,2403 pour la valeur de x, et Ton voit que, dans la pratique, on aurait pu adopter la 3* valeur 5,2411, sans erreur sensible.

Au lieu de partir de a; = 0, on aurait pu partir d'une valeur que la nature de la question aurait fait supposer se rapprocher de la vraie valeur de X, •