PROBLÈMES

le moyen de mener une perpendiculaire ir sur le milieu d'une droite AB. 974. Elever une perpendiculaire à Vextremiié B d'une droite AB qu'on Fîg. 150. ne peut prolonger, D*un point 0 convenablement

choisi comme centre, avec OB pour rayon, on décrit un arc de cercle; on mène DO, qu'on prolonge jusqu'en G, et la droite BC est la perpendiculaire demandée (654).

La perpendiculaire BG peut être directement ^ j/ menée en faisant usage de Féquerre (973).

Fig. 191.

Autre construction, I)e l'extrémité B comme centre, avec un rayon arbitraire, on décrit un arc de cercle; du point D comme centre, avec le même rayon, on décrit un second arc qui coupe le premier au point E; du point Ë comme centre, toujours avec le même rayon, on décrit un troisième arc de cercle; on mène la droite D£, que l'on prolonge jusqu'à sa rencontre avec le troisième arc en G, et traçant la droite BG, elle est la perpendiculaire demandée. En effet, si du point E comme centre, avec ED pour rayon, on décrivait une demi-circonférence, elle passerait par les trois points DBG, et l'angle B y serait inscrit (654).

978. Diviser en deux parties égales : 4* une droite limitée AB; 2* un arc de cercle AmB; 3" un angle au centre AGB correspondant à Varc AmB. Des points A et B comme centres, avec un rayon convenable, qui est toujours plus grand que la moitié de AB, on décrit deux arcs de cercle qui se coupent en I et T, et menant IF, cette droite est perpendiculaire sur le milieu de AB et résout les trois problèmes (584, 635, 636). Répétant la même construction pour chaque moitié «de AB, cette droite sera divisée en 4 parties égales, ' qui pourront à leur^tour être divisées chacune en 2 parties égales, et ainsi de suite ; ce qui permet de diviser une droite en ^parties égales^ n étant un nombre entier (994).

Opérant de même sur chacun des arcs Am, wiB comme sur l'arc AB, chacun de ces arcs ainsi que les angles AGm, mGB seront divisés en 2 parties égales, et l'on voit qu'en continuant ainsi de suite on pourra encore diviser un arc ou un angle en 2*" parties égaies.

076. Mener la bissectrice d^un angle dont on ne peut prolonger les côtés AB , GD jxisquà son sommet. On mène aux distances EF = GH des parallèles & AB et GD; l'angle de ces parallèles est égal k l'angle des deux droites données (595), et, de plus, sa bissectrice IK (975) satisfait à l'énoncé.

Pig. 153.

TEOISIÈME PARTIE. — GÉOMÉTRIE.

Fig. 154.

Fig. 155.

'977. Far tm poiat A, pris hon dtme droite CD, maffier tme parai-' lèle à cette droUe, Du peint B pris sur CD, eomme centre, avec un rayon suffisamment grand, on> décrit un arc de cercle AC; du point A comme centre, avec le même rayon, on décrit / "- / un second arc de cercle, sur lequel on prend

~"c t~~û BE=AC, et la droite AE est la parallèle de-

imaadée (590, 636).

Si CD a une longueur auffisante, on prolonge Tare CA décrit du point B comme centre jusqu*en D; on prend DE = GA , et menant AE on a la parallèle demandée (645). Cette construction n^exigeanl qu'un centre, elle est pratiquement préfiérable k la précédente, quand elle permet de déter- '^ B '"d^ miner les points A et E assez espacés pour

qu'on puisse tracer facilement la parallèle. Vour résoudre le même problème au moyen de Véquerre^ on fait

coïncider Thypoténuse de Téquerre BGE avec la droite CD ; on applique une règle contre le côté EG , et faisant glisser Téquerre le long de la règle jusqu'à ce que l'hypoténuse passe par le point Â, •la droite E"B" tracée en suivant cette hypoténuse est la parallèle demandée (590).

Toute autre position E'B' que prend l'hypoténuee pendant le mouvememt d« l'éqnerre est aussi parallèle à CD. '97B. Mener ^ par un point dornvèk^ une- droite qui passe par le sommet d'un angle dont on ne peut prolonger Us coih ^BC, D>E. On joint A k deux points B et D pris sur les côtés de Tangle, eti'on trace BD; puis» en menant CE parallèle k BD, CF k BA et EF à DA, la droite qui joint A à F satîsftit à l'énoncé. Cette construction est la même quand le point A, au lien d^étre situé dans l'angle donné, est en dehors.

Four avoir le point C , commun à une droite DE et au àham le- plus court ACB que Fan peut trader entre A ^ B an venant toucher DE , du point A on abaisse une peipendiculaire k DE, on prend 'DA'rz: DA, et la droite A'B détarmine le point C. Ainsi Fon a AG+CB<AC'-hC'B. En eiffet, ayant AC= A'C at AC'sr A^C' (584), on a AC-hCB=A'B et AC'+C'B=à'C'+C'B; or ayant A'B<A'C + CB (602), on a donc bien aussi AG + CB < AC'+C'B.

tw.

