v'séc'a
sec a = ■ • ou SiU a = ï — ; ,
±L v/4— sin'a sec a
séc a = = ±L v/l 4- tang* a ou tang a = ifc v^séc' a — 4 ,
seca = = — ï — ou cota= , ■
cosa COt a ± v^séc«a — 4
5* co»ec a = - = — : — = —. — OU sin a =
y rsina sin a coséca'
4 ± i/coséc'a— 4
cosec a = ,' ou cos a = — -, .
dr \^4— COS*a COSéC a
4 dii/l + tang* a ^ 1
cosec a = -: — = — 34 s — ou tang a = =:,
sin a tang a ^ ±:Vcoséc*a— 1
COSéc a = -: = ±. \J\ -h COt* a ou cota = rfc i/coséc*a — 4i
sin a ^ ^
, 4 sec a " , coséc a
cosec a =— — = . ou seca= — .
sm a -t y^séc* a— 4 ± v/coséc«a— 4
1108. Relations entre les expressions trigonométriques de deux angles ou de deux arcs égaux et de signes contraires a et — a.
Pour une même valeur de r, les droites faisant avec Oa; les angles a et —a donneront (1089) :
4* Pour y, deux valeurs y et — y égales et de signes contraires;
par conséquent les sinus - et — ^ (4090) seront égaux et de signes
contraires ; donc
sin ( — a) = — sin a.
Ainsi , deux angles égaux et de signes contraires ont des sinus égaux, mais de signes contraires.
2* Pour X les deux valeurs seront de même signe; par conséquent
les deux cosinus seront ensemble ou + - ou ; donc
C0S( — a) = cosa.
Ainsi , deux angles égaux et de signes contraires ont même cosinus. 3* De ce que les valeurs de x sont égales et de même signe, tandis que celles de y sont égales et de signes contraires, il en résulte que les
tangentes ^ et — - sont toujours égales et de signes contraires, donc tang (— a) = — tang a.
RELATIONS BNTRB LES EXPRESSIONS TRIGONOMÉTRIQOES.
\iii8i, deux angles égaux et de sigjies contraires ont des tangentes, égales, mais de signes contraires.
De» raisonnements analogues font voir qu'on a : 4* coséc (— a) = — coséc a; 5» séc ( — a) = séc « ; 6* cot {— a) = — cot a.
1109. Relations entre les expressions trigonométriques de deitx an-yles ou de deux arcs complémentaires, c'est-k-dirc dont la somme
Soit a = ttOx et a* = uOy.
^ et X étant les coordonnées du point M, et r étant le rayon OM , On a pour Tangle « (1107)
Og ou y = rsina, et Op ou x = rcosa.
Au contraire, pour Tangle positif «', les même» valeurs de y et x donnent
y = r cos a' et « = r sin a .
Égalant ces deux valeurs de y et ces deux valeurs de x, on a, en ..supprimant r, commun aux deux membres de chaque équation,
sin a = cos a' et cos a = sin a'.
Divisant membre à membre ces deux équations, on a
sin a __ cos a' cos a"" sin a" «•'est-k-dire (2«, 1107)
tanga =
On a aussi (3% 4107)
tanga = cota'.
Ainsi, les angles a et af étant complémentaires, les sinus, cosinus pf tangente de Vuh sont respectivement égaux aux cosinus, sinus et colangente de Vautre. C'est ce qu'on vérifie facilement sur la figure 249 (1098).
1 1 10. Relations entre les expressions trigonométriqnes de deux angles ou de deux arcs dont la différence a — a'=90*.
Admettant la définition que deux angles sont complémentaires lorsque leur somme algébrique est égale à un droit, ce cas rentre dans le précédent, en considérant a' comme négatif.
Soit M'Ox = a' le plus petit des deux angles et MOx = a le plus grand. Ces angles étantcomptés dans le sens positifet à partir delaraéme direction Ox, Tangle MOM'=a— a'.
D*après la relation qui existe entre a et a^.
tanga'
ou tangatanga'= i.
QVâTnifefK PABTIE. -- TRlOONOWÉ-nHE.
•quelles que soient dn reste les valeurs de ces angles, MOtt* est tmi* jours droit ; d'où il résulte que les triangles rectangles MSp, ttH^' sent égaux, et Ton a, en valenrs absolues, Mp en y^Of eu s^, e« Op #u X = Wp' ou y'.
Remarquant maintenant que y et x' sont toujours de même signe et X et y' de signes contraires, quelles que soient les valeurs de « et «', c^est-ànAire quelle que soit la position de îangle ârdri M0M' awloiir du point O, ce que 1 on peut vérifier sur la figure pour les positiMM MOM', MiOM'i, M,OM',, M,OM',, qui renferment toutes les autres, il en résulte qu'on a
y = af et x = — y'.
Remplaçant, comme au numéro préoédent, y, x, y', et x" par leurs valeurs posées au n* 1107, on conclut
sina = co8a' et cosa = — sino'.
Ainsi, pou7* deux angles dont la différence vaut un droit, le sinus du plus grand est égal au cosinus du plus petit, et a le même signe y et son cosinus est égal au sinus 4e ce dernier, mads de signe contraire.
Divisait monabrek Haenabne ces deux é^uiUions .on ^
sifi a __ oos tf' cosa "~" siiTô?'
d'où Ton déduit, d'après les mômefi équations «^ulau nuroérp précédiMt,
tanga = — — ;„tanga tanga' =— 1 et tanga= — cota'.
Application, Quels sontie sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 165*?
