LIVRE IL

AsslM p^lyèdVMi. Wljéêrwt, SyniéMIe.

Fig. 114.

787. On appelle angle solide ou angle polyèdre la figure limitée a un point S, et formée par au moins trois plans qui passent par ce point et se coupent consécutivement deux à deux.

Le point S est le sommet de Tangle polyèdre.

Les intersections consécutives SA, SB... des plans qui

forment Tangle polyèdre sont les arêtes de cet angle;

chaque portion de plan indéfinie ASB comprise entre

deux arêtes consécutives en est une face; chaque angle

ASB formé par deux arêtes consécutives en est un angle

plan, et chaque angle dièdre SA formé par deux faces consécutives est

un de SCS angles dièdres.

Un angle polyèdre se désigne par la lettre S de son sommet, ou, pour éviter la confusion quand plusieurs angles polyèdres ont même sommet, par les lettres SABGD de ses arêtes, en commençant par celle du sommet.

788. Nous ne considérerons que les angles polyèdres convexes, c'està-dire situés tout entier d*un même côté de chacun des plans qui les forment (615).

789. Un angle solide prend respectivement le nom d'angle trièdre^ tétraèdre, pentaèdre..,, suivant qu'il a trois, quatre, cinq... faces (597).

700. Un angle trièdre est bireciangle ou trirectangle suivant qu'il a deux ou trois angles plans droits.

701. Deux angles solides coïncident quand ils ont même sommet et que leurs faces coïncident.

Deux angles solides susceptibles de coïncider sont égaux,

792. Deux angles solides SABC, SA'B'C sont opposés au sommet lorsque chacun d'eux est formé par les prolongements des faces de Fautre.

LITRB II. — AKGLES POLTÈDRES P0LTÈDKE8. SYMÉTaiS.

Fig. 116.

7W. Deux angles trièdres S et S' sont égaux :

l*" Quand ils ont un angle dièdre égal compris entre deux angles plans égaux chacun à chacun et situés de la même manière : SA = S'A', ASB=A'S'B', ASC = A'SX';

T Lorsqu*ils ont un angle plan égal adjacent à deux angles dièdres égaux chacun k chacun et situés de la même manière: ASB = A'S'B', SA = S'A', SB = S'B';

3* Lorsqu'ils ont les trois angles plans égaux chacun k chacun et situés de la mênie manière : ASB = A'S'B', BSC = B'S'C, CSA = CS'A' ;

4* Lorsqu'ils ont les trois angles dièdres égaux chacun k chacun et situés de la même manière : SA = S'A', SB = S'B', SC = S'C (620). 794. Deux angles polyèdres quelconques sont égaux : i* Lorsqu'ils ont les angles dièdres et les angles plans égaux chacun k chacun et placés de la même manière.

2* Lorsqu'ils ont leurs arêtes parallèles chacune k chacune et situées de la même manière.

796. Deux angles polyèdres quelconques opposés au sommet ont le» angles dièdres et les angles plans égaux chacun k chacun (792), mais situés dans un ordre inverse. Ainsi, ils peuvent ne pas être égaux, c'estk-dire susceptibles de coïncider.

796. Dans tout angle trièdre, un angle plan quelconque est plus petit que la somme et plus grand que la différence des deux autres (602).

797. La somme des angles plans d'un angle polyèdre quelconque est moindre que quatre angles droits.

798. Les plans bissecteurs des trois angles dièdres d'un trièdre se coupent suivant une même droite, qui est le lieu géométrique des points situés dans l'angle k égale distance de ses faces (566).

799. Si d'un point S', pris dans l'intérieur d'un angle trièdre SABG^ on abaisse des perpendiculaires S'A', S'B', S'C sur les faces respectives BSC, ASC, ASB de cet angle trièdre, on forme un second angle trièdre S'A'B'C, sur les faces respectives B'S'C, A'S'C, A'S'B' duquel les arêtes SA, SB, SC du premier sont perpendiculaires.

De plus, les angles trièdres S et S' sont suppléa mentairesy c'est-k-dire que les angles plans de chacun d'eux sont les suppléments des angles plans des angles dièdres de l'autre (775). Ainsi, A'S'B' est le supplément de l'angle plan A'OB' de l'angle dièdre SC; de même l'angle ASB est le supplément de l'angle plan de l'angle dièdre S'C.

800. Un solide terminé de toutes parts par des polygones (596) se nomme polyèdre. Ces polygones sont les /aces du polyèdre. Une droite saÎTant laquelle deux faces consécutives se rencontrent s'appelle arête ou côté da polyèdre. Les sommets d'un polyèdre sont les sommets des

Fig. 117.

TftOiSIÊue PARTIE. — GtOMÉTRlC DB L*ESPiieE.-

Fig. 118.

angles solides formés par ses faces. Une droite-qui joint dcnx sommets non situés sur lat même iaoe est une diagonale du polyèdre.