Vî //

)yc

i>nOBLÈM£S.

Ud cocps élaslîque, ou un rayon de chaleur ou de lumière, qui part da point A et yieut frapper D£ pour aller passer en B, suit le plus court chemin ACB. H est à remarquer que CA et CB font des angles égaux avec Dfi^ ainsi qu'avec la perpendiculaire CF, AGI) = BGE et ACF = BCF; c'est ce que Ton exprime en disant que Tangle d'incidetice ACF est égal à l'angle de réflexion BCF.

Pour aller frapper une bille A avec une autre B, en touchant d'abord

la bande DE du billard, le joueur mène par la pensée DA'=: DA, et il

vise le point M,

Si DE est une rivière dans laquelle on veut faire une seule prise d'eau

pour alimenter deux usines A et B {fig, 158),

le point C est celui qui donnera le minimum

de longtieur de conduite.

Si d'un point B on veut atteindre la bUle A en touchant d'abord les deux bandes MN, NP, on prend sur AA', perpendiculaire k NP, DA'=DA, et sur A'A", perpendiculaire à MN, D'A''= D'A'; visant alors le point A", la bille se réfléchit en C vers A', et arrivée on C elle se réfléchit vers A:

ii«..l!M.

^"^Jr

CIRCONFÉRENXE. TANGENTE.

PIg. MO.

980. Décrire une circonférence 'passant -par trois points donnés ABC, non en ligne droite (650). On mène AB, BC, sur les milieux E , F de ces droites on élève des perpendiculaires qui se coupent en 0, et la circonférence décrite de ce point comme centre avec AO pour rayon satisfait à l'énoncé (635, 975).

Pour déterminer le centre d'une circonférence, on tracerait deux cordes AB, BC, et les perpendiculaires menées au milieu de ces cordes se rencontre raien tau centre 0.

On déterminerait de même le centre et par suite le rayon d'un arc de cercle.

La construction précédente fournit le moyen de circonscrire un cercle à un triangle donné ABC (658j.

081 . Pour inscrire un cercle dans un triangle donné ABC, on mène les bissectrices AO, BO de deux angles A et B du triangle (975) ; du point de rencontre 0 de ces bissectrices on abaisse la perpendiculaire OC à l'un des côtés AB du triangle, et OC est le rayon du cercle demande (586, 657).

En menant {fig, 62) les bissectrices des an-

Fig. m.

gles extérieurs du triangle, on obtient les centres des trois cercles

exinscrits au triangle, et les rayons se déterminent comme pour le

cercle inscrit.

982. Mener une tangente à un cercle: i* par un point pris sur la

Fig. iw circonférence; 2* par un point pris hors du

cercle,

!• On mène le rayon Om passant par le point donné, et la perpendiculaire AB- menée à Textrémité de ce rayon est la tangente demandée (643, 973).

2* On joint le point donné m au centre; sur Om comme diamètre on décrit une circonférence qui coupe la circonférence donnée en T et T', et les deux droites mT, mT satisfont à l'énoncé. En effet, menant OT et OT', les angles OTm, OVm sont droits comme inscrits dans un demi-cercle (654), et, par suite, mT et mT sont tangentes à la circonférence 0 (!•).

Fig. 163.

Fig. 164.

Fig. 165.

98S. Par un poird A, pris sur un arc de cercle dont on ne connaît pas le centre y mener uhe tangente à cet arc. On détermine deux points B et C également distants du point A, et menant par A la droite DE parallèle k BC, elle est la tangente demandée.

984. Mener une tangente commune à deux cercles G et C A la plus grande circonférence on décrit une circonférence concentrique ayant un rayon égal à la différence des rayons des circonférences données; par le point C on •-T-^-- Y-. Y ! v^*- trace une tangente C'T k cette circonfévcr^Vi"' -Y'ic") — rence; on mène le rayon CT passant par le point de contact; on le prolonge jusqu'en A, et menant AA' parallèle à C'T, elle est perpendiculaire aux extrémités des rayons CA, C'A' et satisfait à la question.

La môme construction reproduite audessous de la ligne CC fournit une seconde solution BB'.

Si Ton prend CT = CA + C'A', et que

Ton construise la fig. 166 en suivant la

même marche que dans le cas précédent,

' on obtient deux tangentes intérieures qui

satisfont encore à la question (666).

