NOTIONS SUR LES PROJECTIONS D*CNB LIGNE

Fig. 246.

«ar cet axe, tandis que ses projections sur yy' et sz! seraient nulles, et la formule précédente deviendrait

u« = (x"— X')» ou « = x"— X',

formule qui n'est autre que celle du n* 1103.

IIOK. La somme algébrique des projections des diverses portions droites d'une ligne brisée ÂGDE sur un axe quelconque^ c'est-à-dire la projection de cette ligne brisée sur Vaxe^ est égale à la projection sur le même axe de la droite AE qui joint les extrémités de la ligne (1106).

xf étant Tabscisse du point A, x" celle des points B et D, x"' colle du point C et x»^ celle du point K, on a successivement (1 103) :

Projection de AB = x" — x', Id. de BC=:x'"-x", Id, de C!)=:x" — x'", Id, de DE=x»^—x".

Faisant la somme de toutes ces projections, on a, en réduisant (419) :

Projection de ACDE = x»^— x'.

Ce qui n'est autre chose que la projection de la droite AE qui joint les extrémités de la ligne brisée.

Hemarque. Considérant une ligne courbe comme étant une ligne brisée dont les éléments sont infiniment petits (558), il en résulte que ce qui j)récède s'applique à une ligne quelconque.

1 106. Projection d'une droite et en gé?iéral d'une ligne quelconque sur un axe, en fonction des expressions trigonométriques (1103).

4* Soit une droite M'M" située dans le plan xy et ayant son extrémité M' située à Torigine des axes. On a (1090), en représentant par u la longueur de M'M", par P, et P, les projections Wp et Wq de la droite sur les axes, et en remarquant que ces projections ne sont autre chose que les coordonnées du point M'' :

Fig. M-.

= cosa, et

sina;

d'Où

P,= ttcosa, et P„= usina.

2* Ces expressions s'appliquent également au cas où la droite M'M" étant dans le plan x'y', l'extrémité M' n'est pas a l'origine.

En effet, les angles a et p que fait. Ml»" avec ces axes étant les mêmes qu'avec les axes parallèles M'x et M'y, comme de plus les projections x''— x' et y" —y' sont respectivement égales à P» et P,, on peut donc encore poser

x'' — x' = ttCOsa, et y" — y' = ttsina.

371 Qt*ATI\tÈME PAUTIE. — TMCONOMÉTIlie.

3? W reste encore à considérer le cas où M'M'' n*est pas dans un même plan que Taxe Ox.

Fig. 248. D'abord Tangle « que fiut M'M" avec Ox est

égal à l'angle M"M'x' que fait cette droite avec Taxe M'x' parallèle k Ox (S69j, comme de plus la projection STN de ITM" sur M'x' est égale k la projection p'p" = Px de cette même droite sur Ox, on peut donc encore poser

Px = tt cos «.

Akisi, queliii que soit la posKtioa d'une droite par rapport k un axe« la valeur algébrique dû sa pirojection sur cet axe est égale k la longueur absolue de la droite nmltipliée par le cosinus de l'angle positif que font entre eux les sens positifs de la droite et de Taxe (1083, 1088).

Remarque. Nous avons dit (3") que les projections M'N et p'p" étaient égales entre elles. En effet, les perpendiculaires M"N, M'p' et M'y menées aux axes étant dans les plans qu'on peut conduire par M' et M" p«rpendieulairei]freni à la-fors aux axes parallèles, comme ces plans couperaienl les axes on M', N, p' et p'\ et que dos parallèles 4:oinpr}S6fl entre plans parallèles sont égales, on a bien M'N=py'. '

4" Pour une ligne brisée ACDE (fig. 246), on a, en faisant AC = w',

GI)=:w'' et en désîgw«nt par a, a" les angles pos*tffs que font

AC, CD avec Ox (3'):

rj 1 «/. n/^ , i dont la somme, c est-^indire

Id. de BC = BGcosa' j

PrqjfiClio7i de u' =«' cosV Id. dtf ti" =tM" cosa^ /d. de u!^ ^vT côs a'".

Faisant la somme de toutes ces projections, on a

X»* — X' = u' CO» «' + yf' COS c^' + ff' COS a'".

X»' — x' étant U projection du chemin direct AE (2*), on voit donc que la sonnne algébrique des produits de chacun des côtés d'un chemin polygonal, par le cosinus de l'angle que fait le côté avec un axe, est «'gale k la projection du chemin direct sur le même axe (1105).

Représentant cette somme de produits par 2uco*a, par U la longueur du chemin direct, et par a l'angle <tue fait co chemin direct avec l'axe, l'équation précédente devient

U COStt = ^t£C0Sa.

Rêmarqtte 1. Une ligne courbe pouvant être considérée comme étant compostée d*itne infinité de lignes droites (558), cette dernière expression loi est encore applicable.

^ "rqtie 2. a' étant l'angle que forme AC avec une parallèle k Ox )ar l'extrémité A, et tion par C, dans le cas de la figure 246 il

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RELATIONS EVTgfi i«6 liXPRES^IQK^ TftlfiOâU)y£TIlIQUES. 375

est compris entre 9170* et 360"; a" étant Tangle que forme CD avec une parallèle KOx menée par Textrémitc C, il est compris entre 90" et 180*; «"' est compris entre 0* et 90".

î/angle «', formé par AC avec Ox, étant compris entre 270* et 360", son cosinus est algébriquement égal au gombus de Fan^e aigu 360" — a', qui est le plus petit des deux angles formés par AG avec Ox. Do mémo le cosinus d'un angle «, compris entre laO" et 27«* esl aigébriqufiinent égal au cosinus de Fangle obtus 360* — a, , qui est le plus petit des deux angles que forme ladroite avec Ox. Poiur déterminer la projection d'une droite ou d'une suite de droites sur un axe, on peut donc, pour la facilité des calculs, prendre le cosinus du plus petit des angles que formo chaque droite «v^c Ox.

FORMUliES EXFBIXAIfT i£S IHSLAT|OS(S ENTRE tES GXFRES9IOM TRIGONOMÉTRIQUES.

1107. Relations entre les expressio7is irigOHométi'iques d'un vunne angle ou dun même arc a, Oa a (1«M] :

1* sin « ss «-» d'i^ù y = r<in a,; et cos«a=-, d*oii x = rcosa.

Substituant ces valeurs de y et de x dans l'équation

y" + a:« = r*, imn)

il vient r* sîn* a -f r* cos» a = r',

d'où l'on tire

8ina = ±: v'I — cos' a et cosa=± \/r^--'sîn*a-

2* tang a = ^ =

X rcosa cusa'

j^ « s. sin a Abakc

d ou tang a = ; ou sm a = -^-3^ —

±:^'i^9mhi ^\4H-4a«g*«

sfci/l — COg^a i

et tang«= — ^ ou cosa=-

cosa ± v^l + tang* a

Q* n^* ^ rcosa cos« 3* cot« = - =

d-où cot«=*^*.-^"Jl?

ou sin « =

37C QUATRIÈME PARTIE. — TRIOOMOMÉTRIE.

COSa cota

el cota = 7 OU cosa =

±: v^l — COS" a ±: y/i + (-Ot* a

\" sec a== - = = OU cosa = —, — ,

X 7- cosa cosa seca