80i. Un polyèdre prend respectivement les noms de tétraèdre^ peniaèdrcy hexaèdre,..^ selon qu'il at4v5^ 6... faces (397). 802. Le prisme est uapolyèdre compris sous plusieurs plans qui se rencontrent consticutivement suivant des droites AG, BH, CI... parallèles entre elles, et qui se terminent de part et d'autre à deux plans parallèles. Ces droites sont les arêtes laièrcdes du prismei. Chacune des faces .40116, B€UL.., conifirises-ontre deux arêtes latérales est une face latéraÀe du.prismei Les deux polygones ABCDE, FGHIK auxquels se' terminent les arêtes latérales sont lee^ôascr* dm prismsi. La haïUeur du prisme est la distance^de» deux " bases >(757)..

805. Dans tout prisme lesarétes- latéralee«ent égales entre dles (7S7), eiles'faces latérales sent des parallélognmmies (605).

804. Un prisme est droit ou o6/t9ii«- selon que ses arêtes latérales eont pcrpendiiïuleires ou obliques aux plans des bases (736).

805. Un prisme est triangulaire, quadrangulaire^. pentagonaL.,^ selon que .ses-baaes -sent des trim^es^ des qnadrilatàres, desipeattgooee... (597).

806. Un prisme est dMréguUery lorsqu'il est droit et que «attese^ett:un polygone régulier (714).

8OT. Los- j;ectionB- faites daau •un.prisffio<p»r des^plims panailàlesiMiit des polygones égcuxi Ainsi les* deux bases d'im^ prisme soBt.égpies,. et toute section faite par un plan parallèle . aux bases: est égale à ces bases.

808. Lai section faite dans un prisme par nn plas perpMidicidttrst;aax arêtes latérales est dite section droite},

809. Un tronc de prismeesi la partio d'ua prisme-compmeientfe l!QflB' des' bases et la section faite par un plan non parallèle à la; base. Gfiitte bise et la .section sont les bases du tronc (9i0).

aïOi (kk donne le nom de parallèlipipède à-un prisme qui a pour base un. parallélogramme ËFGHi (60^).

Ainsi- un paraUélipipèda est: un> hexaèdre . compris sous six parallélogrammes deux, àr deux égaux et parallèles.

Lai'^ows dJtxn pasfalUlipipèdB e^ indifféremraeDt une fsM»! quelconque. La hauteur d'un parallèlipipède est la distimoedelarbase àila.lase ofiposéei 81 1 . Le parallélij^ipède rectangiewi celuidentisHlsi: les'faces sent des rectaagiee. Lestroés arêtes adj^aœntes ËD, EH^ BF; qui aboutissent à un même somm^queLsonque E,. sonAiperpendienr laires- en tpe elles.

ai2i LBrtr€nsditnensmned'un*parfMélipipèdereolmiigie^eùa^ dimensâôiiadS!saxlMMe:et sa hauteurt c!esl^«-ëiretses^tsoîcarèt^<a^ ceiitcs:<MO>.

Fîg. 119.

LIVR£ II. — • ANGLES: PacràVRES. POIiYtolIfiS* SIVÉn'RIE.

81^ Le cube, est un parailélîpipèdo r«ctaa^ dont toutes les faees

sent des carrés. Toutes les arêtes sont égales.

814. LsL pyramide est un polyèdre compris sous un polygone AB€D;

et lea- triangles qui ont pou-r bases les difiërcnts côtés

da: polygone et pour* sommet ' connmin un- point S'

situé'hors du plan de ce polygones Le polygone ABCD

est'la ba»â de la pyramide. Le sommet S' opposé k la

base eai le sommet de la pyramide, La hauteur de la

pyramide est la perpendiculaire SO abarâsée du> sonr-

mct sur le pian de la base. Les arêter- latérales éCmte

pyramide sont celles SA, SB... qui joignent lé sommet

à la base. Lea- faces latérales d^vne pyramide sont

celles SAB, SBC... qui ont pour sommet' commun

celui de la pyramidew-

81i>. \}tie pyramià0 est trianguiaive;, quadranyniaire^ pentagonale,,. selon, qu'elle a pour- base un triangle, un quadrilatère, un pentagc»ie... (5d7).

8-IC. Une pyramide est dite régulière^ lorsque sa base est un polygone régulier et que ses arêtes latérales sont égales entre elleSi Sa sur^* face latérale est composée de triangles isocèles égaux dont la hauteur pst Tapothème de la pyramide (744, 717). ai 7. Un plan P, parallèle au plan de la: base ABCUË d'une pyramide, 1" coupe en parties propoptionnslleft les' arêtes latérales SA^ SB.^ et la. hauteur, ^i.

