MAXIMA ET MINIMA
IP(6. Lorsqu'une grandeur prend différentes valeurs successives, on dit qu'elle atteint un maximum ou un minimt^m, lorsque sa valeur est respectivement plus grande ou plus petite que les valeurs voisines, celles qui la précèdent et celles qui la suivent immédiatement.
Un maximum ou un minimum est dit absolu^ lorsqu'il n'existe aucune valeur de la quantité variable plue grande que ce maximum ou plus petite que ce minimum. C'est un maximum relatif on un minimum ra^ latifdzns le cas contraire.
Nous allons nous occuper ici de quelques questions de maximum et de minimum qui peuvent se résoudre k l'aide des équations du second degré, en nous réservant de traiter dans la huitième partie les questions de maximum et de minimum avec plus de généralité.
t&57. Le maximum du produit xy=:z de deux facteurs variables x, y, dont la somme x -{-^ = a est constante, a lieu quand ces deux facteurs
sont égaux, c'est-k-dire quand on a x = y = -.
!• En effet, ayant (441)
(a: + y)* — («— y)* = 4xy,
(ic+y)* étant une quantité constante et positive, le produit 4xy, et, par suite, celui xy sera d'autant plus grand que x— y sera plus petit en valeur absolue, et il sera maximum quand on aura
X — y = 0, c'est-k-dire x = y=-.
2* Ayant x + y = a et xy=:2, il en résulte (528) que x et y sont lel racines de l'équation u* — au = — 2:, qui donne (526)
a . 4 /a* a 4 fc?
L'énoncé exigeant implicitement que x et y aient des valeurs réelles, il
LITIU 1?. — * MAZIMA KT MIKIMA. S17
Qt
faut donc que z=zxyne soit pas supérieur à y, qui est sa valeur maxi*
Qt
mum. Mais quand zs=ixy=. y, les deux racines x et y de Féquation étant égales, on a bien, comme au 1*,
3* Sur une droite ÂB prenons, à la suite Tune de l'autre, les longueurs AG et CB, représentant, à une certaine échelle, les deux nombres x et y, dont la somme a; + y =a=r AB est constante ; sur AB, comme diamètre, décrivons une demi-circonférence, et au point G menons CD -f-y-^B perpendiculaire k AB. Représentant CD par z, on a, quelle que soit la position du point G, c'est-à-dire les valeurs de x et y,
2* = xy.
Le maximum de ay correspond par conséquent à celui de 2* ou de 2; mais z est maximum quand le point G est au centre de la demi-circonférence, et alors on a
^58. Du n* précédent, il résulte :
i* Que de tous les rectangles de même périmètre^ le carré est celui dont la sur/ace est maximum.
2* Que de tous les triangles rectangles dont la somme des deux côtés de Vangle droit est constante^ celui qui est isocèle a une surface maximum.
3* Que de tous les triangles de même base Ketde même périmètre 2 p. /« triangle isocèle est celui dont la surface est maximum. En effet, l'exprèssioa de la surface s du triangle étant (voir trigonométrie)
les facteurs p et p — a étant constants, s sera maximum quand le produit (p — 6) (p — c) des deux autres facteurs sera maximum, or comme la somme 2 p — 6 — c = a de ces deux facteurs est constante, ce sera donc quand on aura p — 6 = p — cou b = c.
tt59. Le produit d'un nombre quelconque n de facteurs positifs, dont la somme a est constante, est maximum quand tous ces facteurs sont égaux entre eux. Car si seulement deux facteurs étaient inégaux, en remplaçant chacun d'eux par leur moyenne arithmétique (309}, le produit de ces facteurs augmenterait et par suite aussi le produit total, sans que la somme de tous les facteurs change.
De là on conclut :
i* Que la moyenne arithmétique de n nombres positifs, qui ne sont pas tous égaux entre eux, est plus grande que leur moyenne géométrique. En
2f8 DCCXIÈMfi PÂllTIE. — AlXèlTRE.
effet, aérant (^,,.<l j , on a bien > \abc...
