LIVRE I

Xe piMi (559).

7S6. Une. ligne droite AB et un plan MN sont 'perpendiculaires Vun à Fiff i«o l'autre lorsque la droite est perpendiculaire à toutes

les droites CD, £F... qui passent par son pied dans le plan. Ils sont obliques Vun à Vautre lorsque la droite n'est pas, perpendiculaire .à toutes celles gui

Z^ 1 —j passent par son pied dans lo plan. g^^^B^ / ^^ ^"^* ^"^ A'Bsoit perpendiculaire à deux droites

•u CD, EK qui passent par son pied dans le phtn-pour qu'elle le soit ^t toutes, c'est-à-dire pour qu'elle soit perpendiculaire au plan.

*757. Toutes les perpendiculaires CD, EF ... menées h une droite AB, par un môme point B, sont situées dans un même plan MN, qui est perpendiculaire a AD.

738. Par un point quelconque A ou B on peut toujours mener une perpendiculaire AB à un plan MN; mais on n'en peut mener qu'une.

739. Le pied B de la perpendiculaire abaissée d'un point A sur un plan est la prnjectioji dr cr point sur le plan,

La ligne formée par les projections des points d'une lîfjne sur tm plan est la projection de cette ligne sur le plan (689).

740. Par un point B pris sur une droite ou par un point Cpris hors 0tfi*cette droite, on peut toujours mener un plan MN perpendiaikirB à iùdUe droite ; iiaais -on n'en peut mener quun.

LITAE I. LE fLAX. 263

741. Lorsque 'û'xm point fris hors â^un plan on ahaisse^ime perpen- Fig. 101. dèeulaire et différentes - obliques : 1" la perpendi-

culaire OG «stplus courte que toute oblique OA; T il€ttx oèlk|ues OA, OB qui s'écartent également l\ du pi6d de la perpendiculaire (GA = !(;B) sont

I % égaies, et réoiproqtteiRent; 3*" des deux obliques

j^X^ y OA, OC fui »'écartent inégaleiDenttithi pied de la

vAx*^ Vp perpendioriaire, celle OC qui s'«n écarte le plus / K^ A^'^9/ est la plus longue, et réciproquement (583).

La prrpeadrcalaire QG étant le plus court chemin du point 0 au plan, elle t%\A9L àiaiaiice dupoint 0 eunplan.

Le lieu des pieds des ol>liques égales menées d'un<«énic point 0 à un plan est une eirconférence qui a pour eentre le pied G de laperpendiculaire. De là il résulte que pour mener par un point 0 pris hors d'un plan une perpendiculaire à ce plan, on inarque sur le plan trois points ABA' également distants du point 0; on détermine le centra G de la ciroonfn*esce qui passe par ces. trois 'points, et OG est la per* pendiculaire demandée. '

T42. Vongle d'une droite OA et efun-p/an est le plus petit des angles que forme la droite ayec les différentes droites qui passent par «on pied dans le plan. Ce plus p^Wi angle es^t celui OAG que fait la droite avec sa projection AG sur le plan (569, 739).

"743. Un plan perpendiculaire à une verticale est dit horizontal (^74). Comme la verticale, le plan horizontal varie pour chaque point Vic'ia surface du globe.

Un plan oblique sur la verticale est AWincliné à Vhorizon,,

744. La ligne de plus grande pente dkunplan est celle de toutes les droites que Ton peut tracer dans ce plan qui fait le plus grand angle avec le plan horizontal, et, par suite, le plus petit avec la verticale.

Traçant dans un plan, d'abord une horizontale, puis une perpendiculaire à cette horizontale, la perpendiculaire est la ligne de plus grande pente du plan.

74o. La perpendiculaire menée par le centre d'un cercle à son plan est le lieu .géométrique des points également distants de la circonférence (566).

746. Le plan perpendiculaire sur le milieu d'une droite est le lieu géométrique des points également distants des extrémités de cette droite (584}.

747. Lorsque du pied B d'une perpendiculaire AB ii un plan MN on abaisse une perpendiculaire BC sur une droite DE tracée dans ce pLan, et qu'on joint le pied de cette pcrpeadiculaire à. un point quelconque A de la perpendiculaire au plan, la droite AC qui en résulte est perpendiculaire à la droite DIE. (Ce théorème est souvent appelé théorème des trois perpendiculaires).

TROISIÈME PÀHTIE. — GÉOMÉTKIB DB L'ESPACE.

Fig. 103.

748. Lorsqu'une droite AB est perpendiculaire k un plan» toute parallèle A'B' à AB est aussi perpendiculaire k ce plan.

Héciproquemeni, deux perpendiculaires AB, A'B' k un même plan sont parallèles.

Corollaire. Deux droites parallèles k une troisième sont parallèles entre elles (593).

749. Par un point quelconque de Fespace on peut toujours mener une parallèle k une droite donnée ; mais on n'en peut mener qu'une (588).

7^0. Une droite est parallèle k un plan lorsque sa direction ne rencontre pas le plan (587).

751. Deux plans sont parallèles lorsqu'ils ne se rencontrent pas (559).

752. Toute droite AB parallèle k une droite A'B' tracée dans un plan est parallèle a ce plan.

Corollaire 1. Par une droite donnée, on peut mener un plan parallèle k une droite donnée.

Corollaire 2. Par un point donné, on peut mener un plan parallèle k deux droites données. 755. Une droite AB étant parallèle k un plan» tout plan ABA'B' conduit suivant cette droite coupe le premier suivant une droite A'B' parallèle k AB.

Corollaire i. Lorsqu'une droite AB est parallèle k un plan, si par un point A' de ce plan on mène une parallèle A'B' k AB, elle est contenue tout entière dans le plan.

p. j^5 pj|^ 104 Corollaire 2. Toute droite AB pa-

rallèle k deux plans P et P' qui se coupent est parallèle k leur intersection xy [fig. 105).

Corollaire 3. Deux plans P, P'

passant par deux droites parallèles

AB, A'B' ne peuvent se couper que

suivant une droite xy parallèle aux

deux premières {fig, 406).

Deux plans perpendiculaires k une même droite sont parallèles.

Les intersections AB, A'B' des deux plans parallèles P, P' par un

troisiôme Q sont parallèles.

74>6. Si une droite AA' est perpendiculaire au plan P, elle est perpendiculaire k tout plan P' parallèle au premier.

Corollaire 1. Deux plans parallèles k un troisième sont parallèles entre eux.

Corollaire 2. Par un point pris hors d'un plan on peut mener un plan parallèle au premier; mais on n'en peut mener qu'un.

757. Les parallèles comprises entre deux plans ou entre une droite et un plan parallèles sont égales.

Fig. 107