UVRE V. — HJSSCRE DES POLYÈDRES
Mi. Un tronc de pyramide.quelconqucàbases parallèles ABCDËFGH (819) est équivalent à la somme de trois pyramides ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc, et pour bases respectives: la base inférieure ËFGH du tiY)nc, la base supérieure ABCD et une moyenne proportionnelle entre ees bases (316). Ainsi H = Sl",5 étant la hauteur du tronc, et B = S-'jîS et b = i»*,90 ses deux bases, son volume V est (907).
V=|flxB4-|Hxô + 5Hs/B5=gH(B + ^4- V^l^) = = ^ 2,5 (a,25 + 1,30 + V'^>2* X 1,90) =6''%3fiSL
912. Les volumes de. deux polyèdres semblables sont entre eux comme les cubes des arêtes ou des diagonales homologues (889), et leurs surfaces sont entre elles comme les carrés de ces mêmes lignes.
Les volumes de deux prismes ou de deux pyramides semblables sont, de plus, entre eux comme les cubes de leurs hauteurs, et leurs surfaces latérales ou totales comme les^ ewrré^ ée ces dimensions. (2uand ces polyèdres sont réguliers et semblables (892), leurs volumes sont encore entre eux comme les cubes dos rayons des cercles circonscrits ou inscrits aux bases, et leurs surfaces latérales ou totales comme les carrés de ces rayons (700).
915. Volume d'un ias de pierres et capacité 6un tombereau. Un amas
de pierres concassées destinées à l'entretien d'une
Fig. 131. j^^y^g ^ p^yj, jjg^ggg inférieure et supérieure des
rectangles, et seii rohime est
A est la hauteur du tas, c'est-à-dîre la perpendîciîhiîrc abaispsée d*un point du plan de sa base supérieure sur le plan de sa base- inférieure; a eib sont les dimensions do la. base inférieure, et a' et b' celles de la base supérieure.
A- Taide de la fornmle précédente on calcule aussi la capacité d'un tombereau.
Si b' était nulle, ce qui a quelquefois ïïeu pour les piles de boulets^ on aurait
iorsf iM les deux bases sont sttaiMabtes, le solide est «d tronc de jfjraiiude, et son volume peut se. calcadear à Faide de la fotrauk diA
Fig. flSt.
914. Cubage des terrasses. Pour le calcul des déblais ou remblais, on divise le volume total en parties limitées latéralement par des plans verticaux, inférieurement par un quadrilatère ÂBCD, et supérieurement h la surface du sol, qui n'a en général rien de géométrique, mais que Ton suppose être une surface gauche engendrée par une droite qui se meut en s'appuyant sur deux droites opposées EF, HG ou EH, FG, qu'elle divise en parties proportionnelles dans chaque position. Les points E, F, G, H, se trouvent à la surface du sol.
Le quadrilatère ÂBCD étant quelconque, désignant respectivement les surfaces des triangles
ABC, ABD, CDA, CDB,
par 6, b\ b'\ b'\
le volume V du solide se calcule par la formule
b(h ■\-K-\- hf") + b\h + A^ + hT) -h V\h + h" -h h!") + ^jh' -^h" + hT)
Lorsque ABCD est un trapèze, AB étant parallèle à CD, on a 6= 6' et 6"= 6'% et la formule précédente devient
b(^h + %h! 4- h" + h'") + b'^jh ^W-\- ^h" + W)
Si ABCD est un parallélogramme, on a 6 = 6'=6"=t'% et il vient
v bih-^-h' + N^-^h") __ ^ A + A^A^^ + A" V - - tt -^ ,
B =?SI6 étant la surface de la base totale ABCD.
Si, de plus, la base supérieure EFGH est plane, on a /i + h"^h' -f h"^ et par suite,
Quand la base ABCD se réduit à un triangle ABC, le solide devient un tronc de prisme triangulaire, et Ton a (910), B étant la surface du triangle ABC,
Il peut arriver que la base supérieure se réduise à une seule arête EF, les hauteurs h" et h"' devenant nulles. Dans ce cas, selon que la base ABCD est un quadrilatère quelconque, un trapèze ou un parallélogranune, on a respectivement, en faisant A" = h!" = 0 dans les formules
LITRB TI. — tSS P0LTÈDRE8 RÉCDUXKS, ETC. S8S
précédentes :
„ h(b + b'+b") + h'jb+b' + V^ y ë '
y bjih + ih') + l/'{h + h') __ (h + h') (86 + y) 6 6 '
Enfin si la base supérieure se réduisait à un seul point, celui E par exemple, le solide serait une pyramide, et Ton aurait (907)