2* Que de tous les triangles de même périmètre îp, le triangle équilaiéral est celui dont la surface s est maximum. En effet, ayant (538)
^= SP[P — ^) !P — ^^ (P — c,U
puisque p est positif» chacun des 3 autres facteurs doit ôtre positif; car si un seul ou tous Les trois étaient négatifs, s aurait une valeur imaginaire, et si deux, p— 6 et p — c par exemple, étaient négatifs, on aurait %p<b -{-c^co, qui est impossible.
p étant coa&taut, s sera mojdmuni quand les produits des 3 autres facteurs sera maximum, c'est-à-dire quand on aura
p — a=^p — 6 = p — c, ou a=& = c.
i*40. Le produit abc. . . d'un nombre quelconque n de facteurs positifs, dont la somme a** + b* + c* -H* . • àes puissances m*' est cùiktUxfUe^ estvn maanmum quand tous ces facteurs sont égaux enire eux.
Soit, par exemple, à déterminer^ parmi tous les rectangles que l^ok peut inscrire dans un cercle donnée celui dont Faire est maximum,
s étant la surface d'un rectangie inscrit, a: et y ses dimensions, et d le diamètre du cercle ou la diagonale du rectangle, on a
sg &* ou «y = t\ et «* + y* =»^*.
La somme d* des facteurs x* et y' étant constante, pour que le produit «% et par suite la surface s soit maximum, on doit avoir af = y' ou X = y. Ainsi le carré est de tous les rectangles inscrits celui âvnt Vaire est maxiinum,
o4l . 2kl somme x 4- y = a de deux nombres positifs x et y étant donnée, trouver le maximum du produit x*y', dans lequel m et n sont des nombres entiers positifs,
je"* t/**
On a ac"y* = m*»»» ---- x — .
m"^** étant ime quantité constante, le produit x"'sr sera maximum
quand. —~ x ^- sera maximum. Maïs ce dernier produit se composant
de m facteurs égaux chacun à — et de n facteurs égaux diacun à ^t
et lasommûm - +n ?^ = x -f- y de ces m + ^t facteurs étant coirtU»*» m n ^
il est maximum quand tous ces facteurs sout égaux, c'est-à-dire quand
on a
LTVItft It.
HAXmA Xt
ti9
Amti ^le froduU x"y" est Tmmnmm quand xety iani,jir<xpêrii&imetls à Imm ésrpoMnirm et n.
Ce qui précède s'applique quel que soit le nombre deafaoètuns. Bes de« tiq«etioiis
x+y-s^a et — = î^,
on tire (480)
Xc= '
ma
et y =
Agpliaatiûn i^. Inscrire dans un cercle de rayon donné r, le triangle isocèle Â6G de surface maximum.
Soit 2x la base ÂB du trïangle, y sa hauteur, s sa surface, et CD le diamètre perpendiculaire à AB. On a
xy = s et i*« = y(2r— î^).
Ckiite dernière équation exprime que x est moyenne proportionnelle entra les deux segments du diamètre (voir géométrie).
s sera maximum quand xy- ou a?y*c=y» (ir— y) sera maximum. Mais djuis ce dernier produit, qu'on obtient en multipliant par y' la valeur précédente de x*, la somme y + ISU- — y) = 2r est constante. On a donc pour le maximum, 3 étant Texposant du premier facteur y' et l celui du second (2r — y),
Valeur de y qui indique que le triangle maximum est équilatéral.
^••. Construire une boîte de capacité muximum avec une feuille de carton carrée ÂBCD.
Pour construire une telle boîte, on trace à égale distance des côtés de la feuille des parallèles à ces côtés; on enlève les 4 carrés des 4L]igl6Sy et ou relève à angle deoit sur la feuille les 4 rectau^es tels que EFLK. La boîte se trouve ainsi avoir pour fond le carré EFfiH..
Désignant la constante JLB. par it/, et la variable. A& par ;r, la jcapaoité c de la oaisse est
« = (îi— '8«)ftc= * (/ — »)*r,
et ik somme {l — s^-^^as^r^l étant Qoaslantetlcnaxiinum de c ewresreidà
i~ar ^ .. . 4 SU
Fig. 8.
S20 DIUXIÈMI PABTIB. — ALGÈBKB.
Ainsi pour obtenir la boîte la plus grande on divisera AB et ÀD chacun en 6 parties égales, et on mènera les parallèles par les premiers points de division.
3**. On trouverait par une marche analogue quel est le plus grand des cylindres inscrits dans une sphère.
r étant le rayon de la sphère, x le rayon de la base du cylindre, et %y sa hauteur, on trouve
y=^,ou «y = rA, et x = r)^^.
4**. Circonscrire à un cylindre donné le cône de volume minimum, h étant la hauteur du cylindre et r le rayon de sa base, appelant y la hauteur du cône et x le rayon de sa base, on arrive pour le minimum cherché k
y=3h et a:=5r.