. . .If SA SB- SA

Amsilona gj, = - , -

AIft'C'D'E' est semblable k la base, et le rapport de ces polygones est égal à celui des carrés des arêtes latérales et des hauteurs des deux ' pyramides: ainsi

ABCDE' Ja^ SÂ^ A'B'C'D'E'.-sr'""s//

Fig. 121.

= gjn; 2Ma section

846} lieseeetions faites dans doux: pyramiëea

de même hauteur par des plans menés à égale

distance des bases- et parallèlement k ces bases sont entre elles comme

ces bases. Si les bases sont égales ou équivalentes, les sections le sont

également:

819. Un tronc de pyramide est la partie d'une pyramide comprise entre la base et la section faite pas un plan quelconque. La base de la pyran)ide et la section sont les hases du tronc. Lorsque le tronc de pyramide est à bases parallèks {fiy^ 121), la.hauteut du^troac est la distance hh' des deux bases (911).

880» Un polyèdre ent cùnceœe lorsqu'il est situé entièrement d!un même côté du plan de Tune quelconque de ses faces (615).

821. Deux polyèdres sont de 'même, espèce lorsque leurs surfaces sont composées d'un même nombre de triangles, de quadrilatères, de pen-

S72 TROISIÈMB PAKTIB. — GÉOMÉTRIE DE L*E6PAGB.

tagones... situés de la même manière. Ainsi deux prismes ou deux pyramides sont de même espèce, lorsque leurs bases ont le même nombre de côtés.

822. Deux tétraèdres sont égavx (801): 1' quand ils ont un angle solide égal compris entre trois arêtes égales chacune k chacune et situées de la même manière; V quand ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et situées de la même manière; 3*" lorsqu'ils ont une face égale adjacente à trois angles dièdres égaux chacun à chacun et situés de la même manière ; 4* lorsqu*iI$ ont les arêtes égales chacune à chacune et situées de la même manière (793).

825. Deia prismes sont égavx lorsqu'ils ont un angle dièdre k la base égal et compris entre deux faces égales chacune à chacune et situées de la même manière. Deux prismes droits de même base et de même hauteur sont égaux. Tous les cubes qui ont un côté égal sont égaux.

824. Dans tout polyèdre le nombre des sommets augmenté du nombre des faces est égal au nombre des arêtes augmenté de deux unités. Ainsi S étant le nombre des sommets, F celui des faces, et A celui des arêtes, on a

825. Le nombre des conditions nécessaires pour Tégalité de deux polyèdres de même espèce (821) est égal au nombre A des arêtes.

826. La somme des angles plans de toutes les faces d'un polyèdre est égal k autant de fois quatre angles droits qu'il y a de sommets moins deux dans le polyèdre. Ainsi, s étant la somme des angles plans exprimée en angles droits, et S le nombre des sommets, on a

*=4(S — 2); pour S = 8, * = 4(8 — 2) = 24 droits. (618;

827. Dans tout parai lélipipède (810): l"" les diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales; 2* la somme des carrés des diagonales est égale k la somme des carrés des côtés. Ainsi, A, B, C, D, étant les diagonales, et a, 6, c étant les trois côtés adjacents, on a

Pour le parallélipipède rectangle^ les quatre diagonales sont égales, et Ton a

4D* = 4a* + 46« + 4c« ou D« = a« + 6* + c«,

c'est'k-dire que le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des trois côtés.

Si le parallélipipède est tm cubej les trois côtés sont égaux, et l'on a

D« = 3c«, d'où Î=V3. (705)

LIYIVE 111. — LBS TROIS CORPS RONDS. S73

Ainsi le rapport de la diagonale au côté du cube est égal à la racine carrée de 3.

828. Deux points sont symétriques par rapport à un troisième, lorsque celui-ci divise en deux parties égales la droite qui joint les deux premiers.

Deux points sont symétriques par rapport à une droite ou à un plan, lorsque cette droite ou ce plan est perpendiculaire au milieu de la droite qui joint les deux points.

829. Deux droites sont symétriques par rapport à un point, à une droite, à un plan, lorsque leurs extrémités sont symétriques par rapport k ce point) à cette droite ou à ce plan.

Ce point, cette droite, ce plan s'appellent respectivement centre de symétrie, axe de symétrie, plan de symétrie,

850. Deux polygones ou deux polyèdres sont symétriques par rapport à un point, à une droite ou à un plan, lorsque chaque sommet de Tun est symétrique d'un sommet de l'autre par rapport au point, à la droite ou au plan dont il s'agit.

851. Deux droites, deux polygones ou deux polyèdres symétriques par rapport à une droite sont égaux entre eux.

852. Deux droites ou deux polygones symétriques par rapport \x un point ou par rapport à un plan sont égaux.

855. Deux angles polyèdres ou deux polyèdres symétriques par rapport a un point ou par rapport à un plan dont les angles dièdres homologues égaux et situés dans un ordre inverse.