Remarque. Lorsque les deux circonférences données sont tangentes extérieurement, les deux tangentes intérieures se

Fig. 166.

mOBLÊMES.

réduisent à une seule, et alors il n*y a plus que trois solutions. Si les circonférences sont tangentes intérieurement, il n'y a plus qu'une seule solution, qui est la tangente extérieure commune menée par le point de contact des circonférences.

Lorsque les circonférences se coupent, il n'y a pas de tangontes intérieures, mais les deux tangentes extérieures subsistent. Autre construction pour viener une tangente commune à 2 circonférences. On mène deux rayons '^* quelconques parallèles et de

même sens CE, CE'; on trace ËË', qui détermine le point 0 sur la ligne des centres, et les tangentes OA', OB' menées à Tune des circonférences sont tangentes à Tautre. Le rayon CE" ayant un sens contraire de celui de son parallèle CE, joignant EE", les deux tangentes menées par le point 0' à Tune des circonférences sont également tangentes à Tautre.

Les circonférences décrites sur OC, OC, O'C, O'C, comme diamètres, déterminent chacune deux points de contact des quatre tangentes.

Les rayons tels que CA, C'A' menés aux points de contact d'une môme

tangente sont parallèles entre eux et perpendiculaires à cette tangente.

088. Sur une droite donnée AB, décrire un segment capable d'un

Fig. 168.

ayigle donné. Au point A, on forme l'angle BAC égal à l'angle donné (967); on mène AO perpendiculaire à AC et DO perpendiculaire au milieu de AB (075); du point 0 comme centre, avec 0.4 pour rayon, on décrit une circonférence, et le segment AMB est le segment demandé. En effet, tout angle M inscrit dans ce segment est bien égal à BAC (654), et par suite a l'angle donné.

Dans la pratique, poicr décrire un segment capable d'un angle doïiné AMB , ou pour décrire un arc de cercle passant par trois points donnée A , M, B (980), on fait usage d'une espèce de compas composé de deux règles MC, MD.

Le centre de l'axe d'articulation M étant situé à la rencontre des arêtes extérieures MC, MD, et cet axe étant percé d'un trou longitudinal dans lequel on a fixé un crayon, on conçoit qu'ayant ouvert le compas jusqu'à ce que son angle soit égal à AMB, ou que son sommet étant placé en M les arêtes MC, MD passent par les points A et B, si Ton implante une pointe en chacun des points A et B, et que l'on promène le compas de manière que les arêtes MC, MD glissent contre ces pointes, le crayon placé en M décrira Tare de cercle AMB.

Kg. 169.

TAOISIÈME WAmtm. '^ GÉOMÉTRIE.

effet UogfeiitàXY

«M6. Décrire ^un cercle tardent -à un cercle dmmè O.et kû

Vig. 170. «irotle XY en «» p^ésd P. Au'p«ûit»P «n wtme

une perpendiculaire PC à.XY, en prend Plégiëe

au rayon du e&r^e 0, et Teti traeo 10, k: laque^o

oiif^ève en son milieu M une peryendicidaire,

qui renceolre PC «u centre Cdu^eercle

ebé. Le cercle* C est bien en

en^P, et de plus au cercle 0, puisque la dis-

y' tanoe CO = CI des centres est égale à la somme

^^ GP-»- PI des rayons (651).

fM7. •Jftfner vne drcortférence tangente à une droite xy et passant par

deux points donnés A et B. On mène AB, on détermine la moyenne proporlionnclle PM entre PA et PB (996), on prend PI = PM, et traçant une circonférence passant par les trois points A, B, 1, elle satisfait à Té- ♦noncé. En effet, ayant pT =:^PAîk PB, rt'«t 5 f '^' f que xye^t tangente «fn ï (6Î9).

888. Tracer une circonférence tangente à deux droites, données et pas-

.sant par un point dorme A. Lo ^^' ''*• centre de la circonférence chei-

-— --^ chée devailt se trouver sur la bissectrice de Tangle S desdeux droites données, cette circonfé-

Fjg. 173.

.,1/1 il j — f>'- 4 — rence passera aussi parrle point

V '\[. I I A', symétrique de A. ï^c pro-

y blême se trouve ainsi ramené

\ * J^^^"^" - ^ auprécédent, et en achevant la

construction, on obtient deux

solutions 0 et 0*.

et aune circonférence donnée 0. Menant à ime distance T'T" égale au rayon de la circonférence 0 des parallèles k CD, BF, et déterminant le centre I de la circonférence tangente a CD', ET' et passant par le point 0 (988), I est aussi le centre de la circonférence cherchée, et IT son rayon.

Comme le précédent, ce problème ad* met deux solutions.

WO. "^Pcrr un fOTnt^y-yaire'yassermie crreonférence qui soit tangente ùnne circtn^érence- donnée ùet'à VTfe ^droite donnée M^. \'* Solution. Swpjwsttrtt le prôWème'i*éflPèlu on a (CTt)