La relation a— «'=90* devient 165*— a'= 90*, d'où a'=165'— 90*=75*.
La table du n* 1138 donnant cos 75-= 0,25882, sin75' = 0,^«5'98 -et
cot 75' — 0,26795, on a donc sin 165* =30,258 82, cosl65"=— 0,96393 et
tanglfô»^:^ — 0,26795.
Itll. iielations entre les expressions irigomxmétrifpi^ de deux (U)^
glejf ou de deux itrcs a, et )à^t celles de leur
somine [a + b].
Soit mOX = by MOm = a et par suite M0A = (a + 6).
Cherchons d'abord les relations qui existent entre les coordoainées MQ = Y, OQ = X, et celles OP = x' et 1A?=y' du même point M par rapport aux deux systèmes d'axes rectangulaires X, y et x', y'.
Y étant la projection sur Oy du' chemin OPM,
Kig. 2M.
cl X étant celle du même chemin sur Ox, on a (1106)
Y =0^ cos POy + y' cos P60, K=52'co86 +y'cosMcx.
RELATIONS SHTRC LBff «XPRESttlOKS TRiCOlKlHteRIQUES. 379
L'angle Mcx = y'Ox, dont l'excès sur un droit est égala x*^ ow b\ donc
cosMcr = — win6. (lilO)
Relation qui existe quelle que soit la position du point M, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs de a et 6. (Test ce qu'on peut vérifier en faisant la figure.
L'angle POy a pour complément Fangle h\ donc
cosPOy=sin6. (H09)
Cette relation est vraie quelle que soit la valeur de h ; car quand cet angle est obtus, son excès sur ait drovt est égal k POy, et l'on a bien oncore ^
cosP0y = sîn6. (1110]
L'angle P60 = 6 (5S4); donc
co»JR60 = cosô.
Substituant ces valeurs de cosMcx, cosPOy et cosP60 dans ^Mt& de X et Y, on a
Y = x* sin 6 -f- y' cos 6, X = a;' cos 6 — y' sin 6.
Comme on a (H07)
Y = r sin (a H- 6) , X = r cos (a + 6; , y'= r sin a, x'~ r cos a,
les équations précédentes reviennent donc k
r sin (a+6) =r cos a sin6 + r sina cos 6, r cos (a-\'h):=r cos a cos 6 — r sina sin 6,
ou, en supprimant r,
sin (a 4- 6) = sin a cos 6 4- cos a sin 6, (1)
cos (a + 6) = cos a cos 6 — sin a sin b, (2)
°' ' cos (rt + 6; cosa cos6 — sma sm6 ^
Divisant les deux termes de celte valeur par cosa cos6, on a,. en remarquant encore que le sinus divisé par le cosinus donne la tangente,
tang{a + ») = .i2Hi£±i^ ;3)
® ^ ' 1 — tanga tang6 '
-tang
1112. Expressions irigonométriqiLes de la différence (a — b) de deus. angles B. et b en fonction de celles de ces angles. En cODSorvamt à 6 U même valeur, si dans les formules (i) et (2) du numéro précédent on fait (a + à) =0 et par suite az=(a-^ 6), elles deviennent
sin a = sin (a — h) cos 6 + cos (a — b) sin 6, (1)
cosa = cos fa — 6) cos 6— r sin (a — 6) sin 6. '2)
380 QUATAIÈIIE PARTIE. — TRIGONOMÉTRIE.
De l'équation (2) on tire (474)
, ,, cosa . . , ., sin 6 ,.
cos(a— 6)= r+sm(a— 6) r- (3'
^ ' cos 6 ^ ' cos 6 ^
Substituant cette valeur dans Téquation (1), il vient, en isolant sin (0—6),
. , . , / . . sin*6\ . cosa sin 6 ...
sin (a— 6) 1 cos 6 -\ 7 ] = sin a r — . 4
\ cos bj cos 6 ^ '
Comme on a (4*, n" 469)
. . sin*6 cos*6 + sin'6 1 /,.*«!
cos b H 1- = -T = r , (1 107)
cos6 cos 6 cos 6 ^ '
substituant cette valeur dans Téquation (4), il vient
sin (g — 6) __ sin a cos 6 — cosa sin 6 cos 6 ~ cos 6
r/est-à-dire
sin (a — 6) = sin a cos 6 — cosa sin b.
Substituant cette valeur de sin (a —6) dans Téquation (3), on en conclut
cos (a — 6) = cos a cos 6 -f- sin a sin b.
Comme au numéro précédent, on peut poser
, ,. sin (a — 6 sinacos6 — cosasin6
tang la — b) = ) =- = r-, — ■■ :— rî
°* cos(a — b) cosa cos 6 4- sin asm 6
d'où, en divisant les deux termes de cette valeur par rosa cos 6,
tang(a-6) = i?M£ZLÎiM^.
®^ ' l+tangatang6
H 15. Relations entre les expressions trigonoviétriques d'un angle a et celles d'un angle double 2a.
Faisant b=a dans les valeurs de sin (a + 6), cos (a + b) et tang (a +6) (mi), on a:
r sin(a + 6) ou sin2a = sina cosa + cosa sina,
r>st-â-dire
sin 2a = 2 sin a cos a ; (a)
i** cos (a + 6) ou cos2a=cos*a — sin*a. (1)
Couiuh; on a (1107)
cos'a=l — sin'a,
substituant cette valeur dans l'équation (1), elle donne
cos 2a = 1 — 2 sin* a. (b)
