tang(a + 6) = tang2a=j-§?^. y
1114. Relations entre les eocpressions trigonom étriqués d\tn angle a pi celle â!un angle moitié - a.
Remplaçant 2a par a, et par suite a par ^ « dans les t'orniiiles du
numéro précédent :
1* La formule (a) donne
sma==2sin - acos -a; * 2
^t la formule (h) ,
cos a = 1 — 2 sin* - a,
d*où (525)
.1 ^ 4 /l —cos a
2* La formule (h*) donne
cosa = 2cos»-a — 4,
d^où
cos
3* La formule (c) devient
2;tang-a tanga=
i— tang*- a
ce qui revient à Féquation du second degré
d'où Ton tire (526)
tangia = — r-^±\/, \ +1 = —!— (— 1 ±: ^i -f tang«a) . ^ 2 tanga . y tang*a tanga ^ y ^^ o /
On a aussi (ii07)
sm-a r,
. i 2 ^ i /ï^-cosa
cos- a '
IH^. Pour avoir les expressions trigonœnéiriques de 3a en fonctioti
3$S OOikTAltlUI PARTIE. — TUCOKOlfÉTRU;*
de celles id^ a, il suffît de iaire 6=;2a <Uas les foniuiies j[!}, (S)» (3} eu n* liH, ce qui donne
sin 3a == sin t» oosto + C08 a sin 2a, cos4a^cosa cos2a — sin a sin 2a.
Remplaçant sin 2a et cos2a par leurs valeurs (a) et (6) du n* H13, et amplifiant k Taide de la relation sin'a + C06*a^lt ces formules deviennent
sin 3a = 3 sin a — 4sin''<0, [i]
cos 3a = 4 cos' a — 3 cos a. (2)
1116. En faisant de même b = 3a, puis 6 = 4a, .et «iosi de suite, dans les formules du n* llii, on arriverait 4mx relatiotu çpd existent entre les expressions trigonométriques d'un multiple quelconque detL et celles de a.
4117. En changeant a en 7 a, les formules (1) et (2) du w* 1116
donnent
sina=3sin - a — 4sin' - a,
cosa=4cos'~ a — 3cos - a.
Formules exprimant les relations qui existent entre les sinus et cosinus d'un angle triple d'un autre et les sinus et cosinus de ce dernier,
1118. Autres relations entre les expressions trigonométriques^ fr^ quemment employées dans les applications,
V En combinant par addition et ^soustraction les valeurs dès sinus et cosinus de (a + b) et (a — b (ilii et il 12), oa ol>Uent
2sina cos&r=8m (a-f 6) + sin (a — 6), 2 cosa sin b = sin (a + 6) — sin (a — 6), 2 cosacos 6 = cos {a — 6) + cos (a -f 6), 2sin a sin6 == cos (a— b) — cos (a + b).
Formules servant à transformer le produit de deux expressions frigeno^
métriques en une somme ou une différence.
2* Faisant dans les formules précédentes (a + &} = p et (a— 6) =9,
d'où (4S0) a^^-lp-^-q) et 6= - (p — 9), elles deviennent
sinp + sin ^a= 2sin g (p 4- ^) cos - (p —9),
sin p — sing = 2C0S - (p + q) sin - (p —g),
cosp + COBÇ = 2cos j (p + g) cos ^ {p-- g),
cosg — cosp = 2sin - (p + g) sin g(p— g).
RELATION» WBME M* EXPUESSIONS TRIGOKOIIÉTRIQUES. 3d^
Formules d'un fréquent usage^ suriaut dans les calculs logarithmiques^ pour changer une somme ou nne èifférence en vn proémi* 3* Ces dernières formules donnent par division, ci en remarquant
que^ï^=:tai^pA=-4Ti (^f^l
^ cosA ^^^ cotA
, . sin-(u+o)cos-(p— g; tmg^'p -i- g]
'^ ^ cos-fp + g)s*n-(p— ç) tangr-(p— (jr;
sin-(p-f-ûf) sinp + sinûf i^^ ^' ^ i / .
cosp+cosa = î ^ **°^ 2 ^^ ^ ^^*
sinp + sinq '^"4^?^^l ,1, ,
— «- ^= = cot- {p—q)f
cosq — cosp . i , , 2 ^'^ ^'
sin-(« — q] smp — smg 2^^ — t / —
cosp+cosûf""" i, ~ ^2^^^^ ^"
^^ ^ cos2(p— g)
C0S-(p + Oj
sinp — smûF 2^*^ ^ ^1 / .
cosg-cosp= . i, ^ =eot^(P+^/- • ^ ^ sm-(p+g)
. . cos-(p + g) cos-(p— f)
cosp + cosg 2 '^ ^' 2^*^ ^' M, . , A,
-=■ ; ; =COt- p + <7 COt - « — Qj.
cosg — cosp .1, , , . 1, * , 2^^^ ^ 2^^ ^'
^ ^ sift^(p + 9) Rm^(p-g)
La première de ces formtiles fetft voir le résuHai raRMrquable, que la somme des sinus de deux angles est à leur différence comme la tan^ gente de la demi-somme de ces angles tet à la tangente de leur demi-différence.
4* Voici encore quelques autres transformations de sommes ou différences en produits :
, sina^sin6 sin(a=fc6) .anga±tang6 = ^^ * ÏSTS = cosacos6'
. ^ 4 , 1 cosa+cos6 2cos^(o-f 6)co8!(a— 6) cosa CCS 6 cosacos6 cosacos6
^ , fc— — î 1 __ ces 6— cosa 8sin^(a— 6)sini(a + 6^
^ "" ""cosa cosô""" cosacosô ~ cosaoosft
sin
a + cos6= sina + sin (90»— 6)=28in(45«+ ^) sin ("i.V-f "^-y^V sino— cosô =:sin a— sin(90«— 6)=— 2sin (^S°— ^V" ) s'" f*'^"— ^T^) - 1+ sin a = 14- cos (OO'iJpa) = 2 cos« ^45' — |^ , 1 — sina=i — cos(90« — a") = 28in« f^S' — 1\