542. Décomposer U7i nombre donné a en deux facteurs x ety dont la somme z soit un minimum. Ayant
x^y=zz et xy=za^
X et y sont, pour une valeur quelconque de z^ les racines de Téquation tt« — aJtt = — a, qui donne (526 et 527)
xety devant avoir des valeurs réelles, y doit au moins être égal à a,
ou 2 à 2^; à cette limite inférieure, les deux racines sont égales, et Ton a
Ainsi, le minimum de la somme x + y de deux facteurs variables po^ sitifs, dont le produit xy=idL est constant^ a lieu quand chacun de ces facteurs est égal à la racine carrée du produit donné (537).
Il en résulte :
1* Que de tous les rectangles de même surface^ le carré est celui qui a le plus petit périmètre.
2* Que de tous les triangles rectangles de même surface^ le triangle isocèle est celui dans lequel la somme des côtés de Vangle droit est un minimum.
545. Le minimum de la somme d'un nombre quelconque n de facteurs variables positifs^ dont le produit a est constant^ a lieu quand tous ces
facteurs sont égaus, c'est'àrdire quand chacun d'eux est égal à sja. Car si seulement deux facteurs étaient inégaux, en remplaçant chacun d*eux
LITRE lY. — HÀXIHÀ ET KINIMA. 2S1
par leur moyenne géométrique, leur somme diminuerait, et par suite
aossi la somme totale, sans que le produit de tous les facteurs change
M4. La somme x' + y' = z des carrés de deux quantités variables x et
y, don^ la somme x + y = a est constante^ est un un minimum quand
ces deux quantités sont égales entre elles ^ etj par suite, égales cha~
. a cune a-.
Élevant au carré les deux membres de Fégalité
x + y=za, on tire x' + y» = a' — 2ay,
et 1 on voit que x* + y* sera minimum, quand xy sera maximum, c'est*-à-
dire quand on aura (537) x = y = -. *
n en résulte que :
1* De tous les triangles rectangles dont la somme des côtés de Vangle droit est constante, celui qui est isocèle a la plus petite hypoténuse.
ST De toti* les rectangles de même périmètre^ le carré a la plus petite diagonale,
^ De tous les carrés inscrits dans un carré donnée le plus petit a pour sommets les milieux du carré donné,
Mo. Les questions qui précèdent rentrent dans la question générale suivante : Trouver le maximum et le minimum du trinôme,
ax^+bx + c,
Désignant par y la valeur variable avec x de ce trinôme, on a
ax* + ôx + c = y ou ax*H-6x + c— y = 0;
d*où Ton tire (530)
^6=fcv/4oy — (4ac-~fe«) *■" 2a
Ainsi pour que la valeur de x soit réelle on doit avoir
4ay>4ac — 6*. {{}
£t il y a deux cas à distinguer, suivant que le coefficient a de x* est positif ou négatif.
*•' cas. Pour a > 0, la relation (i) donnant
= 4ac— ô« ^>-4Ï-'
on voit que dans ce cas, pour les valeurs réelles de x, la plus petite va-
I j 4(zc — - 6'
'«''■acyest — -- — , et comme pour ce minimum le radical devient
wro, on a en ro Ame temps x = — ^.
SJHI DimÈIIE FAKTU. — ALCiBIIB.
Ainsi les trinômes
3x«— 7a; + 2 et x« + x+l,
dattfl l«s«pieto le Goeiicienide 2' est poeitif, ont reapoctiv^iuant pour calêwr minimum absolue:
4x3x2—7x7 25 , . , 7 7 4^^3 =~Ï2' q^^^^û^responda x = -g3^ = -;
j^^-^ ^ = j, qui correspond à a: = — ^.
2* co^. Potir a < 0, là* relatton (1) donnsnf, puisque 4a est négatif,
=:4ac — 6»
4ac-*-6' on voit qu'alors la pTus grande valeur de y est — r , et que ce tiMort-
mum correspond kx=z — — .
Ainsi le trinôme —-9x» + 6x — l, dans lequel le coefficient de a;* est négatif a pour valeur maaimum ab^lue
4X--9X — 1—6x6 36—36 ^ . .. 6 ! 43^=9 =-ir3g-=0,quicorrespondàx=-2^^-^=3.
TROiMEMfi PARTIE^
