F II
TROISIEME PAUTfE. — GÉOMÉTRIE.
Le problème n'est possible qu'autant qu'on a c < ^,<'tron voit de
yitis que parmi tous les rectêtngles de Tnême -périmètre^ le ostrré est un maximum (538).
f^M. <^onsiruire<uii têirtangle éguivmierU à untiarré downé^ et demi hséimensiorm aient eirire eUes vtne diférence dtm» Fig. «08. ^^^^ ^jj g^^ ^P comme diamètre on di^crrt «ne cir-
conférence; à Textrémité Aon élève une perpendiculaire AC égale an côté c du carré donné, et joignant CO, les diuiension« du rectangle cherché sont CD et CK. En effet, on a bien (679)
d'oi'i
CD:c = c:CE, - 43 CDxCE = i**.
V<^\r Ârpefiioffe poiw la division des .surfaces.
PRDBL^MKS SUR LES POLYÈDRES RÉGUUBRS ET &IUI LA SMltRE.
1050. Les figures suivantes sont les dévelop^senients dits, scurfaaesr^eft rinq polyèdres réguliers, et elles indiquent assez comment on tracera f es développements, le crrté des polyèdres étant donne.
Pour lo.sjig. 209, 211 et 213 on fera usage de Téquerre à 60'. Quant au dodécaèdre, après avoir construit le pentagone P sur la Irnigoenr donnée pour côté, on prolongera les côtés de ce polygone, on décrira une circonférence passant par les points de rencontre, et à Taide de parallèles aox ctôtés du pentagone P on terminera le tracé de la moitié du* développement Pour la seconde moitié, on prolongera aà, on preadra <d 3r aky sur cd comme corde ùr décrira ntie circonférence de tnème rayon que la première, et dans cotte circonférence, à raide de partiiè&es Bux ciiUkti de la firoittièrc moitié du développement, on terminera k cDMtmi0tion.
Fig. Î09. Tétraèdre.
PIg. 210. nexaèdre. Fig. îll. Octaèdre.
Vig. tIS. DêHtÊiire.
Fig. S(3. JeuMèdre.
FROBLÊMCfi.
Pig. tu.
Fig. 115.
MSI. Éimtt donnée "une sphère, trotteer son rceyon. On prend deux pointe à et B sur la surface de la sphère ; de ces points comme centres, ou niiotm comme pôles, avec xm rayon convenable, on décrrt deux arcs de cercle ^i se coupenrt en deux pointsD, D'; avec une autre ouverture de compas on détermine de môme un troisième pornt f^. D, D', D" étant également distants des points A et B, ils appartiennent à la circonfi^*ence du ^rand cercle dont le plan est perpendiculaire au milieu de AB, et il en résulte que si Ton construit sur iAplaB-Uftitriangle ayant pour côtés les distances rectilignos des trois ptinÉi il, I>% iD^ (Sîl), ta Cffconférence circonscrite à ce triangle sera épdeàtfafletdhm grend'cercle, et son rayon sera celui do la sphère (980).
Mit. lÉ/anI donnés deux points Xet B sur la surface de la sphèr^^ décrire une circonférence de grand cercle qui passe par ces deux points. Des points A et B comme pOlos, avec une ouverture de compas égale à la «corde d^n quadrant (854, 1031), on décrit doux •ros et cercle qui se coupent au point C, et de ce point comme pôle, avec la même ouverture de compas, décrivant une circonférence, elle rt'pond à Itt qiteslion.
On voit que la môme construction peut servir k trouver les pftîes é d'nne circonférence ou d'un arc de grand cercle.
M85. Décrire la circo-nfcrencc de petit cercle passant par trois pocnts A, B, C sititês sur la surface de la sphère. On détermine, toujours en opérant comme au n^ 103^, deux points D, D' également distants de A et B, et par D, D' on fait passer une circonférence de grand cercle, dont le plan est perpendiculaire sur le mi- •ien de AB, comnK» contenant les points D, D' et le centre 0 également distants de A et de B (746). On trace de même la circonférence de grand cercle dont le plan est perpendiculaire au milieu de BC;
MMe jcireooiévence rencontre la première aux points P et V\ qui sont
ImpAloiée la circonférenoe demandée, et pennettent Tun et Tautre
de li tvacsr.
Par un point A, pris tttr te surfhce de la sphhe, mener tme circonférence de grand cercle perpendiculaire à une €monfèrentee^u à un arc de grand cercle donné BD. Du point À, situé sur BD ou hors de BD, comme p^le, avec la oorde d'un quadrant (1031), on décrit un arc de grand cercle qui coupe la circonférence donnée au poifft P ; du point P comme pôle, avec »ltt môme tatuverlure de compas, décrivant une circwifàwmce de ^rrand cercle, elle passe par le point A^t satisfait à renoncé.
Kg. H6.
324 TR0I81ÈHK PARTIE. — GÉOMÉTRIB.
Lorsque le pbint  est le pôle de BD, toute circonférence de grand cercle qui le contient satisfait à renoncé; mais dans tout autre cas il n*y a qu'une solution.
1035. il y a trois problèmes qui paraissent appartenir à la géométrie élémentaire, et qui ne peuvent être résolus au moyen de la règle et du compas (965). Ce sont :
i* La, trisection de fangle, c*est*à-^ire la division d'un angle ou d'un arc en trois parties égales ;
2* La quadrature du cercle^ qui consiste à construire un carré ayant la même surface qu'un cercle donné.
Le tracé graphique suivant résout cependant ce problème avec
une approximation moindre qu'une
Fig. Î18. unité décimale du cinquième ordre.
:^ On trace un diamètre ÂB et* une
y^v^^ tangente BC; on prenii OG égal au
/ I -v^ p sixième du rayon OA ; du point G
y / . comme centre, avec un rayon dou-
y^ / "-. . ble du diamètre AB, on décrit un
^"'^^^ / '^ arc de cercle qui coupe la tangente
^\/ en C. On joint AC, et la corde BD est
^ le côté du carré cherché BDËF.
3* JLa duplication du cube, qui consiste à trouver le côté d*un cube
double d*un cube donné.
